Serie-18

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Aufgabe 11

215. Wertungsaufgabe
"Verwandtschaft, kann was Schönes, aber auch was Anstrengendes sein", gab Bernds Vater zu bedenken, als er von den verwandten Dreiecken hörte. "Wie meinst du das denn?, grummelte Opa. "Ach nur so." "Na egal, ich habe euch eine glänzende Aufgabe mitgebracht. Eine Strecke AB mit einer Länge von 10 cm wird durch einen Punkt X in zwei Teile geteilt. An den Punkt X ist die Bedingung geknüpft: Ein Rechteck mit den Maßen 10 cm und AX habe den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat mit der Kantenlänge XB. Wie weit liegt X von A entfernt? Wieso ist das eine glänzende Aufgabe? (3 + 1 rote Punkte) - Im "Original" liest sich die Aufgabe bei Euklid so: Eine gegebene Strecke ist so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt, dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist."
"Möge der mathematische Glanz über euch kommen", meinte Bernds Vater, der die Aufgabe schon kannte.
Euklid lebte von 365 v.u.Z bis 300 v.u.Z. Wenn dieser Mann mit der Hilfe vieler Freunde der Mathematik es geschafft hätte, im Alter von 20 Jahren eine Art Sparbuch anzulegen, welches mit 1,5 % verzinst würde, wie viel wäre heute  - also im Jahr 2008 - auf dem Konto? Der Startwert soll  umgerechnet auf die heutige Zeit bei 20 Euro gelegen haben? (4 blaue Punkte)

Lösung

Da nenne ich AX einfach mal x --> XB ist dann 10 - x
Dann gilt 10x = (10 - x)2 (Rechtecksfläche = Quadratfläche)
10x = 100 - 20x + x2
0= x2 -30x + 100
Die Lösungen dieser Gleichungen sind:
x1= 3,819.. und x2= 26,18
Die zweite Lösung entfällt wegen x > 10.
10 -x ist dann 6,18 ..
Die Gleichung 10x = (10 - x)2 lässt sich umformen zu:
10/(10 - x) = (10 - x)/x
In Worten. Die Gesamtstrecke verhält sich zum längeren Teilstück wie das längere Teilstück zum kürzeren Teilstück. Das aber ist die Definition des goldenen Schnitts.
Das fiktive Konto wird also im Jahr 345 v.u.Z angelegt. Da es ein Jahr 0 (eigentlich) nicht gibt, sind es bis zum Jahr 2007 - (in diesem Jahr - 2008 - gab es noch keine Zinsen) 2351 Jahre.
Da nicht immer einer zwischendurch die Zinsen abholen soll geht es um Zinseszinsermittlung.
K2351=(1+1,5/100)2351*20
K2351= 3,18... 1016
Das sind also mehr als 30 Billiarden Euro. Bei so einem Startwert doch nicht schlecht.
Hätte man die Zinsen immer abgeholt und in den Sparstrumpf getan, wären das nur ganze 705,30 Euro.
Leider alles nur Fantasie.