Serie-10

Serie 10 Aufgabe 5

Mike ist am Verzweifeln, eigentlich eine einfache Aufgabe, aber das Errichten des Kartenhauses ist eben doch nicht so einfach. Fast hat er seine Maximumhaus fertig, da kommt Bernd herein und der leichte Windhauch bringt sein Kunstwerk zum Einsturz. Wie hoch war es denn, fragt Bernd mitfühlend. Na das ist doch wohl klar, denn mein Spiel hat 110 Karten und ich hatte so hoch gebaut, dass mein Haus komplett bis zur Spitze war. Nirgendwo lagen Karten doppelt.
Wie bist du eigentlich auf die Idee gekommen? Ich habe den Ansatz dazu in einer Probeprüfung gesehen.

Wie hoch war das Haus von Mike? Wie hoch käme man mit 1 000 Karten?
Zu erreichen sind 6 Punkte.

1. Etage: 2 Karten
2. Etage: 7= (2) + 3 + 2 -> 3 angebaut + 2 als obere Etage
3. Etage: 15= (2 + 3 + 2) + 2*3 + 2 -> angebaut 2*3 + 2 als obere Etage
andere Schreibweise: 1. Etage: 1*2 + 0*3
2. Etage: 2*2 + 1*3
3. Etage: 3*2 + 3*3
Für die 4. Etage kommen nun wieder so viele 3-er dazu wie eine Etage vorher (also 3*3) + 2 für die Spitze
4. Etage: 4*2 + 6*3 = 24
Für die 5. Etage kommen nun wieder so viele 3-er dazu wie eine Etage vorher (also 4*3) + 2 für die Spitze
5. Etage: 5*2 + 10*3 = 40
Spätestens jetzt wird deutlich wie die Zahlen gebildet werden.
n. Etage: n*2 + (Summe von 1 bis (n-1))*3
Die Summe aber von 1 bis n - 1 lässt sich mit der Summenformel schnell finden und ist (n-1)*n/2
n*2 + ((n-1)*n/2)*3 ergibt aber 2n + 3n²/2 - 3n/2
1,5n² + 0,5n
Um die Fragen zu beantworten, kann man die Formel verwenden, um die Anzahl in beliebigen Etage zu berechnen und zu schauen oder man löst die Gleichungen: 1,5n² + 0,5n = 110 bzw. 1,5n² + 0,5n = 1000 und rundet die Ergebnisse passend. Hier die Ergebnisse für die ersten 30 Etagen:
n Anzahl
1   2
2    7
3    15
4    26
5    40
6    57
7    77
8    100
9    126
10    155
11    187
12    222
13    260
14    301
15    345
16    392
17    442
18    495
19    551
20    610
21    672
22    737
23    805
24    876
25    950
26    1027
27    1107
28    1190
29    1276
30    1365
Mike hatte 8 Etagen geschafft, 10 Karten blieben unbenutzt.
Mit 1000 Karten sind 25 Etagen zu schaffen, wobei 50 Karten unbenutzt bleiben.