Serie-1

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Serie 1
Aufgaben und Lösungen Aufgabe 1: Wie viele Möglichkeiten einen 50-Euro Schein in Euroscheine zu wechseln gibt es? Lösung Hier hilft systematisches Probieren. Z - steht für 20 z - steht für 10 f - steht für 5
1. Z + Z + z
2. Z + Z + f + f
3. Z + z + z + z
4. Z + z + z + f + f
5. Z + z + f + f + f + f
6. Z + f + f + f + f + f + f
7. z + z + z + z + z
8. z + z + z + z + f + f
9. z + z + z + f + f + f + f
10. z + z + f + f + f + f + f + f
11. z + f + f + f + f + f + f + f + f
12. f + f + f + f + f + f + f + f + f + f
Also gibt es 12 Möglichkeiten.


Aufgabe 2: Fünf Läufer laufen gegen einander. Wie viele Möglichkeiten für den Zieleinlauf gibt es? Lösung Es handelt sich um eine Permutation. Es geht also darum, Elemente - Läufer - in einer Reihe zu ordnen. Für den ersten gibt es 5 Möglichkeiten - (n) -, wenn dieser feststeht, bleiben für den zweiten Platz noch 4 Möglichkeiten - (n-1) -, d.h. 5 mal 4 Möglichkeiten, für den 3. Platz bleiben noch 3 - (n-2) - Möglichkeiten, d.h. 5 mal 4 mal 3 Möglichkeiten usw. Damit ergibt sich eine Anzahl von 120 Möglichkeiten. (5!=5.4.3.2.1) Bei nur einem Läfer mehr sind dies dann schon 720 Möglichkeiten. Die Zahl wächst sehr schnell an.


Aufgabe 3: Peter hat eine Gruppe von Schülern überredet eine Radtour zu machen. Damit die Mitfahrer nicht erschrecken, fängt er harmlos an und steigert dann jeden Tag die Strecke um 20 km. Am neunten Tag haben Sie das Ziel ihrer Rundreise erreicht und damit sagenhafte 1170 km zurück gelegt. Wie lang sind die erste und die letzte Etappe? - zu erreichen sind 4 Punkte PS.: Lasst Euch nicht von Peter einwickeln. Lösung Musterlösung von Nifi: x steht für die Länge ersten Etappe: x+(x+20)+(x+40)+(x+60)+(x+80)+(x+100)+(x+120)+(x+140)+(x+160)=1170 9x+720=1170 9x=450 x=50 Damit ergibt sich als Lösung: Die erste Etappe ist 50 Kilometer, die letzte 210 Kilometer lang.


Aufgabe 4: Gesucht sind zwei natürliche Zahlen. Werden die beiden Zahlen addiert, so ergibt sich als Summe die 545. Lässt man bei der einen Zahl die letzte Ziffer weg, so erhält man die zweite Zahl. Wie heißen die beiden Zahlen? - zu erreichen sind 4 Punkte Lösung Man kann die Lösung durch systematisches Probieren finden. Berechnen ginge beispielsweise so: a sei die kleinere Zahl und die b die letzte Ziffer der anderen Zahl, dann gilt: (10a + b) + a = 545 11a + b = 545 Teilt man nun 545 durch 11, ergibt dies 49 Rest 6. Also gilt: 11 . 49 + 6 = 545 Durch Vergleich mit der ersten Gleichung sieht man die Lösung jetzt sofort: Die eine Zahl heißt 496, die andere 49.


Aufgabe 5: Hans Blond erhält einen gefährlichen Auftrag. Er muss die Welt retten - wie immer - und dazu muss er den Code zum Abschalten des atomaren Infernos herrausbekommen. Nach vielen überwundenen Hindernissen dringt er in den Raum mit dem Abschaltmechanismus ein. Es ist genau 16.00 Uhr und in diesem Moment erkennt er, dass er nur noch eine kurze Zeitspanne zur Verfügung hat. Das Inferno beginnt, wenn die Zeiger der gepanzerten Uhr genau übereinander stehen. Wann stehen die Zeiger genau übereinander? - zu erreichen sind 5 Punkte. Wer begründet, dass er mindestens 15 Minuten Zeit hat, kann für die Teillösung 2 Punkte erhalten. Lösung Die Teillösung, dass er mindestens 15 Minuten Zeit hat war elementar, denn der kleine Zeiger war ja selbst um 16.00 Uhr schon weiter. Der Weg in Grad, den die Zeiger zurück legen müssen, lässt sich mit s = v . t berechnen. t ist dabei die gesuchte Zeit. vg = 360° / 60 min und vk = 30° / 60 min Beide Zeiger treffen sich bei: sg = vg . t bzw. sk = vk . t + 120° Daraus folgt: vg . t = vk . t + 120° bzw. 360° / 60 min . t = 30° / 60 min . t + 120° Diese Gleichung aufgelöst nach t ergibt: t = 21 9/11 min. das sind 21 Minuten 49 1/11 Sekunden. Da wird unser Hans Blond sich wohl 21 Minuten 49 Sekunden Zeit lassen.


Aufgabe 6: Auf dem Weg nach Süden treffen sich Störche an einem See in Spanien. Wie lange benötigen 100 Störche, um 100 Frösche zu fangen, wenn 5 Störche 5 Minuten brauchen, um 5 Frösche zu fangen? - zu erreichen sind 2 Punkte. Lösung Nun die Lösung der Scherzaufgabe war nicht schwer. Aus dem zweiten Teil der Aufgabe geht hervor, dass ein Frosch 5 Minuten braucht für einen Frosch, also schaffen 100 Störche es auch in fünf Minuten.


Aufgabe 7: Einem Wirt geht am Sonntag sein 1 Liter Maßkrug kaputt, er kann also keinen Ersatz besorgen. Er hat nur noch seinen 3 und seinen 5 Liter Krug. Wie kann er trotzdem seinen Gästen 1 Liter Wein in einer Karaffe anbieten? - zu erreichen sind 3 Punkte. Lösung Wenn man die Lösung sieht, sagt man das ist ja einfach, aber ... Der Wirt füllt den 3-Liter Krug und gießt dessen Inhalt in den 5-Liter Krug. Dann füllt den 3-Liter Krug noch einmal und gießt dessen Inhalt vorsichtig in den 5-Liter Krug. Da dort schon 3 Liter drin sind, passen nur noch 2 Liter hinein, also bleibt im 3-Liter Krug genau noch ein Liter übrig.


Sokratesquadrat Aufgabe 8: Sokrates ist im Streitgespräch mit einem reichen Mitbürger. Dieser behauptet, dass die Methode von Sokrates durch Nachfragen zum Ziel zu kommen bei einfachen Sklaven versagt. Sokrates stellt dem anwesenden jungen Mundschenk folgende Frage: Wie lässt sich die Fläche eines Quadrates konstruktiv verdoppeln? Erste spontane Antwort: "Ich verdoppele die Seitenlänge". Diese Anwort weist Sokrates geschickt zurück und bringt den Mundschenk nach kurzer Zeit zur richtigen Lösung. Wie würdest du vorgehen (2 Punkte) und warum (2 Punkte)? Lösung Die Lösung des Sokrates kann man dem Bild entnehmen. Das Originalquadrat ist das Innere, welches aus 4 Dreiecken besteht, das große Quadrat, dessen Kantenlänge der Diagonalen des kleinen Quadrates entspricht umfasst dann insgesamt 8 Teildreiecke. Eine weitere Begründung lässt sich mittels der Formel für die Diagonale herleiten. Die Aufgabe war wohl nicht so leicht beschreibbar, denn es gab nur eine richtige Antwort.


Aufgabe 9: Gegeben ist dieses Feld aus 7 mal 7 Feldern:

             
             
             
             
             
             
             



 Finde eine Lösung, bei der in jeder Zeile, jeder Spalte und in den Hauptdiagonalen, die Zahlen von 1 bis 7 genau einmal vorkommen. Wird die Hauptdiagonalbedingung nicht eingehalten gibt es 4 Punkte, sind alle Bedingungen erfüllt, sind diesmal 7 Punkte möglich. Lösung

Eine mögliche vollständige Lösung ist:

2 3 4 5 6 7 1
4 5 6 7 1 2 3
6 7 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 1 2
5 6 7 1 2 3 4
7 1 2 3 4 5 6

 


Aufgabe 10: Im Lehrerzimmer treffen sich früh 15 Lehrer. Jeder gibt jedem die Hand - sind ja höfliche Menschen -. Wie oft werden dabei Hände geschüttelt? Zu erreichen sind 3 Punkte. Lösung Jeder der 15 Lehrer gibt 14 mal einem anderen die Hand. Rechnet man nun 15 mal 14 gleich 210 ist zu berücksichtigen, dass bei dieser Berechnung jedes Handgeben doppelt gezählt wird. (A B und B A). Deshalb ist 210 zu halbieren. Es werden also 105 mal die Hände gegeben.


Aufgabe 11: Ein Schwan trifft auf einen Zug Wildgänse. He ihr seid ja wohl 100 rief er aus. Falsch mein Lieber schnatterte die Obergans. Wenn wir noch einmal so viele wären wie wir sind und dann noch einmal Halb so viele und ein Viertel mal so viele und du dazu, erst dann sind die 100 erreicht. Aber du Schwan wirst wohl nun heraus bekommen, wie viele wir wirklich sind. Zu erreichen sind 4 Punkte. Lösung Ich bezeichne die Anzahl der Wildgänse in dem Zug mit z. Dann gilt: z + z + z/2 + z/4 +1 = 100 | -1 11/4 z = 99 | : 11/4 z = 36 Es sind also 36 Wildgänse gewesen. Der Schwan lag ziemlich daneben.


Aufgabe 12: KERZE Immer wieder stehen die Leute vor der Frage, wie lassen sich die Kerzenbrennzeiten und der Kerzenverbrauch optimieren für den Adventskranz optimieren? Vor kurzem stand in der Zeitung ein recht brauchbarer Vorschlag wie das Problem recht optimal geöst werden könnte. Die Idee ist wie fast immer recht simpel, aber man muss eben drauf kommen? Es werden 5 (!) gleiche Kerzen insgesamt eingesetzt. Wie muss man vorgehen, damit an jedem Adventsonntag, die entsprechende Zahl von Kerzen brennt und die Brenndauer an jedem Sonntag gleich ist? Zu erreichen sind 6 Punkte. KERZE Lösung Wenn man an jedem Advent die Kerzen vollständig abrennen lassen würde bräuchte man 10 Kerzen. Da bloß 5 zur Verfügung stehen, ergibt sich pro Sonntag eine Brenndauer einer halben Kerze. Die Kerzen werden mit A, B, C, D und E bezeichnet: 1. Advent: Kerze A 2. Advent: Kerzen A und B. Kerze A ist damit herunter gebrannt und wird durch Kerze E ersetzt. 3. Advent: Kerzen C, D und E (auch wenn B einen angebrannten Docht hat.) 4. Advent: Kerzen B, C, D und E Das Fest kann kommen


 

Auswertung

Serie 1

Platz Name Ort Punkte
1 Nifi Chemnitz 24
2 Mawi Dresden 16
3 Antje Lang Chemnitz 10
4 Theresa Nehler Chemnitz 9
5 Christoph Thiele Chemnitz 6
6 Olli Kiel 4
6 Michael München 3
6 Miriam F Freudenstadt 3
7 Fritz T. Halle/S. 2
7 Bernd M. Berlin 2
7 Erik S. Chemnitz 2
7 Heidrun F. Dresden 2
8 Herbert Anneessen Norden 1
8 Felix Bergmann Dresden 1
8 Maria Holtz Dresden 1
8 Rainer Unsinn Chemnitz 1
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