Zauberreich

Quadropolis II – Die Revolution (Florine)

Quadropolis II – Die Revolution

In Quadropolis war ein „normaler“ Tag angebrochen. Immer mehr Straßen „Normalparabeln“ bildeten sich, da die Bevölkerung wuchs. Sie waren die normalen und lebten in perfekten, „Punkt“ Häusern auf perfekt geschwungenen, normalen „Normalparabeln“ Die Mutter und der Vater waren mittlerweile sehr alt und wohnten im Stammhaus aller Stammhäuser den „Punkt“ (0;0). Der Tag blieb nicht normal den plötzlich bemerkten sie in den unteren „Quadraten“ Stadtteilen etwas „unnormales“. Die neue Straße die gebaut werden sollte mit dem neuen Stammhaus (- 6;-8) war „gestreckt“ nicht „normal“. Sie wurde falsch gebaut, aber sie konnten sie nicht „ausradieren“ da bereits schon Leute eingezogen waren. Sie bitteten die Einwohner aus der „gestreckten Parabel“ wieder auszuziehen. Doch kein einziger zog aus, darüber waren die Mutter und der Vater nicht sehr erfreut. Den Einwohnern gefiel es in der „gestreckten Parabel“. Da sie anders war als die anderen, irgendwie so „unnormal“. Nach kurzer Zeit wurde die „gestreckte Parabel“ sehr beliebt und mehr und mehr Leute zogen ein. Obwohl die Mutter und der Vater immer noch wollten das sie ausziehen. Sie versuchten die Einwohner beim einziehen zu stoppen. Doch dadurch wurden sie ziemlich unbeliebt. Es gab eine Art Revolution. Die ganze Stadt wollte mehr von den „unnormalen Parabeln“. Sie demonstrierten auf den Straßen und machten der Mutter und dem Vater klar, dass sie die Sorten der „Parabeln“ erweitern sollten und es auch mal eine Veränderung geben sollte. Auch die Architekten und Bauarbeiter bauten und bauten weiter. Als die Mutter und der Vater überzeugt waren, gaben sie dann endlich die Gleichung für die „gestreckte Parabel“ bekannt. Sie lautete y= 2(x+6)^2-8 und berührte die Mittelstadtlinie „x-Achse“ bei -3,17 und -8,82. Außerdem lautete die Stammgleichung der „gestreckten Parabeln“ y= a(x+d)^2+e. Nach nicht allzu langer Zeit entstand noch eine andere Form „unnormaler Parabeln“. Die „gestauchte Parabel“, sie war im Gegensatz zur schlanken „gestreckten Parabel“ sehr breit und genauso „unnormal“. Die erste „gestauchte Parabel“ hatte ihr Stammhaus bei (-2;-1). Ein Tag später wurde bereits die Gleichung y= 0,5(x+2)^2-1 und die Stammgleichung y= a(x-d)^2+e bestimmt, da die Mutter und der Vater eingesehen hatten das, es im System auch Veränderung geben musste und nicht immer alles „normal“ sein konnte. Die „gestauchte Gleichung“ y= 0,5(x+2)^2-1 berührte die „x-achse“ bei -1,5 und -3,5. Die neue „gestauchte Parabel“ war auch ziemlich beliebt nach einiger Zeit, genauso wie die „gestreckte Parabel“. Aber die größte Entdeckung machte der Architekt Punktus Parabelmann. Er entdeckte das man das alles auch einfach „spiegeln“ konnte, das war dann eine „gespiegelte Normalparabel“. Sie erhielt ebenfalls eine Stammgleichung y= a(x+d)^2+e. Alle Bewohner waren glücklich. So wurde aus der normalen Stadt, die unnormale Stadt Quadropolis. Doch das war nicht alles was nach der Revolution entstand. Sie fanden sogar die erste Kreuzung zwischen der „gestreckten Parabel“ und der „gestauchten Parabel“ heraus. Sie lag bei (-3,125;-19,265). Sogar Linis zogen in die Stadt, weil die Stadt so beliebt war. Die Stadt war voll mit „linearen Funktionen“ und allen möglichen Parabelstraßen von „gestreckten Parabeln“ über „gestauchten Parabeln“ bis zu „gespiegelten Parabeln“. Endlich wurde es wieder friedlicher in der Stadt, denn ab sofort war für jeden die perfekte „Parabel“ zu finden. Die älteren lebten meist in den „Normalparabeln“, da sie schon immer dort gewohnt hatten. Und die jüngeren lebten in den „unnormalen Parabeln“, da sie die neuen „Parabeln“ cooler und moderner fanden. Und die Linis lebten wie gewohnt in ihren „linearen Funktionen“. Quadropolis wurde offiziell zur beliebtesten Stadt benannt und sie bauen bis heute noch neue „Parabeln“.

Alles verstanden, na dann los.

  1. Zeichne die gestreckte und gestauchte Parabel auf Millimeterpapier ein, die gegeben sind in der Geschichte.
  2. Gesucht sind: Scheitelpunktsform und Normalform der gespiegelten Parabel bei (1;-4)
  3. Berechne die Nullstellen der Parabel aus 2. Hat sie überhaupt welche?
  4. Zeichne die gestauchte Parabel aus 2. ein, kontrolliere passen die Nullstellen zur Zeichnung.
  5. Erfinde „neue“ Straßen, eine neue gestreckte Parabel und eine neue gestauchte Parabel. Erforsche von beiden die Scheitelpunktsform, Normalform und Nullstellen.

Wenn du die Aufgaben gelöst hast, bist du bereit nach Quadropolis zu ziehen ;)

Quadropolis 2 (von Anabel)

Quadropolis 2

Im Land der Funktionen gibt es eine weitere Stadt, Quadropolis 2. Sie sieht ähnlich aus wie Quadropolis 1, denn ihre Straßen sehen von oben auch wie Parabeln aus, nur ein wenig anders.
Es gibt zwei verschiedene Arten von diesen Straßen. Zum Einen die lang Gestreckten und die breiten Gestauchten.
Zu den Gestauchten: Auch hier wurden Koordinatensysteme, zur Orientierung angelegt. Ein Paar zog bei (0;0) ein. Als deren Zwillinge älter wurden, zogen sie in verschiedene Richtungen. Auf dem Koordinatensystem bauten sie ihr Haus immer 1 Einheit hoch und mehr als 1 Einheit zur jeweiligen Seite. Doch weiter kann man diese Einheiten momentan nicht verfolgen, da es in Quadropolis 2 viele verschiedene Arten von gestauchten Straßenparabeln gibt. Es kommen auch extrem gestauchte Straßen vor, für welche man nur 1 Einheit hoch, aber sehr weit zur Seite müsste.
Nun zu den lang gestreckten Straßen:Bei ihnen verlief es nach den selben Prinzip, so dass also wieder Zwillinge sich ihre Häuser in verschiedene Richtungen bauten. Die Entfernung von ihnen zum Elternhaus sieht so aus: 1 Einheit hoch und weniger als 1 Einheit zur Seite. Somit wohnen sie nicht weit weg von ihren Eltern, dennnoch mussten sie ein Stück zur Seite ziehen, denn sonst würde sich keine Parabel ergeben. Auch hier kann man aufgrund der großen Vielfalt von gestreckten Straßenparabeln keine konkreteren Angaben machen. So setzte sich jede Parabel auf ihre eigene Art fort. Irgendwann wussten die Bewohner der Straßen nicht mehr, wo die Straße begann. So machten sich alle Bewohner auf die Suche und folgten ihrer eigenen Parabel bis nach unten. Dort trafen sie dann auf das Ursprungshaus. Nun wussten sie, dass die Straße hier begonnen hat. Einer der Bewohner sagte :“ Der Weg bis hier runter war ziemlich lang, gibt es denn keinen Weg dieses Haus zu berechnen ?“ Dann trat eine Frau aus dem Ursprungshaus heraus und antwortete :“ Doch den gibt es. Hier ist es genau so wie bei einer Normalparabel also y= x^2. Daraus lassen sich alle Quadratischen Funktionen ableiten. „Ah ich verstehe“ sagte der Bewohner. „ Und wie ist es, wenn man wissen möchte, ob oder wann eine Straße die x- Achse berührt ?“ „Das funktioniert auch so ähnlich wie bei den Normalparabeln“, sagte die Frau, „ nur hier bei könnte es vorkommen, dass sich eine Zahl vor das x^2 eingeschlichen hat. Jetzt muss man einfach die ganze Funktion durch diese Zahl teilen und schon kann man die p-q Formel anwenden und sogenannte Nullstelle berechnen.“ Die Bewohner waren sehr erstaunt, wie viel die Straßenälteste wusste. Ein anderer Bewohner fragte, „ aber wie berechnet man denn den Punkt, an der die Straße die y-Achse schneidet.“ Die Frau überlegte, doch ihr viel es nicht ein. Da trat ein älterer Mann aus dem Haus heraus und sagte, „ Vielleicht kann ich dabei helfen. Dazu nutzt man diese Formel : ax^2 +px+q. Jetzt setzt man einfach für a, p und q die jeweiligen Werte ein und rechnet es aus. Aber wichtig ist, dass man für das x immer 0 einsetzt, da auf der y-Achse x stehts 0 ist.“ Die Bewohner der Parabel waren so begeistert, dass sie noch mehr Fragen an das ältere Paar stellten. „Und was ist mit der Straße von neben an?“, fragte einer der Bewohner. „Diese schneidet unsere nämlich direkt neben meinem Haus. Kann man den Schnittpunkt der Parabeln denn auch berechnen?“ „Ja das geht ganz einfach, mit einem Gleichsetzungsverfahren.“, sagte der Mann. „Dafür setzt man also die Funktionsgleichungen der beiden Parabeln gleich und rechnet x und y aus. So erhält man den Schnittpunkt dieser Straßen.“ Ein weiterer Bewohner hatte eine Frage, welche ihn schon lange Zeit beschäftigte. „ Ich habe mal von einer Formel gehört, sie lautet: y=x^2 +px+q, doch ich verstehe sie nicht!“, sagte der Bewohner. „Das ist eine Formel für die Normalparabel, sie ist nur ein wenig anders aufgeschrieben nämlich in der Normalform.“ sagte die Frau. Nun bedankten und verabschiedeten sich die Bewohner von dem älteren Paar und gingen die Straßen wieder hinauf, mit neuem Wissen über „unnormale“ Parabeln.
Auch Quadropolis 2 ist eine wunderschöne Stadt. Es ist sehr zu empfehlen diese zu besuchen. Doch leider dürfen nur Menschen, welche ein gewisses Grundkenntnis der quadratischen Funktionen besitzen, die Stadt betreten. Darum ein paar Aufgaben :

  1. Skizziere eine gestauchte und eine gestreckte Parabel.
  1. Nenne für beide Arten den Wertebereich.
  1. Gegeben sind 2 Funktionsgleichungen, zeichne sie in ein Koordinatensystem ein.

f(x)=y=2x^2 g(x)=y=0,5x^2+1

(Lege dafür am besten eine Wertetabelle an.)

  1. Beschreibe das Monotonieverhalten aus Aufgabe 3.
  1. Bestimme ob die Funktionen aus 3. Gestauchte oder Gestreckte Parabeln sind.

Viel Freude beim Lesen ud Probieren Anabel

normale Parabeln

Umzug in Quadropolis

Quadropolis ist eine Riesenstadt im unendlichen Land der Funktionen. Wenn man mit dem Flugzeug darüber hinweg fliegt, so sind die Straßen deutlich zu erkennen. Alle Einwohner wohnen in Häuser, die auf Parabeln liegen. Ist ja klar, schließlich hat daher die Stadt ihren Namen. Während die Linis einfach nur geradeaus verlaufen, sind Parabeln komische krumme Dinger. Die Geometer meinen damit folgendes: Die suchen sich einen Punkt - so was kleines Niedliches - und borgen sich dazu eine Gerade. Nun marschieren die Geometer aufs Feld hinaus und schlagen überall da Pflöcke ein, wenn die etwas entdeckt haben, was von dem Punkt und der Geraden den gleichen Abstand hat. Nun und diese Pflöcke ergeben eben dann ein Gebilde, was Parabel genannt wird.

Am Anfang war das Gebiet des heutigen Quadropolis eine große leere Ebene. Damit sich die Leute nicht verliefen legten Sie ein Koordinatensystem fest, so wie sie es bei den Linis gelernt hatten. Die Grundsteinlegung für das erste Haus erfolgte beim Koordinatenursprung. Die Familie bekam Zwillinge. Der eine zog eins nach links und eins nach oben, der andere nach rechts und oben. Dort bauten sie ihr eigenes Haus. Beide heirateten. (Es gibt ja noch andere Geschichten, wo nicht klar ist, wo plötzlich die Heiratskandidaten herkommen, also lassen wir das hier auch einfach so passieren.) Der jeweils älteste Sohn baute dann wiederum jeweils ein Haus, welches sich wieder eine Einheit weiter rechts für den Rechten und eine Einheit weiter links für den Linken befand. Allerdings waren sie 3 Einheiten nach oben weiter gezogen. So setze sich das fort. Eine Einheit links bzw. rechts und dann 5 Einheiten, 7 Einheiten, 9 Einheiten, ... nach oben. Die Abstände zwischen den Nachbarhäusern wurde also immer größer, aber das hielten alle für normal, so dass sie ihrer Straße den Namen "Normalparabel" gaben. Wenn man die Leute alle besuchte, stellte man sehr schnell fest, dass, von links gesehen, die Straße abwärts führte und nach dem Stammhaus bei (0;0) plötzlich steigend verlief. Ganz schlaue Leute finden heraus, wo sich so ein Haus befindet. Wenn x der Abstand auf der x-Achse - die nette Abzisse- ist, dann ergibt sich für den Wert y auf der y-Achse - die aufstrebende Ordinate - einfach y=x². Diese Gleichung ist die Stammmutter aller quadratischen Funktionen.

Als die Kinder aus dem Koordinatenursprung ausgezogen waren, trat dort eine herrliche Ruhe ein. Es mussten keine Hausaufgaben mehr organisiert werden, das Gezänk wegen des Fernsehprogramms hörte auf, einfach klasse. Die beiden Alten besuchten immer mal ihre Kinder oder auch Enkelkinder und als sie wieder nach Hause kamen fingen Sie an zu überlegen, was wäre denn, wenn nun auch immer Zwillinge geboren worden wären und diese nicht in einem gemeinsamen Haus wohnen wollten. Zwar passen in ein Punkthaus unendlich viele Punktfamilien, aber man weiß ja wie das ist, wenn viele zusammen kommen. Die Mutter hatte die Idee, dass die Häuser einfach entlang einer neuen Straße gebaut werden könnten. Diese Straße könnte einfach eine Einheit weiter oben liegen als die bisherige Straße. Der Tiefpunkt - auch Scheitel genannt - wäre dann nicht mehr ihr Haus bei (0;0) sondern bei (0;1) und genau so einfach wäre die Berechnung mit y = x² +1. Klasse Idee, meinte der Vater, genau ließe sich dann auch weiter nach oben oder gar nach unten verschieben und alle Straßen wären noch immer "Normalparabeln". Da könnten die Stadtplaner ja gleich eine Schablone nehmen, die einfach bei (0;e) -e wie egal was wir für eine Zahl nehmen - ansetzen und eine neue Straße vorgeben. Ein Nachrechnen mit y = x² + e, egal ob e nun positiv oder negativ ist, wäre ja noch immer möglich. Der Gedanke mit der Schablone bringt mich auf eine Idee, sagte die Mutter. Solche Straßen könnten doch auch auf der x-Achse, also nach links und rechts neu konzipiert werden. Lass mich mal nachdenken. Wenn der Scheitelpunkt bei (0;1), dann wird aus (1;1) (2;1) aus (2;4) wird (3;4) und aus (3;9) wird (4;9), dann muss aus y = x² na verflixt, halt ich hab's y = (x-1)² werden. Stimmt genau meinte der Vater. Wenn ich das schnell noch mal nachrechne hast du recht. Dann heißt das aber doch genau so, liegt der Scheitelpunkt bei (2;0) heißt die Gleichung y = (x - 2)². Perfekt, schieben wir es nach links also beispielsweise nach (-3;0) klappt es mit y = (x + 3)². Wenn ich also eine Gleichung sehe der Form y = (x + d)², dann ist das Bild einfach wieder eine "Normalparbabel", deren Scheitelpunkt bei (-d;0) liegt. Das d steht einfach für das wars.

Wenn wir einmal beim Spinnen sind, machen wir es komplett. Wenn wir eine "Normalparabel" richtig in das Koordinatensystem hinein verschieben wollen und nicht bloß entlang der Achsen, dann wurstele ich mich nicht an allen anderen vorbei, sondern mache zwei Schritte hintereinander, also beispielsweise erst rechts oder links, also die Sache mit dem d und anschließend nach oben oder unter also die Sache mit dem e. Damit sieht es am Ende wieder richtig "schräg" aus. Die Gleichung y = (x +d)² +e passt also zu einer "Normalparabel" deren Scheitelpunkt bei (-d;e) liegt.

Puh, damit hätten wir für alle Generationen ausgesorgt meinten Vater und Mutter und waren zufrieden.

Nun, das stimmt aber so nicht ganz meinten zwei "Linis", die in der Kneipe "Zur runden Sache" von den Überlegungen hörten. Was ist denn mit unnormalen Parabeln, was ist mit den besonderen Punkten, bei denen von uns die Rede gewesen ist? Und was macht man, wenn die Gleichung mal so aussieht y = x² +px +q, wo bei p und q irgendwelche Zahlen sein sollen? Gemach, gemach, sagten Vater und Mutter, die Antworten werdet ihr in Quadropolis II hören.

Denkt noch mal darüber nach:

  1. Wie kommen Geometer zu einer Parabel? *Wie erreichen die eine "Normalparabel?

  2. Welchen Wertebereich haben "Normalparabeln" der einzelnen Arten?

  3. Zeichne alle Funktionsbilder für e= -2; -1; 0; 1 und 2 und d=-2; -1; 0; 1 und 2

  4. Beschreibe das Monotonieverhalten der Funktionen aus 3.

  5. Lies in Vorbereitung auf Quadropolis II die Nullstellen der Funktionen aus 3. ab.  Erkennst du ein System?

Denkt noch mal darüber nach:

Wurzelzwerge

Der Aufstand der Wurzelzwerge

Unerhörte Dinge spielten sich gestern im Mathereich ab. Ort des Geschehens war eine der Hauptstraßen, der Zahlengeraden. Aber der Reihe nach:

Die Straße ist - wie so viele andere auch - unendlich lang. Es gibt auf ihr Hauser mit Hausnummern. Dort wohnen die Ureinwohner, die man einfach natürliche Zahlen nennt, denn sie natürlich zu erst da. Da allerdings nur die halbe Straße Hausnummern hätte haben die Häuser, die genauso weit vom Marktplatz - liebevoll Null genannt - einfach einen kleinen Strich vor dem Bauch. Die anfängliche Aufregung über ihren Namen haben sie schon lange überwunden - sagt man - wer möchte eigentlich wirklich schon negativ genannt werden. Den Rechtsstreit vor dem Mathverfassungsgericht haben sie nun mal verloren, so werden es wohl auf ewig die Negis bleiben. Rational betrachtet aber haben sie wenigsten keinen Ärger mit den Wurzelzwergen, denn die mussten ausziehen und wohnen alle rechter Hand vom Markt.

Auch jeder Wurzelzwerg wohnt in seinem eigenen Haus. Wie nicht anders zu erwarten, gibt es zwischen zwei benachbarten natürlichen Hausnummern unendliche viele solcher Behausungen. Es gibt recht unterschiedliche Arten. So wohnen die Zwerge in den natürlichen Häusern, aber auch in solchen die nur wenige oder wie die Mathezis bescheiden sagen endlich viele Stellen nach dem Komma haben - die Endlis. Die ewig langen werden in Langweiler und Spinner eingeteilt. Die Langweiler haben irgendwann immer wieder die selben Zahlen und das in der gleichen Reihenfolge, die nennen sich Peris, weil die Mathezis, sie als unendlich periodisch bezeichnen. Nur die Neunis sind nicht zugelassen. Eigentlich ist ja nun klar, dass die Spinner dann in alle Ewigkeit immer wieder neue Zahlenmuster wollen. Aber die anderen sind tolerant und lassen sie gewähren.

Nun aber was sind das überhaupt für welche diese Zwerge. Wenn ein Zwerg mit sich selber tanzt, die Normalos sagen die Zahl wird mit sich multipliziert, verwirbeln sie zu einer Zahl, die Basis genannt wird. Wenn der Basis von der vielen Tanzerei die Luft ausgeht gibt sie ihren Wurzelzwerg wieder frei. Meistens machen Sie das aber nicht freiwillig, so dass man die Wurzel regelrecht ziehen muss um sie zu erkennen.

Auf dem gestrigen Treffen der Wurzelzwerge kam es zum Eklat. Die Zwerge, die zwischen 0 und 1 wohnen demonstrierten für die Abschaffung des Namens Wurzelzwerge, schließlich seien sie größer als die Selbsttanzergebnisse. Das Getöse wurde immer größer, so dass die die beiden Stadträte 0 und und 1 endlich einschritten. Die waren so wie so die einzigen Kompetenten in Sachen Wurzeln. Sie traten vor die empörten Zwerge, lasen die Transparente und dachten kurz nach. Lasst uns dass demokratisch entscheiden. Wir machen ein Wurzelvolksabstimmung, wenn sich eine Mehrheit findet, den Namen abzuschaffen, dann soll es so sein. Die Demonstranten waren zufrieden, schließlich waren sie unendlich viele und da sollte sich bei der Stimmabgabe doch was machen lassen. Frohen Mutes waren auch die Zwerge rechts der 1, da ja ihr Straßenabschnitt viel länger war. Die Abstimmung solle sofort beginnen und so kam es wie es kommen musste. Ein riesiges Gedrängel setzte ein und manche wollten gar schummeln und zweimal abstimmen. Stopp sprachen die Stadträte. Alles noch mal von vorn. Alle gehen paarweise in das Wahllokal: Immer einer von 0-1 mit seinem reziproken Partner von der rechten Straßenseite.

Nun aber stellte sich heraus, dass sich wieder unendlich viele Paare fanden und da jeder bei seiner Meinung blieb ging die Abstimmung fifty fifty aus. 0 und 1 hatten sich als Wahlleiter der Stimme enthalten.

Und so heißen alle Wurzeln noch immer Wurzelzwerge, selbst wenn sie größer als ihre Basen sind.

 

Nun noch ein paar Fragen an die Normalos:

  1. Welche Zahlenbereiche werden auf der Zahlengeraden abgebildet?

  2. Für welchen Zahlenbereich sind Wurzeln definiert?

  3. Erweitere den Quadratwurzelbegriff des Textes auf einen allgemeinen Wurzelbegriff.

  4. Zeige an Beispielen, die Berechtigung des Zornes eines Teils der Wurzelzwerge.

  5. Wieso sind 0 und 1 die Kompetenten in Bezug auf das Wurzelziehen?

  6. *Für Fortgeschrittene: Zeige, dass es Unterschiede in der Mächtigkeit der unendlichen Mengen gibt, die bei 1. aufgezählt werden.

  7. ... so jetzt reicht es erst einmal.

Die Linis

Die Linis

 

In der sehr großen Welt der Mathematik trafen sich mehr oder weniger zufällig zwei Adlige.

Die Normalos sahen den Namen f(x) und g(x) ihre vornehme Abstammung nicht an, allen anderen war klar, wie man das spricht: f von x und g von x. Nun ja als Vertreter aus dem Hause der Funktionen machten die beiden nicht viel her. Sie waren etwas arm dran, war doch das Bild - auch wenn sie Graph dazu sagten - was sie von sich machten, jeweils nur eine Gerade, weshalb sie lineare Funktionen genannt wurden.

Trotzdem waren sie mit allen anderen Funktionen verwandt, sie hatten einen Definitionsbereich und einen Wertebereich.

Als sie einander ihre Funktionsgleichungen offenbarten, stellten sich aber doch deutliche Unterschiede heraus. So war f(x) monoton steigend, während g(x) monoton fallend war. Ihr Anstieg war einfach zu verschieden. Jede dieser Funktionen hatte viele - ach was unendlich viele Brüder - das waren die Funktionen, deren Graphen zu ihren eigenen parallel waren. Genau so hatten sie unendlich viele Schwestern, die daran zu erkennen waren, dass sie sich alle auf der y-Achse - liebevoll auch Ordinate genannt - trafen. Eine von denen schlug aber aus der Art. Allerdings lässt sich feststellen, wenn zwei lineare Funktionen nicht direkt verwandt sind, haben sie irgendwo auch einen Punkt gemeinsam - eine entfernte Verwandtschaft lässt sich nicht leugnen, war ja klar, wo das doch alles "Linis" sind.

Bis auf die komischen Schwestern, haben alle einen schwachen Punkt. (Wer hat den nicht, einer macht nicht gern Hausaufgaben, andere räumen nie auf, hocken vor dem Fernseher und dann gibt's noch welche, die sich solche Geschichten ausdenken.) Der schwache Punkt ist die Stelle, wo die Graphen durch die x-Achse -pardon die Abzisse - durchbohren. Diese Stelle war f(x) die 6, während die Nullstelle von g(x) schon bei 3 lag.

Ihr zartes Geheimnis verbargen sie bei (4;-1). Dort konnten sie zusammenkommen.

 

Für die Mathezis ist nun alles gesagt, aber die Normalos müssen nun noch einige Fragen beantworten.

  1. Was ist das genau, was die beiden Funktionen mit allen Funktionen gemeinsam haben?

  2. Warum werden sie lineare Funktionen genannt?

  3. Wie heißen die Funktionsgleichungen der beiden Funktionen?

  4. Was heißt die Funktionen sind monoton steigend oder fallend?

  5. Woran erkennt aus dem Vergleich der Funktionsgleichungen in welchem Verwandtschaftsverhältnis die Funktionen stehen?

  6. Charakterisiere die komische Schwester?

  7. Wie lässt sich der schwache Punkt berechnen?

  8. Ja wie ermittle ich denn nun den geheimen Punkt?

Anmerkung: Eigentlich ist der schwache Punkt ein sehr starker, stellt er doch die Lösung der entsprechenden linearen Gleichung dar.
Aber was soll es, es gibt immer mal Mißverständnisse.