Quadropolis 2 (von Anabel)

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Quadropolis 2

Im Land der Funktionen gibt es eine weitere Stadt, Quadropolis 2. Sie sieht ähnlich aus wie Quadropolis 1, denn ihre Straßen sehen von oben auch wie Parabeln aus, nur ein wenig anders.
Es gibt zwei verschiedene Arten von diesen Straßen. Zum Einen die lang Gestreckten und die breiten Gestauchten.
Zu den Gestauchten: Auch hier wurden Koordinatensysteme, zur Orientierung angelegt. Ein Paar zog bei (0;0) ein. Als deren Zwillinge älter wurden, zogen sie in verschiedene Richtungen. Auf dem Koordinatensystem bauten sie ihr Haus immer 1 Einheit hoch und mehr als 1 Einheit zur jeweiligen Seite. Doch weiter kann man diese Einheiten momentan nicht verfolgen, da es in Quadropolis 2 viele verschiedene Arten von gestauchten Straßenparabeln gibt. Es kommen auch extrem gestauchte Straßen vor, für welche man nur 1 Einheit hoch, aber sehr weit zur Seite müsste.
Nun zu den lang gestreckten Straßen:Bei ihnen verlief es nach den selben Prinzip, so dass also wieder Zwillinge sich ihre Häuser in verschiedene Richtungen bauten. Die Entfernung von ihnen zum Elternhaus sieht so aus: 1 Einheit hoch und weniger als 1 Einheit zur Seite. Somit wohnen sie nicht weit weg von ihren Eltern, dennnoch mussten sie ein Stück zur Seite ziehen, denn sonst würde sich keine Parabel ergeben. Auch hier kann man aufgrund der großen Vielfalt von gestreckten Straßenparabeln keine konkreteren Angaben machen. So setzte sich jede Parabel auf ihre eigene Art fort. Irgendwann wussten die Bewohner der Straßen nicht mehr, wo die Straße begann. So machten sich alle Bewohner auf die Suche und folgten ihrer eigenen Parabel bis nach unten. Dort trafen sie dann auf das Ursprungshaus. Nun wussten sie, dass die Straße hier begonnen hat. Einer der Bewohner sagte :“ Der Weg bis hier runter war ziemlich lang, gibt es denn keinen Weg dieses Haus zu berechnen ?“ Dann trat eine Frau aus dem Ursprungshaus heraus und antwortete :“ Doch den gibt es. Hier ist es genau so wie bei einer Normalparabel also y= x^2. Daraus lassen sich alle Quadratischen Funktionen ableiten. „Ah ich verstehe“ sagte der Bewohner. „ Und wie ist es, wenn man wissen möchte, ob oder wann eine Straße die x- Achse berührt ?“ „Das funktioniert auch so ähnlich wie bei den Normalparabeln“, sagte die Frau, „ nur hier bei könnte es vorkommen, dass sich eine Zahl vor das x^2 eingeschlichen hat. Jetzt muss man einfach die ganze Funktion durch diese Zahl teilen und schon kann man die p-q Formel anwenden und sogenannte Nullstelle berechnen.“ Die Bewohner waren sehr erstaunt, wie viel die Straßenälteste wusste. Ein anderer Bewohner fragte, „ aber wie berechnet man denn den Punkt, an der die Straße die y-Achse schneidet.“ Die Frau überlegte, doch ihr viel es nicht ein. Da trat ein älterer Mann aus dem Haus heraus und sagte, „ Vielleicht kann ich dabei helfen. Dazu nutzt man diese Formel : ax^2 +px+q. Jetzt setzt man einfach für a, p und q die jeweiligen Werte ein und rechnet es aus. Aber wichtig ist, dass man für das x immer 0 einsetzt, da auf der y-Achse x stehts 0 ist.“ Die Bewohner der Parabel waren so begeistert, dass sie noch mehr Fragen an das ältere Paar stellten. „Und was ist mit der Straße von neben an?“, fragte einer der Bewohner. „Diese schneidet unsere nämlich direkt neben meinem Haus. Kann man den Schnittpunkt der Parabeln denn auch berechnen?“ „Ja das geht ganz einfach, mit einem Gleichsetzungsverfahren.“, sagte der Mann. „Dafür setzt man also die Funktionsgleichungen der beiden Parabeln gleich und rechnet x und y aus. So erhält man den Schnittpunkt dieser Straßen.“ Ein weiterer Bewohner hatte eine Frage, welche ihn schon lange Zeit beschäftigte. „ Ich habe mal von einer Formel gehört, sie lautet: y=x^2 +px+q, doch ich verstehe sie nicht!“, sagte der Bewohner. „Das ist eine Formel für die Normalparabel, sie ist nur ein wenig anders aufgeschrieben nämlich in der Normalform.“ sagte die Frau. Nun bedankten und verabschiedeten sich die Bewohner von dem älteren Paar und gingen die Straßen wieder hinauf, mit neuem Wissen über „unnormale“ Parabeln.
Auch Quadropolis 2 ist eine wunderschöne Stadt. Es ist sehr zu empfehlen diese zu besuchen. Doch leider dürfen nur Menschen, welche ein gewisses Grundkenntnis der quadratischen Funktionen besitzen, die Stadt betreten. Darum ein paar Aufgaben :

  1. Skizziere eine gestauchte und eine gestreckte Parabel.
  1. Nenne für beide Arten den Wertebereich.
  1. Gegeben sind 2 Funktionsgleichungen, zeichne sie in ein Koordinatensystem ein.

f(x)=y=2x^2 g(x)=y=0,5x^2+1

(Lege dafür am besten eine Wertetabelle an.)

  1. Beschreibe das Monotonieverhalten aus Aufgabe 3.
  1. Bestimme ob die Funktionen aus 3. Gestauchte oder Gestreckte Parabeln sind.

Viel Freude beim Lesen ud Probieren Anabel

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