Kubikwurzel

Kubikwurzel

Kubikwurzel oder auch 3. Wurzel aus einer nichtngeativen Zahl: \sqrt[3]{ x } = a, wenn a³ = x gilt.
Zur näherungsweisen Berechnung lässt sich folgende Formel verwenden:
Mit 0<x<1ergibt sich:  \sqrt[3]{1+x} \approx 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2
Wie aber macht man es bei größeren Zahlen?
Okay, kleiner Trick gezeigt am Beispiel von \sqrt[3]{345}
Man such zuerst die zu 345 nächst kleinere Kubikzahl ==> 343 = 7³
\sqrt[3]{343 +2} = (343 + 2)^{\frac{1}{3}} = 343^{\frac{1}{3}}(1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}} = 7 \cdot (1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}}
Nun wird der Zweite Faktor nach der obigen Formel angenähert:
(1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}} \approx 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{343} - \frac{1}{9} \cdot {(\frac{2}{343})}^2
Der letzte Teile in der Formel ist winzig klein, kann also vernachlässigt werden.
(1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}} \approx 1 + 0,00194
\sqrt[3]{345} \approx 7 \cdot 1,00194 = 7,01358
Der Taschenrechner zeigt als Ergebnis 7,013579083, die Näherung ist also wirklich gut.



Der Beitrag basiert auf: Maximimilian Miller "Rechenvorteile"


Kubikwurzel ausrechnen