Tangentenkonstruktionen am Kreis

Details
Zugriffe: 157762

Tangentenkonstruktionen am Kreis

Hier werden die klasssischen Tangentenkonstruktionen vorgestellt.
Grundlage 1 für die Konstruktionen ist zum einen die Tatsache, dass die Tangente eines Kreises senkrecht zum Berührungsradius verläuft.  Grundlage 2 ist der Satz des Thales.

1. Konstruktion einer Tangente an einen Kreis, wenn der Kreis und ein Punkt P auf dem Kreis gegeben sind.
tangentenkonstruktion-1
Konstruktionsmöglichkeit: Der Mittelpunkt M wird mit dem Punkt P durch einen Strahl (von M aus) verbunden. Anschließend wird eine Senkrechte zu diesem Strahl im Punkt P konstruiert. Die so erhaltene Senkrechte ist die gesuchte Tangente.
2. Konstruktuktion von Tangenten an einen Kreis, die durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkte verlaufen sollen.
tangentenkonstruktion-2
Konstruktionsmöglichkeit: Der Mittelpunkt M des gegebenen Kreises und der außerhalb liegende Punkt P werden miteinander verbunden. Die Strecke MP wird halbiert (Grundkonstruktion) und dieser Punkt mit MMP bezeichnet. Nun wird der Kreis  (Mittelpunkt MMP , Radius MP/2) gezeichnet - im Bild rot. Es entstehen die Schnittpunkte T1 und T2. Die Winkel MT1P und MT2P sind nach dem Satz des Thales rechte Winkel (im roten Hilfskreis). Die Geraden t1 und t2 - siehe Bild - sind die gesuchten Tangenten.
3. Konstruktion von Tangenten an zwei Kreise. - das nicht in jedem Fall möglich - siehe Lagebeziehungen von Kreisen.
3.1 Konstruktion äußerer Tangenten
tangentenkonstruktion-3 kBild in groß

Die Konstruktionsbeschreibung bezieht sich auf das Bild r1 größer r2 Abstand a der Mittelpunkte ist größer als r1 + r2.
Um M1 wird ein Kreis gezeicnet, der den Radius r_3 = r_1 -r_2 hat. (kleiner roter Hilfskreis). Die Strecke M1M2 wird halbiert und ein zweiter Hilfskreis (Bild großer roter Kreis) gezeichnet. Dieser zweite Hilfskreis schneidet den kleinen roten Kreis  in den Punkten A bzw. B. Diese Punkte werden mit M2 verbunden - rote Hilfsgeraden. Die Punkte A und B werden auch mit M1 verbunden. Diese "Verbindungen" schneiden den ersten Kreise in den Punkten T1 und T2. Es werden nun die roten Hilfsgeraden parallel durch die Punkte T1 und T2 verschoben. Die verschobenen Geraden sind die gesuchten Tangenten. Die Tangenten schneiden sich in einem Punkt T, der auf der Geraden durch M1M2 liegt.
Kurzer Einschub: Wie weit ist T von M2 entfernt? M1M2 sei a und gesucht sei x. Hier hilft der Strahlensatz.
\frac{x}{r_2} = \frac{x+a}{r_1} \\ x = \frac{r_2 \cdot a}{(r_1 - r_2)}
 
Sind die Kreise gleich groß, so werden in M1 und M2 Senkrechten bezogen auf M1M2 errichtet. Diese Senkrechten schneiden die Kreise in den Punkten, die dann durch die gesuchten Tangenten zu verbinden sind. Einen Schnittpunkt T gibt es nicht.
3.2. Konstruktion innerer Tangenten.
Die Konstruktionsbeschreibung bezieht sich auf das Bild r1 größer r2 Abstand a der Mittelpunkte ist größer als r1 + r2.
tangentenkonstruktion-4 kBild in groß

Um den Mittelpunkt M2 wird ein Kreis mit r_3 = r_1 + r_2 (linker roter Kreis.) Die Strecke M1M2 wird halbiert und ein zweiter Hilfskreis (rechter roter Kreis) gezeichnet. Dieser zweite Hilfskreis schneidet den ersten roten Kreis in zwei Punkten A und B. Diese Punkte werden mit M2 verbunden - rote Hilfsgeraden. Die Punkte A und B werden auch mit M1 verbunden und schneiden den ersten Kreis in T1 und T2. Die roten Hilfsgeraden werden parallel durch die Punkte T1 und T2 verschoben. Die so erhaltenen Geraden sind die gesuchten Tangenten.
Kurze Ergänzung: Wie weit ist P von M2 entfernt? M1M2 sei a und gesucht sei x. Auch hier hilft der Strahlensatz.
\frac{x}{r_2} = \frac{a-x}{r_1} \\ x = \frac{r_2 \cdot a}{(r_1 + r_2)}

Diese Aufgabenstelungen lassen sich noch abändern, in dem die Tangenten vorgegeben werden und dann die passenden Kreise zu finden sind.