Serie 54

 

Serie 54

Hier werden die Aufgaben 637 bis 648 veröffentlicht.

Aufgabe 1

635. Wertungsaufgabe

Logikaufgabe

637 Logikaufgabe
Maria hat mit ihren Freundinnen (Amelie, Charlotte, Diana, Elsa, und Mia) gechattet (Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag und Freitag). An jedem der Tage schrieb eine von ihnen eine Klassenarbeit in einem anderen Fach (Mathematik, Physik, Chemie, Latein bzw. Musik). Sie wohnen jede in einer anderen Stadt (Celle, Köln, Mainz, Nürnberg bzw. Zeitz). Am Wochenende gab Maria ihrem Bruder folgende Informationen:
1. Charlotte schrieb am Donnerstag entweder Mathematik oder Musik.
2. Diana aus Zeitz schrieb die Lateinarbeit.
3. Amelie wohnt in  der kleinsten oder der größten der Städte.
4. Am Tag nach der Chemiearbeit schrieb Elsa, die nicht in Celle wohnt, die Mathematikarbeit.
5. Mia wohnt in Mainz.
6. Die Musikarbeit wurde drei Tage später geschrieben als Latein.
7. Am Freitag chattete Maria mit ihrer Freundin, die entweder in Mainz oder in Nürnberg wohnt.
Wer wohnt wo und schrieb wann welche Arbeit?
Sechs blaue Punkte

Die Mädchen, die zufälligerweise alle in der Hauptstraße wohnen (Hausnummern sind 11, 13, 15, 17, und 19) halfen aber auch an einem der Wochentage beim Renovieren der Wohnung (Bad, Kinderzimmer, Balkon, Küche, Flur).
1. Das Mädchen aus der Nummer 15 half bei der Küche mit, das war ein oder zwei Tage nach dem Einsatz von Amelie.
2. Diana wohnt im Haus mit der Nummer 19.
3. Elsa, die nicht  in der 13 wohnt, half beim Flur mit. Das war nach der Aktion mit dem Kinderzimmer.
4. Am Mittwoch wurde im Haus mit der Nummer 11 gearbeitet.
5. Am Freitag wurde der Balkon gemacht, aber nicht von Charlotte.
6. Am Donnerstag war Mia aktiv, deren Hausnummer unterscheidet sich um 4 von der Hausnummer der Helferin beim Renovieren des Bades.
Wer wohnt wo und half wann wobei mit?
6 rote Punkte

--> Vorlage zum Ankreuzen <--

--> Symbolrätsel <--

Termin der Abgabe 09.04.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 09.04.1920. Deadline for solution is the 9th. April 2020. Date limite pour la solution 09.04.2020. Soluciones hasta el 09.04.2020. Beadási határidő 2020.04.09.

hun

Logikai feladat

Mária a barátnőivel (Amelie, Charlotte, Diana, Elsa és Mia) csetelt minden nap (hétfő, kedd, szerda, csütötök és péntek). Minden nap írt valamelyikük dolgozatot egy tárgyból (matek, fizika, kémia, latin és zene). Mind különböző városban laknak (Celle, Köln, Mainz, Nürnber és Zeitz). A hétvégén a következő információt árulja el Mária a testvérének:

  1. Charlotte csütörtökön írt vagy matekból, vagy zenéből.
  2. Diana Zeitzban lakik és latinból írt.
  3. Amelie vagy a legkisebb, vagy a legnagyobb városban lakik.
  4. A kémiadolgozat utáni napon Elsa, aki nem Cellében lakik, matekból írt.
  5. Mia Mainzban lakik.
  6. Zenéből három nappal később írtak, mint latinból.
  7. Pénteken azzal a barátnőjével csetelt Mária, aki vagy Mainzban, vagy Nürnbergben lakik.

Ki hol lakik és miből, mikor írt dolgozatot? 6 kék pont
A lányok, aki véletlenül mind a Fő utcán laknak (házszám 11, 13,15, 17 és 19) csak egy nap segítenek a takarításban (fürdő, gyerekszoba, balkon, konyha, folyosó).
1. A lány, aki a 15-ös szám alatt lakik segített a konyha kitakarításában egy vagy két nappal Amelie után.
2. Diana a 19-es számú házban lakik.
3. Elsa, aki nem a 13-ban lakik, segített a folyosóban. Ez pedig a gyerekszoba után következett.
4. Szerdán a 11-es házban lakó dolgozott.
5. Pénteken takarították ki a balkont, de nem Charlotte.
6. Csütörtökön Mia dolgozott, akinek a házszáma néggyel különbözik a fürdőt kitakarítójáétól.
Ki hol lakik, mikor és mit takarított ki? 6 piros pont

--> Enigma <--

fr

637 tâche logique

Maria a discuté avec ses amis (Amélie, Charlotte, Diana, Elsa et Mia) (lundi, mardi, mercredi, jeudi et vendredi). Chaque jour, l'un d'eux a écrit une évaluation en classe dans une matière différente (mathématiques, physique, chimie, latin ou musique). Ils vivent chacun dans une ville différente (Celle, Cologne, Mayence, Nuremberg et Zeitz). Le week-end, Maria a donné à son frère les informations suivantes:

  1. Charlotte a écrit l’évaluation des maths ou de la musique jeudi.
  2. Diana de Zeitz a écrit l’évaluation en latin.
  3. Amélie vit dans la plus petite ou la plus grande des villes.
  4. Le lendemain de l’évaluation de chimie, Elsa, qui ne vit pas à Celle, a eu l’évaluation de mathématiques.
  5. Mia vit à Mayence.
  6. L’évaluation en musique a été écrite trois jours après celle du latin.
  7. Le vendredi, Maria discute avec son amie, qui vit soit à Mayence soit à Nuremberg.

Qui vit où et a écrit quelle évaluation quand?
Six points bleus
Les filles, qui vivent toutes dans la rue principale (les numéros de maison sont 11, 13, 15, 17 et 19) ont également aidé à rénover l'appartement un des jours de la semaine (salle de bains, chambre d'enfants, balcon, cuisine, couloir).

  1. La fille du numéro 15 a aidé à la cuisine, c'était un jour ou deux après l’action d’Amélie.
  2. Diana vit dans la maison avec le numéro 19.
  3. Elsa, qui ne vit pas dans le numéro 13, a aidé avec le couloir. C'était après l'action avec la chambre des enfants.
  4. Mercredi, on a travaillé dans la maison numéro 11.
  5. Le balcon a été réalisé vendredi, mais pas par Charlotte.
  6. Jeudi, Mia était active, son numéro de maison diffère de 4 du numéro de la maison de la fille qui a aidé lors de la rénovation de la salle de bain.

Qui vit où et a aidé quand?
6 points rouges

--> Enigma <--

esp

637 - problema de lógica

María ha chateado con sus amigas (Amelie, Charlotte, Diana, Elsa y Mia) desde lunes hasta viernes (lunes, martes, miércoles, jueves, viernes). Cada día una de las chicas hizo un examen en una materia distinta (matemáticas, física, química, latín, música). Cada una de las chicas vive en otra ciudad que las otras (Celle, Colonia, Maguncia, Núremberg, Zeitz). El fin de semana María le dio las siguientes informaciones a su hermano: 

  1. El jueves Charlotte hizo el examen o de matemáticas o de música. 
  2. Diana que vive en Zeitz hizo el examen de latín.
  3. Amelie vive o en la ciudad más pequeña o en la más grande.
  4. Elsa no vive en Celle y hizo el examen de matemáticas el día después del examen de química. 
  5. Mia vive en Maguncia.
  6. El examen de música se hizó tres días después del examen de latín.
  7. El viernes María chateaba con sus amigas que viven o en Maguncia o en Núremberg. 

Entonces, ¿quién vive dónde? y ¿cuándo hizo cuál examen? 6 puntos azules.

Casualmente, las chicas que todas viven en la calle principal (números 11, 13, 15, 17 y 19) también todas ayudaron en la renovación de la vivienda (baño, cuarto de los niños, balcón, cocina, pasillo) a uno de los días de la semana. 

  1. La chica del número 15 ayudó en la cocina. Esto era un o dos días después del esfuerzo de parte de Amelie.
  2. Diana vive en la casa con el número 19.
  3. Elsa no vive en la 13 y ayudó en el pasillo. Esto pasó el día después de la acción en el cuarto de los niños.
  4. El miércoles se trabajó en la casa con el número 11.
  5. El viernes se trabajó en el balcón, pero sin Charlotte.
  6. El jueves Mia era activa. El número de su casa se distingue por 4 del número de casa de la ayudante en la renovación del baño.

Ahora, ¿quién vive en qué casa y ayudó cuando y en qué parte de la vivienda? 6 puntos rojos

Maguncia = Mainz,
Colonia = Köln,
Núremberg = Nürnberg

--> Enigma <--

en

637 logical task
Maria chatted with her friends (Amelie, Charlotte, Diana, Elsa, und Mia) on the following days: Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday and Friday. On every day one of them took a test in another subject (maths, physics, chemistry, Latin, music). They all live in a different city (Celle, Köln, Mainz, Nürnberg, Zeitz). On the weekend Maria gave the following information to her brother:
1. On Thursday Charlotte took either maths or music.
2. Diana from Zeitz took the math-test. .
3. Amelie lives in the smallest or in the biggest city.
4. On the day after the chemistry-test Elsa, who doesn´t live in Celle, took the math-test.
5. Mia lives in Mainz.
6. The music-test was taken 3 days after the Latin-test.
7. On Friday Maria chatted with her friend, who either lives in Mainz or in Nürnberg.
Who lives where? Who took when, which test? - 6 blue points
The girls, who coincidentally all live in the same main street (house numbers 11, 13, 15, 17, and 19) helped renovating the flat on one of the weekdays (bathroom, children’s room, balcony, kitchen, hallway).
1. The girl from number 15 helped in the kitchen, this was one or two days after the help of Amelie.
2. Diana lives in the house with the number 19.
3. Elsa, who doesn`t live in number 13, helped in the hallway. This was after the project in the children`s room.
4. On Wednesday it was worked inside the house with number 11.
5. On Friday they worked on the balcony, but not the one from Charlotte.
6. On Thursday Mia was active, her house number differs by 4 from the house number of the person, who helped renovating the bathroom.
Who lives where? Who helped whom and when? – 6 red points

--> Enigma <--

it

637 Compito di logica
Maria ha chattato con le sue amiche (Amelie, Charlotte, Diana, Elsa e Mia). Ogni giorno (lunedì, martedì, mercoledì, giovedì e venerdì) quando Maria chattava con lei, una delle amiche aveva scritto un tema in classe diverso (matematica, fisica, chimica, latino, musica). Tutte le amiche vivono in città diverse (Celle, Colonia, Magonza, Norimberga, Zeitz). Il fine settimana, Maria dava le informazioni seguenti a suo fratello:
1. Giovedì Charlotte aveva il tema di classe o di matematica o di musica.
2. Diana di Zeitz aveva il tema di latino.
3. Amelie vive o nella città più piccola o più grande.
4. Un giorno dopo il tema di chimica, Elsa, che non vive a Celle, aveva il tema di matematica.
5. Mia abita a Magonza.
6. Il tema di musica aveva luogo tre giorni dopo il tema di latino.
7. Venerdì, Mia chattava con sua amica che abita o a Magonza o a Norimberga.
Chi abita dove e aveva quando quale tema di classe? – 6 punti blu
1. Le ragazze, che per caso abitano tutte nella “Strada principale” (civici 11, 13, 15, 17 e 19) aiutavano anche a uno dei giorni della settimana a rinnovare l’ appartamento (bagno, stanza dei bambini, balcone, cucina, corridoio).
2. La ragazza del civico 15 aiutava nella cucina; questo aveva luogo uno o due giorni dopo l’ impiego di Amelie.
3. Diana abita nella casa col civico 19.
4. Elsa, che non abita nella 13, aiutava nel corridoio. Questo aveva luogo dopo l’ azione nella stanza dei bambini.
5. Mercoledì si lavorava nella casa col civico 11.
6. Venerdì veniva fatto il balcone, ma non col’ aiuto di Charlotte.
Giovedì lavorava Mia; il suo civico si differenzia di 4 di quello dell’ aiutante alla rinnovazione del bagno.
Chi abita dove ed aiutava quando in quale stanza? – 6 punti rossi.

--> Enigma <--

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Viele haben die Vorlage zum Rätseln verwendet, deshalb hier nur das Endergebnis:

Amelie

Köln

Dienstag

Chemie

Charlotte

Celle

Donnerstag

Musik

Diana

Zeitz

Montag

Latein

Elsa

Nürnberg

Mittwoch

Mathe

Mia

Mainz

Freitag

Physik

 

Amelie

Mittwoch

Bad

Nummer 11

Charlotte

Montag

Kinderzimmer

Nummer 13

Diana

Freitag

Balkon

Nummer 19

Elsa

Dienstag

Flur

Nummer 17

Mia

Donnerstag

Küche

Nummer 15

 

Die Jagdsaison nach einem Stammbruchquadrat mit magischer Konstante größer als 1/140 ist eröffnet, gerne auch einen Beweis, dass es kein solches Quadrat gibt.


Aufgabe 2

638. Wertungsaufgabe

638

„Deine Konstruktion gefällt mir“, sagte Mike zu Lisa. „Das Schöne daran ist auch, dass man ganz einfach erkennt wie das gemacht wurde. Das rechtwinklige Dreieck ABC ist das „berühmte“ 3-4-5 cm Dreieck. Es gibt rote und gelbe Quadrate, die nach rechts hin immer kleiner werden.“, erwiderte Lisa, die sich über das Lob von Mike freute.
Für 6 blaue Punkte sind die Umfänge und Flächeninhalte der 4 roten Quadrate zu berechnen.
6 rote Punkte gibt es für die Berechnung der Strecke AD und die Größe des Flächeninhalte aller Quadrate, wenn man die Konstruktion „unendlich“ oft bis zum Punkt D ausführt.

--> Symbolrätsel <--
Termin der Abgabe 23.04.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 23.04.1920. Deadline for solution is the 23th. April 2020. Date limite pour la solution 23.04.2020. Soluciones hasta el 23.04.2020. Beadási határidő 2020.04.23.

hun

638

Tetszik a szerkesztésed – mondta Mike Lizának. Az egészben az a legjobb, hogy egész egyszerű felismerni, hogyan készült. A jobbszögű háromszög ABC a „híres“ 3-4-5 cm háromszög. Aztán vannak a piros és sárga négyzetek, amik jobbra egyre kisebbek lesznek – magyarátra Liza nagyon örülve Mike dicséretének.
6 kék pontért számolja ki a 4 piros négyzet kerületét és területét.
6 piros pontot ér, ha kiszámítja az AD szakasz hosszát és a területét az összes négyzetnek, amennyiben a szerkesztést a D pontig folytatná.

--> Enigma <--

fr

638

J'aime ton design », a déclaré Mike à Lisa. "La bonne chose est que tu peux facilement voir comment cela a été fait. Le triangle rectangle ABC est le "fameux" triangle de 3-4-5 cm. Il y a des carrés rouges et jaunes qui deviennent plus petits vers la droite. », a répondu Lisa, qui était heureuse des louanges de Mike.
Les circonférences et les zones des 4 carrés rouges doivent être calculées pour 6 points bleus.
Il y aura 6 points rouges pour le calcul de la distance AD et de la taille de l'aire de tous les carrés si la construction est réalisée "à l'infini" jusqu'au point D.

--> Enigma <--

esp

638

“Me gusta esta construcción.”, le dijo Mike a Lisa. “Lo que más me gusta es que se puede reconocer fácilmente como se hizo.” El triángulo rectángulo ABC es el famoso triángulo con los ángulos de 3-4-5 cm. Hay cuadrados rojos y amarillos que se disminuyen hacia la derecha”, replicó Lisa.
Para 6 puntos azules se tiene que calcular los perímetros y áreas de los 4 cuadrados rojos.
6 puntos rojos se reciben para el cálculo del segmento rectilíneo AD y del tamaño de las áreas de todos los cuadrados, si se continua la construcción infinitamente hasta el punto D. 

--> Enigma <--

en

638

“I like this construction“, said Mike to Lisa. “The beauty about it is, that you can easily recognize how it has been constructed. The rectangular triangle ABC is the “famous“ 3-4-5 cm triangle. There are red and yellow squares, which are getting smaller the more you move to the right.“, answered Lisa, who was very delighted about the positive feedback from Mike.
For 6 blue points you have to calculate perimeter and area of the four red squares.
You get 6 red points for calculating the line AD and the area of all squares together, if you continue the construction “infinite” to point D.

--> Enigma <--

it

638

“La tua costruzione mi piace”, Mike diceva a Lisa. “E si capisce facilmente com’ è stata fatta. Il triangolo rettangolare è il ‘famoso’ coi lati 3-4-5 cm. Ci sono quadrati rossi e gialli che, andando verso destra, diventono sempre più piccoli“, Lisa replicava, essendo contenta di essere lodata di Mike.
Per sei punti blu si calcolano le circonferenze e le superfici dei 4 quadrati rossi.
Sei punti rossi vengono dati per la calcolazione del segmento AD e della superficie comune di tutti i quadrati, se si continua la costruzione ‘infinitamente’ fino al punto D.

--> Enigma <--

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Musterlösung von Hans, danke. --> pdf <--

 


Aufgabe 3

639. Wertungsaufgabe

 

„Mit den Zahlen von 1; 2; … bis 9 lässt sich ja schnell ein magisches Quadrat erstellen“, sagte Mike zu Bernd. „Klar, wenn man von Spiegelung und Drehung absieht, gibt es aber auch nur eins“, erwiderte Bernd.
Für ein solches magisches Quadrat gibt es einen blauen Punkt.. Zu zeigen ist, dass bei der Multiplikation jeder Zahl des gefundenen Quadrates mit der selben ganzen Zahl g das so entstehende Quadrat auch magisch ist. Noch zwei blaue Punkte.
Ist es möglich aus den Brüchen 1/1, ½, …, 1/9 auch ein magisches Quadrat zu erstellen?
Für das Finden eines solchen Quadrates oder der Widerlegung der Existenz gibt es 3 rote Punkte. Für weitere drei rote Punkte gilt es ein anderes 3x3 magisches Quadrat zu finden, welches nur Stammbrüche - also die Form 1/n – aufweist.

 -> Symbolrätsel <--

https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/horst/raetsel.php

Termin der Abgabe 30.04.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 30.04.1920. Deadline for solution is the 30th. April 2020. Date limite pour la solution 30.04.2020. Soluciones hasta el 30.04.2020. Beadási határidő 2020.04.30.

hun

„Az 1,2, …9-ig terjedő számokkal egy mágikus négyzetet lehet létrehozni” – mondta Mike Berndnek. „ Világos, de ha a tükrözéstől és forgatástól eltekintünk, akkor csak egyet” – ellenkezett Bernd. Egy ilyen mágikus négyzetért egy kék pont jár. Igazolni, hogy a talált négyzet minden számának ugyanazzal az egész számmal (g) történő megtöbbszörözésével ugyancsak egy mágikus négyzet jön létre, még két kék pontot hoz.
Lehetséges az 1/1, ½, …. 1/9 törtekből is egy mágikus négyzetet csinálni? Ha talál egy ilyen négyzetet, vagy megcáfolja a létezését, 3 piros pontot kap. További 3 piros pontért találjon egy másik 3x3 mágikus négyzetet, melynek a törzshányadosa 1/n.

-> Enigma <--

https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/horst/raetsel.php

fr

„Avec les nombres de 1; 2; … jusqu'à 9, tu peux rapidement créer un carré magique », a expliqué Mike à Bernd. "Bien sûr, si on ignore la réflexion et la rotation, il n'y a qu'un seul", a répondu Bernd.
Il y a un point bleu pour un tel carré magique. Il faut montrer que lorsque chaque numéro du carré trouvé est multiplié par le même chiffre entier g, le carré résultant est aussi magique. Il y aura deux points bleus supplémentaires.
Est-il possible de créer un carré magique à partir des fractions 1/1, ½, ..., 1/9?
Il y a 3 points rouges pour trouver un tel carré ou pour réfuter l'existence. Pour trois points rouges supplémentaires, il faut trouver un autre carré magique 3x3, qui n'a que des fractions - c'est-à-dire la forme 1/n.

-> Enigma <--

https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/horst/raetsel.php

esp

“Con los números de 1; 2; … hasta 9 se puede construir un cuadrado mágico rápidamente”, le dijo Mike a Bernd. “Claro, no teniendo en cuenta reflejo ni rotación sólo hay uno”, replicó Bernd.
Para un cuadrado mágico así solo se recibe un punto azul. Hay que demostrar que multiplicando cada número del cuadrado encontrado con sí mismo (número entero g), el cuadrado que se deriva también es un cuadrado mágico. Para esto se recibe dos puntos azules más.
¿Es posible construir un cuadrado mágico con las fracciones 1/1, ½ …, 1/9? Para el encuentro de semejante cuadrado o el rebatimiento de la existencia de semejante cuadrado se da 3 puntos rojos. Para tres puntos rojos más se tiene que encontrar otro cuadrado mágico 3x3 más que solo tiene fracciones unitarias (de la forma 1/n). 

-> Enigma <--

https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/horst/raetsel.php

en

„Using the numbers from 1; 2; … to 9 you can easily create a magical square“, Mike told Bernd. „Sure, if you desist from reflection and rotation, there is only one“, answered Bernd.
For such a magical square you get one blue point. If you show that through multiplication of every number of this new found magical square with the same integer number g, a new magical square emerges, you get another two blue points.
Is it possible to create another magical square from the fractions 1/1, ½, …, 1/9 ?
For finding such a square or the proof of its nonexistence you get three red points. For three more red points you have to find another 3x3 magical square, which only contains unit fractions – with the form 1/n.

-> Enigma <--

https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/horst/raetsel.php

it

“Coi numeri 1; 2; … fino a 9 si può inventare facilmente un quadrato magico”, Mike diceva a Bernd. “Certo, ma laciando a parte rispecchiamenti e rotazioni, ne esiste però solo uno”, Bernd replicava.
Per un tale quadrato magico viene dato un punto blu. Per altri due punti blu è da dimostrare che, moltiplicando ogni cifra del quadrato trovato collo stesso numero intero g, anche il quadrato sorgente è magico.
È possible trovare un quadrato magico anche per le frazioni 1/1, ½, …, 1/9? Per o la scoperta di un tale quadrato magico o la prova che l’ esistenza di un tale sia impossibile, vengono dati 3 punti rossi.
Per altri tre punti rossi c’ è da trovare un altro quadrato magico 3x3, che contiene solo frazioni tipo 1/n.

-> Enigma <--

 https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/horst/raetsel.php

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Es wurde einige Quadrate geschickt, die "teil"-magisch waren, also welche bei den Zeilen und Spalten passten, aber nicht die Diagonalen, das sind dann auch solche, wo die 5 nicht in der Mitte steht.
Im Zentrum der Lösung eines magischen Quadrates steht natürlich die magische Konstante X, die Zahl, die sich als Summe ergeben muss. Die magische Konstante X  zu finden ist nicht schwer, alle zu verwendeten Zahlen werden addiert und durch die Anzahl der Spalten dividiert. 1+2+3...+15= 45 --> 45/3 = 15 = X. Multipliziert man jede Zahl eines gefundenen magischen Quadrates mit einer ganzen Zahl G, so ändert das an der Magie nichts. Mittels Distributivgesetz lässt sich schnell zeigen, dass die magisches Konstante dann einfach auch nur 15*G ist.
Zu rot: 1/1 + 1/2 + ... + 1/9 ist kleiner als 3, damit wäre die X kleiner als 1, also könnte 1/1 nicht dabei sein - Widerspruch. (Das ist eines der Argumente, um zu zeigen, dass aus diesen Stammbrüchen kein magisches Quadrat gebildet werden kann.)
Die Überlegung mit dem obigen G lässt sich natürlich auch auf Brüche anwenden. Man braucht also nur jede Zahl eines gefundenen magischen Quadrates mit einem Bruch b der Form 1/c multiplizieren. Allerdings muss c so beschaffen sein, dass nach dem Kürzen der Zähler 1 wird. Die häufigste Lösung war c = 2520 (KgV der Zahlen 1 bis 9), gefolgt von c = 362880 = 9!. Jedes positiv ganzzahliges Vielfaches von 2520 erfüllt dann die Bedingung.
Ist c = 2520 so ist X= 15*b= 1/168. Für c =9! folgt X= 1/24192 (deutlich kleiner als 1/168).
Ob 1/168 die größte magische Konstante ist, die auf ein Stammbruchquadrat führt ist damit nicht gesagt. Und es zeigte sich, dass es ein solches Quadrat gibt. Gefunden von Helmut, danke. Magische Konstante ist 1/40:

1/504 1/252 1/840
1/630 1/420 1/315
1/280 1/1260 1/360

Aufgabe 4

640. Wertungsaufgabe

 

640

„Sind die Sechsecke alle gleichgroß?“ „Das siehst du richtig, lieber Bruder. Es sind je drei grüne und drei rote regelmäßige Sechsecke mit einer Kantenlänge von 4 cm. Die blauen Trapeze im Inneren der Figur sind auch untereinander gleich. Die Strecke AC ist 1 cm lang“, sagte Maria zu Bernd.
Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt des inneren weißen Sechsecks? - 4 blaue Punkte

Wie lang müsste AC sein, wenn der Flächeninhalt des weißen Sechsecks 10 % eines roten Sechsecks sein soll? 3 rote Punkte

https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/horst/raetsel.php

Termin der Abgabe 07.05.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 07.05.1920. Deadline for solution is the 7th. May 2020. Date limite pour la solution 07.05.2020. Soluciones hasta el 07.05.2020. Beadási határidő 2020.05.07.

hun

640

„A hatszögek mind egyenlő nagyságúak?” „ Ez jól látod, kedves tesó. Mindhárom zöld és piros szabályos hatszög élhossza 4 cm. A kék trapézok is a forma belsejében egyenlő nagyságúak. Az AC szakasz 1 cm hosszú. „– mondta Mária Berndnek. Mekkora a kerülete és a területe a belső fehér hatszögnek? – 4 kék pont
Mekkora legyen az AC szakasz hossza, hogy a fehér hatszög területe 10%-a legyen a piros hatszögnek? 3 piros pont

https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/horst/raetsel.php

fr

640

"Les hexagones sont-ils tous de la même taille? "" Bien vu, cher frère. Il y a trois hexagones réguliers verts et trois rouges avec une longueur de bord de 4 cm. Les trapèzes bleus à l'intérieur de la figure sont également identiques les uns aux autres. AC mesure 1 cm de long", a expliqué Maria à Bernd.
Quelle est la taille et la surface de l'hexagone blanc intérieur? - 4 points bleus
Quelle longueur AC devrait-il avoir si la zone de l'hexagone blanc doit être de 10% d'un hexagone rouge? 3 points rouges

https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/horst/raetsel.php

esp

640

“¿Estos hexágonos todos son del mismo tamaño?” – “Lo ves correctamente, querido hermano. Son tres hexágonos verdes y tres rojos, todos regulares, todos con la longitud de canto de 4 cm. Los trapecios azules en el interior de la figura también son idénticos. El segmento rectilíneo AC mide 1 cm”, le dijo María a Bernd.
¿De qué tamaño son perímetro y área del hexágono blanco en el interior de la figura? – 4 puntos azules.
Si el área del hexágono blanco mide exactamente 10 % de un hexágono rojo, ¿de qué longitud tendría que ser el segmento rectilíneo AC? – 3 puntos rojos.

https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/horst/raetsel.php

en

640

„Do these hexagons all have the same size?“ „That’s correct, dear brother. There are each three green and three red regular hexagons with an edge length of 4 cm. The blue trapeziums on the inside of the figure are equal to each other too. The line segment AC is 1 cm long“, Maria told Bernd.
How big are perimeter and area of the inner white hexagon? – 4 blue points
How long would AC have to be, if the area of the white hexagon was 10 % of a red hexagon? 3 red points

https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/horst/raetsel.php

it

640

“Sono tutti uguali gli esagoni?“ – „Sì, giusto, caro fratello. Sono tre esagoni regolari verdi e tre rossi, tutti di una lunghezza del lato di 4 cm. Anche i trapezi blu al centro sono tutti uguali. La lunghezza del segmento AC è 1 cm”, Maria diceva a Bernd.
Qual’ è la misura della circonferenza e della superficie del’ esagono bianco all’ interno? – 4 punti blu
Quale misura dovrebbe avere il segmento AC, per causare che la superficie dell’ esagono bianco sia 10% della superficie di un esagono rosso? – 3 punti rossi

https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/horst/raetsel.php

Lösung/solution/soluzione/résultat:

"konzentrierte" Lösungen von Hans, pdf, und Kurt, pdf, danke.


Aufgabe 5

641. Wertungsaufgabe

„Das sind aber viele Zahlen auf deinem Zettel.“, meinte Bernd zu Mike. „Na ja, ich bin am Probieren“. Mike hat irgendwelche 4 vierstellige Zahlen notiert.. Dann addiert er die Ziffern der gewählten Zahl (Quersumme) zwei mal zur vierstelligen Zahl dazu. Das Ergebnis ist in seinen Beispielen immer durch 3 teilbar. Gilt das für alle vierstelligen Zahlen? (Nachweis der Gültigkeit. oder drei Gegenbeispiele) 3 blaue Punkte. Beispiel: 3412 → 3412 + 2*(3+4+1+2)= 3432, das Ergebnis ist durch 3 teilbar.
Es gilt a + b = 1 und a² + b² = 2. Wie lautet das Ergebnis von a^4 + b^4 ? 3 rote Punkte
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Termin der Abgabe 21.05.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 21.05.1920. Deadline for solution is the 21th. May 2020. Date limite pour la solution 21.05.2020. Soluciones hasta el 21.05.2020. Beadási határidő 2020.05.21.

hun

„Ez aztán jó sok szám a papírodon.” – mondta Bernd Mike-nak. „ Hát igen, csak próbálgatom.” Mike tetszőleges 4 négyjegyű számot írogat. Aztán hozzáadja a kiválasztott szám számjegyeinek kétszeresét a négyjegyű számhoz. Az eredmény az ő esetében mindig osztható hárommal. Igaz ez minden négyjegyű számra? (Bizonyítás vagy cáfolás) 3 kék pont.
Példa: 3412 → 3412 +2*(3+4+1+2)= 3432, az eredmény osztható hárommal.
Érvényes az a + b = 1 és a² + b² = 2.
Mi az eredménye az a^4 + b^4-nek? 3 piros pont
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fr

"Mais il y a beaucoup de chiffres sur ta feuille de papier", a expliqué Bernd à Mike. "Eh bien, j'essaye". Mike a noté 4 nombres à quatre chiffres, puis il ajoute deux fois les chiffres du numéro sélectionné (somme de contrôle) au nombre à quatre chiffres. Dans ses exemples, le résultat est toujours divisible par 3. Cela s'applique-t-il à tous les numéros à quatre chiffres? (Preuve de validité. Ou trois contre-exemples) 3 points bleus. Exemple: 3412 → 3412 + 2 * (3 + 4 + 1 + 2) = 3432, le résultat est divisible par 3.
Si a + b = 1 et a² + b² = 2. Quel est le résultat de a^4 + b^4? 3 points rouges
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esp

“¡Qué muchos números tienes en tu papelito!”, le dijo Bernd a Mike. “Pues si, estoy probando…” Mike ha notado algunos números de cuatro cifras. Después suma las cifras del número elegido y adiciona esta suma dos veces al número elegido de cuatro cifras. En sus ejemplos, el resultado siempre es divisible por 3. ¿Esto vale para todos los números de cuatro cifras? Para la comprobación de la validez o tres ejemplos contrarios se recibe 3 puntos azules.
Ejemplo: 3412 → 3412 + 2*(3+4+1+2) = 3432, el resultado es divisible por tres.
Si es válido a + b = 1 y a² + b² = 2, ¿cómo sería el resultado de a+ b? – 3 puntos rojos.
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en

„Those are a lot of numbers on your sheet.“, Bernd told Mike. „Yeah, I’m still trying…“. Mike has noted down some four-digit numbers. Then he adds the digits of the chosen number (cross sum) two times to the four-digit number. The result of his examples can always be divided by 3. Is this true for all four-digit numbers? (proof of existence or three counterexamples) - 3 blue points. Example: 3412 → 3412 + 2*(3+4+1+2)= 3432, the result can be divided by three.
The following things are given: a + b = 1 and a² + b² = 2. What is the result of a^4 + b^4 ? - 3 red points
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it

“Quanti numeri hai notato sul tuo foglietto!”, Bernd diceva a Mike. “Solo perchè sto provando.” Mike ha notato numeri a quattro cifre qualsiasi. Poi sommava la sua somma delle cifre due volte al numero a quattro cifre. Il risultato negli esempi suoi era sempre divisibile per 3. Vale per ogni numero a quattro cifre? – Prova della validità o tre controesempi: 3 punti blu.
Esempio: 3412 → 3412 + 2*(3+4+1+2)= 3432, il risultato è divisibile per 3.
Sia a + b = 1 e a2 + b2 = 2. Qual’ è poi il risultato di a4 + b4 ? – 3 punti rossi

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Lösung/solution/soluzione/résultat:
Blau: die Behauptung stimmt: Die vier Ziffern der vierstelligen Zahl seinen a, b, c und d. Die Zahl selber lässt sich dann als 1000a + 100b + 10c + d "auffassen". Aus den Ziffern wird die Quersumme gebildet --> a + b +c +d.
Addiere ich nun die doppelte Quersummer zur Zahl --> 1000a + 100b + 10c + d + 2(a + b +c +d) ergibt sich. 1002a + 102b +12c +3d = 3(334a + 34b + 4c +d). Das heißt das Ergebnis ist das Dreifache einer natürlichen Zahl und somit durch 3 teilbar.  Anmerkung die Aufgabe lässt sich leicht verallgemeinern. Die Summer aus einer natürlichen Zahl und ihrer doppelten Quersumme ist stets durch 3 teilbar.
rot:  b=1-a --> a² + (a-1)² = 0, diese quadratische Gleichung lässt sich einfach lösen. Die so ermittelten Werte für a und b führen dann auf a4 + b4 = 3,5.

Bearbeitung der Aufgabe von H. Walser, danke.

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Teilbarkeit_durch_3_2/Teilbarkeit_durch_3_2.htm

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Teilbarkeit_durch_3_2/Teilbarkeit_durch_3_2.pdf

und 

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Summe_von_Potenzen/Summe_von_Potenzen.htm

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Summe_von_Potenzen/Summe_von_Potenzen.pdf

Die zweite Aufgabe (a+b=1 etc) führt auf eine Fibonacci-Folge und eine logarithmische Spirale.


Aufgabe 6

642. Wertungsaufgabe

„Ist das eine Briefmarke aus der Sammlung vom Opa?“, fragte Maria. „Das stimmt. Es sind viele Stellen von Pi zu erkennen, aber auch ein Rechteck, welches vollständig und lückenlos durch Quadrate bedeckt ist.“, erwiderte ihr Bruder.

642 marke

Die untere Kante ist 177 Einheiten lang, die linke Kante ist 176 Einheiten lang, also fast ein Quadrat. Das große grüne Quadrat hat eine Kantenlänge von 77 Einheiten. Für die Größe der anderen Quadrate gibt es jeweils einen roten Punkt.

Das blaue Rechteck ist auch auch mit Quadraten bedeckt. Das Rechteck ist 13 x 11 cm groß. Das kleinste Quadrat hat eine Kantenlänge von 1 cm. Wie lang sind a, b c und d? Je zwei blaue Punkte.

642

extra: https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/wochenaufgabe/642-zusammendruck.jpg

Termin der Abgabe 28.05.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 28.05.1920. Deadline for solution is the 28th. May 2020. Date limite pour la solution 28.05.2020. Soluciones hasta el 28.05.2020. Beadási határidő 2020.05.28.

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hun

„Ez egy bélyeg nagyapa gyűjteményéből?” Kérdezte Mária. „Igen, sok helyen fel lehet ismerni a Pi számot, de van egy négyszög, ahol teljesen és hiánytalanul négyzetekkel fedett.

642 marke

Az alsó széle 177, a bal széle 176 egység hosszú, azaz majdnem egy négyzet. A nagy zöld négyzet éle 77 egység. A többi négyzet nagyságáért egyenként egy piros pont jár.

A kék négyszög is négyzetekkel borított. A négyszög 13x11 cm nagy. A legkisebb négyzet élhossza 1 cm. Milyen hosszú a, b, c és d? Darabonként kék pont

642

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fr

"Est-ce un timbre de la collection de grand-père?", a demandé Maria. "C'est ça. Tu peux voir de nombreux endroits de Pi, mais aussi un rectangle qui est entièrement et complètement recouvert de carrés."

642 marke

Le bord inférieur est long de 177 unités, le bord gauche est long de 176 unités, presque un carré. Le grand carré vert a une longueur de bord de 77 unités. Il y aura un point rouge pour la taille des autres carrés.
Le rectangle bleu est également recouvert de carrés. Le rectangle mesure 13 x 11 cm. Le plus petit carré a une longueur de bord de 1 cm. Quelle est la longueur de a, b c et d? Deux points bleus pour chaque réponse.

642

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esp

“¿Es esto un sello de la colección del abuelo?”, preguntó María. “Sí, es verdad. Se pueden reconocer muchos decimales de Pi, pero también un rectángulo que es completamente cubierto de cuadrados.”

642 marke

El canto inferior mide 177 unidades de medida, el canto izquierdo 176 unidades, entonces se trata casi de un cuadrado. El gran cuadrado verde tiene la longitud de canto de 77 unidades de medida. Para el tamaño de los demás cuadrados cada vez se recibe un punto rojo.
El rectángulo azul también es cubierto de cuadrados. El rectángulo mido 13 x 11 cm. El cuadrado más pequeño tiene la longitud de cantos de 1 cm. ¿Cuánto miden a, b, c y d? Cada vez dos puntos azules.

642

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en

„Is this a stamp from your collection, grandpa?“, asked Maria. „That’s right. There you can see a lot of Pi digits. But there is one rectangle too, which is completely and without a gap, covered by squares.“

642 marke

The lower edge is 177 units long, the left edge is 176 units long. So it’s nearly a square. The big green square has an edge length of 77 units. For the size of the other squares you will get one red point each.
The blue rectangle is covered by squares too. The rectangle is 13 x 11 cm big. The smallest square has an edge length of 1 cm. How long are a, b c and d? You will get two blue points each.

642

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it

“È un francobollo della collezione del nonno?”, chiedeva Maria. “Hai ragione. In essa si individuano tante cifre di Pi, ma anche un rettangolo che è coperto completamente e ininterrottamente di quadrati.”

642 marke

Il lato in basso ha una lunghezza di 177 unità, quello a sinistra una di 176 unità, quindi appena un quadrato. Il grande quadrato verde ha una lunghezza del lato di 77 unità. Per le lunghezze del lato degli altri quadrati si riceve un punto rosso per ciascuna.
Anche il rettangolo blu è coperto di quadrati. Il rettangolo ha una misura di 13 x 11 cm. Il quadrato più piccolo ha una lunghezza del lato di 1 cm. Qual’ è la lunghezza di a, b, c e d? – Due punti blu ciascuno.

642

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Lösung/solution/soluzione/résultat:
Anemrkung auch ohne die Vorgabe eines Weres für die Länge sind die Aufgaben eindeutig lösbar( aber aufwändiger).
Musterlösung von Reinhold M., danke.
Ich bezeichne die Seitenlängen des größten roten, gelben (orange), grünen und blauen Quadrats mit r1, o1, g1 bzw. b1, die der nächstkleineren mit r2, o2, g2 bzw. b2 sowie die der kleinsten (ohne grün) mit r3, o3 bzw. b3.
Dann folgt schrittweise, wobei ich jeweils in untenstehender Tabelle vermerke, ob Breiten oder Höhen der entsprechenden "Quadrate" verwendet wurden:
 g1 = 77,
 r1 = 176 - g1 = 99,
 o1 = 177 - r1 = 78,
 b2 = r1 - o1 = 21,
 r2 = o1 - b2 = 57,
 b1 = 176 - o1 - r2 = 41,
 o2 = 177 - g1 - r2 = 43,
 r3 = g1 - o2 = 34,
 o3 = 177 - g1 - r3 - b1 = 25,
 g2 = b1 - o3 = 16,
 b3 = o3 - g2 = 9,
und verwendet wurden
 r1 Breite Höhe
 o1 Breite Höhe
 g1 Breite Höhe
 b1 Breite Höhe
 r2 Breite Höhe
 o2 Breite Höhe
 g2 Breite Höhe
 b2 Breite Höhe
 r3 Breite Höhe
 o3 Breite Höhe
 b3 Breite.
Damit tatsächlich alles in Ordnung ist mit der Konstruktion ist also noch zu zeigen, dass auch die Höhe von b3 9 ist:
 b3 + o3 = 34 = r3,
also o.k.
Die Größen der 11 Quadrate (einschließlich des gegebenen) sind also in der Sortierung von klein nach groß
 9, 16, 21, 25, 34, 41, 43, 57, 77, 78 und 99 Einheiten.

Beim zweiten Rechteck gilt zunächst a < d < c, also a + d < c + d, folglich
 (1) a + d = 11,
 (2) b + c = 11,
 (3) c + d = 13,
 (4) a + 2b = 13.
Mit
 (5) c = d + 1
folgt aus (3)
 d = 6
und damit aus (1)
 a = 5
sowie aus (5)
 c = 7
und damit schließlich aus (2) oder (4)
 b = 4.
Es gilt also (in cm)
 (a, b, c, d) = (5, 4, 7, 6).


Aufgabe 7

643. Wertungsaufgabe

„Übst du Kopfrechnen?“, fragte Maria ihren Bruder. „Ja, ich addiere jetzt immer zehn aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Ich starte zum Beispiel mit -12 und dann plus -11, plus -10, … plus -3. Oder ich starte mit -2 oder aber auch 100.“
Die Ergebnisse von Bernd sind anzugeben. Kann man eine Startzahl wählen, so dass das Ergebnis 0 ist? - 3 blaue Punkte.
Maria war das einfache addieren zu langweilig und hat nach einer Formel gesucht und glaubt auch eine gefunden zu haben. Sie startet mit einer ganzen Zahl g und nutzt für Summe s eine Formel. Für das Finden der Formel und den Beweis des Funktionierens gibt es 3 rote Punkte. Wenn man zeigt, dass es eine solche Formel nicht geben kann, gibt es auch 3 rote Punkte.

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Termin der Abgabe 04.06.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 04.06.1920. Deadline for solution is the 4th. June 2020. Date limite pour la solution 04.06.2020. Soluciones hasta el 04.06.2020. Beadási határidő 2020.06.04.

hun

„A fejben számolást gyakorlod?“ – kérdezte Mária a bátyját. „Igen, összeadok tíz egymást követő egész számot. Például a -12-vel kezdem és hozzáadok -11-et, -10-et,----3-at. Vagy a -2-vel kezdem, vagy akár a 100-zal.“ Az eredményeket Bern megadja. Lehet úgy kezdő számot választani, hogy az eredmény 0 legyen? – 3 kék pontMáriának az egyszerű összeadás túl unalmas volt, így keresett egy képletet amiről azt gondolta, meg is találta. Ez egy egész számmal, g-vel kezdődik és az összeg „s“-hez egy képletet használ. A képletért és annak bizonyításáért, hogy ez működik, 3 piros pont jár. Amennyiben azt bizonítja, hogy nem létezik ilyen képlet, azét is 3 piros pontot kap.

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fr

"Pratiques-tu l'arithmétique mentale?", a demandé Maria à son frère. "Oui, j'additionne toujours dix chiffres entier consécutifs. Par exemple, je commence par -12 puis plus -11, plus -10, ... plus -3. Ou je commence par -2 ou 100.
"Les résultats de Bernd doivent être annoncés. Est-ce qu'on peut choisir un numéro de départ pour que le résultat soit 0? - 3 points bleus.
Maria était trop ennuyée par l'addition simple et a cherché une formule et pense qu'elle en a trouvé une. Il commence par un chiffre entier g et utilise une formule pour la somme s. Il y aura 3 points rouges pour trouver la formule et la preuve de fonctionnement. Si on montre qu'une telle formule ne peut pas exister, il y aura aussi 3 points rouges.

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esp

„¿Estás practicando el cálculo mental?“, le preguntó María a su hermano. „Sí, al momento sumo cada vez diez números consecutivos. Empiezo, por ejemplo, con -12 más -11, más -10 … más -3. O empiezo con -2 o con 100.“Hay que indicar los resultados de Bernd. ¿Se puede elegir un número de empezar para que el resultado sea 0? – 3 puntos azules

A María le pareció demasiado aburrido quedarse sumando los números fácilmente. Por eso, buscó una fórmula y ahora cree que ha conseguido encontrar una fórmula adecuada. Empieza con un número g y aprovecha una fórmula para la suma s. Para el descubrimiento de la fórmula y la prueba del funcionamiento se recibe 3 puntos azules. Igual en caso de que se puede demostrar que una susodicha fórmula no puede existir, se recibe 3 puntos rojos. 

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en

“Are you practicing mental arithmetic?”, Maria asked her brother. “Yes, at the moment I’m adding ten sequential integers. As an example I start with -12 and add -11, add -10, … add -3. Or I start with -2 or even with 100.”
You have to show Bernd’s results. Is it possible to choose an initial number, so that the result becomes 0? – 3 blue points.
Maria became tired of simply adding numbers. So she went looking for a formula and thinks she has found one. She started with an integer g and uses a formula for sum s. For finding the formula and the proof of existence you will get 3 red points. If you proof, that such a formula doesn’t exist, you will get 3 points too.

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it

„Stai facendo esercizio di calcolo mentale?”, Maria chiedeva a suo fratello. “Si, sto sommando sempre dieci numeri interi consecutive. Inizio per esempio con “-12” poi “più -11”, “più -10”, ..., “più -3”. O inizio con -2 o anche con 100.”Si indicano i risultati di Bernd. È possibile trovare una un numero d’ avvio col quale risulti il numero zero? – 3 punti bluMaria si annoiava, solo sommando. Per questo ha cercato di trovare invece una formula per questa addizione ed è quasi sicura di averla anche trovata. Inizia con un numero intero g e usa per l’ addizione s una formula. Se si trova una tale formula e si fa la prova che funzioni, vengono dati 3 punti rossi. Anche per la dimostrazione che una tale formula non può esistere vengono dati tre punti rossi.

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Lösung/solution/soluzione/résultat:
Am einfachsten, man fängt mit rot an:
g - sei die Startzahl für die Addiitioan und s die Summe:

s=g+ (g+1)+(g+2)+(g+3)+(g+4)+(g+5)+(g+6)+(g+7)+(g+8)+(g+9) das führt nach dem Auflösen der Klammern auf:
s=10g + 45
Es gibt also eine Formel für das Problem. Einsetzen der blauen Startwerte liefern die gesuchten Zahlen.
Wenn s=0 sein soll ergibt sich g=-4,5. Das ist keine ganze Zahl, damit gezeigt, dass es keine ganze Zahl gibt, die sich als Startwert "eignet" um die Summe 0 zu erreichen.

 


Aufgabe 8

644. Wertungsaufgabe

 

644

„Schau mal. Ich habe ein „rundes“ Sechseck konstruiert.. Hier meine Beschreibung.“, sagte Lisa zu Mike.
1. Einen Kreis c zeichnen - Mittelpunkt M, Radius 8 cm. 2. Dann das rote regelmäßige Sechseck ABCDEF konstruieren. 3. Das gleichseitige Dreieck konstruieren. (IH ist parallel zu CD). 4. die drei roten Kreisteile ergänzen.
Wie groß ist der Abstand von I zur Strecke DE? - 4 blaue Punkte.
Wie viel Prozent der Kreisfläche sind rot? (5 rote Punkte)

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Termin der Abgabe 11.06.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 11.06.1920. Deadline for solution is the 11th. June 2020. Date limite pour la solution 11.06.2020. Soluciones hasta el 11.06.2020. Beadási határidő 2020.06.11.

hun

644

„Nézd, szerkesztettem egy „kerek” hatszöget. Íme, a leírása.” – mondta Lisa Mike-nak.
1. Egy c kört rajzolni, középpontja M, sugara 8 cm.
2. Ezután a piros, szabályos hatszöget ABCDEF-et megszerkeszteni.
3. Az egyenlő oldalú háromszöget berajzolni. (IH párhuzamos CD-vel)
4. A három piros körrészt kiegészíteni.
Mekkora a távolság az I ponttól a DE szakaszhoz? 4 piros pont
Hány százaléka a körfelületnek piros? 5 piros pont

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fr

644

« Regarde, j'ai construit un hexagone ronde », Lisa a dit à Mike. Voilà ma construction :

  1. Construire un cercle c – centre M, rayon 8 cm.
  2. Puis, construire l'hexagone régulier rouge ABCDEF.
  3. Construire le triangle équilatéral (HI parallèle à CD).
  4. Compléter les trois parts rouges du cercle.

Quelle est la distance de l au segment de droite DE ? (4 points bleus)
Combient pourcent de la surface circulaire sont rouge ? (5 points rouges)

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esp

644

“Mira. He construido un ‘hexágono redondo’. Aquí está mi descripción”, le dijo Lisa a Mike. Primero: esbozar un círculo c – punto central M, radio 8 cm. Segundo: Construir el hexágono rojo ABCDEF. Tercero: Construir el triángulo equilátero (IH está paralelo a CD). Cuarto: Añadir las partes arqueadas rojas (los fragmentos del círculo). ¿Cuánto mide la distancia desde I hasta el segmento rectilíneo DE? – 4 puntos azules. ¿Cuánto por ciento del área del círculo es rojo? – 5 puntos rojos.

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en

644

“Look. I constructed a round hexagon. Here is my description.”, Lisa told Mike.
1st Draw a circle c – centre M, radius 8 cm. 2nd Construct the red regular hexagon ABCDEF. 3rd Construct the equilateral triangle. (IH is parallel to CD). 4th Add the three red circle parts.
How big is the distance from I to line segment DE? – 4 blue points.
How much percent of the circle area is red? – 5 red points.

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it

644

„Guarda! Ho costruito un esagono ‘rotondo’. Ecco la mia descrizione:”, Lisa diceva a Mike. “1. disegnare un cerchio c – centro M, semidiametro 8 cm. 2. Poi costruire l’esagono regolare ABCDEF. 3. Costruire il triangolo equilatero (IH è parallelo a CD). 4. Completare le parti rosse del cerchio.
Quale distanza ha I dal segmento DE? – 4 punti blu.
Quale percentuale del cerchio è dipinto in rosso? (5 punti rossi)

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Lösung/solution/soluzione/résultat:

Eine der schönen Musterlösungen. Von Paulchen, danke. --> pdf <--


Aufgabe 9

645. Wertungsaufgabe

645 k

Der Opa von Maria und Bernd hatte eine alte Postkarte mitgebracht.. Die vielen erkennbaren Dreiecke kann man aus der Karte einfach heraustrennen und zu einer Figur passend zum Satz des Pythagoras zusammenlegen. Das Quadrat – enthält 16 gleiche Dreiecke - ist 8 cm groß. Welche Abmessungen muss das schwarze Dreieck haben, damit die Aufgabe erfüllbar ist? 3 blaue Punkte.

645 rot

Das Dreieck ABC ist rechtwinklig. Es sieht so aus, als seien die Flächen gleicher Farbe gleich groß. Ist das so?
8 rote Punkte (nicht schwierig, aber möglicherweise viel Text)
Anmerkung: Die vier farbigen Teile im linken Kathetenquadrat sehen zwar gleich aus, müssen es aber nicht sein, sprich der gemeinsame Punkt ist nicht zwingend der Mittelpunkt des Quadrates, deswegen auch die Formulierung paarweise gleich. Die erzeugenden Linien sind schon parallel bzw. senkrecht zur Hypotenuse, was man letztlich daraus ableiten kann, da sonst das rote Quadrat nicht als unzerschnittenen Fläche passt. Die Vierecke im Hypotenusenquadrat dürfen umgefärbt werden. Das obige Bild stellt einen Spezialfall dar und stiftet damit Verwirrung, sorry.
Hier ein  hoffentlich besseres:
645 2

https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/horst/raetsel.php

Termin der Abgabe 18.06.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 18.06.1920. Deadline for solution is the 18th. June 2020. Date limite pour la solution 18.06.2020. Soluciones hasta el 18.06.2020. Beadási határidő 2020.06.18.

hun

645 k

Mária és Bernd nagyapja egy régi képeslapot hozott magával. A sok látható háromszöget a képeslapból egyszerűen le lehet választani és Pythagoras tételének megfelelően egy formát összeállítani. A négyzet – ami 16 egyenlő háromszögből áll – 8 cm nagy. Milyen méretű legyen a fekete háromszög, hogy a feladat teljesíthető legyen? 3 kék pont

645 rot

Az ABC háromszög derékszögű. Úgy néz ki, mintha az azonos színű felületek egyenlő nagyságúak lennének. Igaz ez? 8 piros pont (nem nehéz, de lehetséges, hogy sok szöveg)

better:645 2

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fr

645 k

Le grand-père de Maria et Bernd avait apporté une vieille carte postale. On peut en séparer simplement les beaucoup de triangles connaissables de cette carte et les réunir pour une figure qui est convenable au théorème de Pythagore.
Le carré – contient 16 triangles pareil – a une taille de 8 cm.
Quelle mensuration doit avoir le triangle noir pour que le devoir soit réalisable ? 3 points bleus

645 rot

Le triangle ABC est rectangulaire.
Il paraît que les surfaces de la même couleur ont aussi la même taille. Est-ce que c’est comme ça ? (8 points rouges) (pas difficile, mais probablement beaucoup de texte)

better:645 2

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esp

645 k

El abuelo de María y Bernd ha traído una vieja postal. Los muchos triángulos reconocibles se pueden apartar de la postal y crear de ellos una figura correspondiente al teorema de Pitágoras. El cuadrado (conteniendo 16 triángulos iguales) mide 8 cm. ¿Qué medidas deben tener los triángulos negros para que sea resoluble la tarea? – 3 puntos azules.

645 rot

El triángulo ABC es rectangular. Parece que las áreas de color similar también tienen el mismo tamaño. ¿Tiene razón esto? 8 puntos rojos (no es complicado, pero tal vez solamente explicable con mucho texto)

better:645 2

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en

645 k

Maria’s and Bernd’s grandpa brought an old postcard with him. You can easily rip out all visible triangles and put them together creating a figure matching the Pythagoras’ theorem. The square – containing 16 identical triangles – is 8 cm big. Which size has the black triangle to be, that the task is solvable? 3 blue points.

645 rot

The triangle ABC is right-angled. It looks like the areas of the same colour do have the same size. Is this correct? 8 red points (not difficult, but could be a lot of text)

better:645 2

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it

645 k

Il nonno di Maria e Bernd ha portato una cartolina vecchia. Tutti i triangoli visibili possono essere estratti facilmente e poi essere riuniti per rappresentare il teorema di pitagora. Il quadrato che contiene i 16 triangoli identici ha una
misura dei lati di 8 cm.
Quale misure deve avere il triangolo nero per rendere il compito ( cioè di verificare il teorema, usando la cartolina) solubile? – 3 punti blu

645 rot

Il triangolo ABC è rettangolare. Sembra che superficie dello stesso colore abbiano anche la stessa misura. È vero? – 8 punti rossi (non perché sia tanto difficile, ma perché probabilmente richiede di scrivere un testo molto lungo)

better:645 2

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Lösung/solution/soluzione/résultat:

 Die Musterlösungen beziehen sich auf das bessere Bild, was auch Sinn macht, denn sonst 8 rote Punkte ...
Lösung von Magdalene, pdf, und calvin, pdf, danke


Aufgabe 10

646. Wertungsaufgabe

„Für dein Schachbrett brauchst du aber sehr kleine Schachfiguren.“, sagte Mike. „Das stimmt, aber ich bin mehr an Flächeninhalten interessiert“, erwiderte Bernd.

 646

Die Punkte auf der y-Achse werden mit dem Punkt B verbunden. Wie groß sind Flächeninhalt und Umfang der Dreiecke ABC und IJB? (AC= 1cm) – 5 blaue Punkte.
Ist in den beiden Dreiecken der Anteil der schwarzen Teilflächen gleich groß? 8 rote Punkte.

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Termin der Abgabe 25.06.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 25.06.1920. Deadline for solution is the 25th. June 2020. Date limite pour la solution 25.06.2020. Soluciones hasta el 25.06.2020. Beadási határidő 2020.06.25.

hun

A sakktábládhoz jó kicsi sakkfigurák kellenek. – mondta Mike. Ez igaz, de engem leginkább a felülete érdekel. – válaszolta Bernd.

646

Az y tengelyen lévő pontok a B ponttal vannak összekötve. Mekkora a felülete és a kerülete az ABC és az IJB háromszögnek? (AC= 1cm) – 5 piros pont
Egyforma a fekete részerületek aránya mindkét háromszögben? 8 piros pont

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fr

« Mais tu as besoin de très petites pièces du jeu d’échecs pour ton échiquier. » dit Mike.
« C’est vrai, mais ce qui m’intéresse plus que ça, sont les mesures des superficies » répond Bernd.

646

On relie les points sur l’axe y avec le point B.
Quelle sont la circonférence et la supertficie des triangles ABC et IJB ? (AC=1cm) 5 points bleus
Est-ce que le part des superficies partielles noires a une taille pareil ? 8 points rouges

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esp

“Para tu tablero de ajedrez necesitas figuras muy pequeñas”, dijo Mike. “Es verdad, pero me interesan más las áreas”, replicó Bernd. 

646

Los puntos del eje de las ordenadas se combinan con el punto B. ¿De qué tamaño son área y perímetro de los triángulos ABC y IJB? (AC= 1cm) – 5 puntos azules. En estos dos triángulos, ¿la proporción de planos negros es igual? – 8 puntos rojos. 

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en

 “For your chessboard you need very small chess figures.“, said Mike. “That’s right, but I’m more interested in the areas.“, answered Bernd.

646

The points on the y-axis get connected with point B. How big are area and perimeter of the triangles ABC and IJB? (AC= 1cm) – 5 blue points.
Do both triangles have the same ratio of black subareas? - 8 red points.

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it

“Per la tua scacchiera ti servono dei pezzi veramente piccoli.”, Mike diceva. “È vero, ma sono più interessato in superfici”, Bernd rispondeva.

 646

I punti sull‘ asse y vengono collegati col punto B. Quale misura hanno la superficie e la circonferenza dei triangoli ABC e IJB? (AC = 1 cm) – 5 punti blu
Dentro i due triangoli è identica la percentuale delle parti neri? – 8 punti rossi.

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Lösung/solution/soluzione/résultat:

 


Aufgabe 11

647. Wertungsaufgabe

Sommerpause

„Dass es natürliche Zahlen gibt (größer 0), die x² + y² = c² erfüllen, ist ja bekannt. Ebenso aber weiß man auch, dass es keine natürlichen Zahlen gibt (größer 0), so dass x³+y³ = z³ gilt.“, sagte der Opa von Bernd und Maria. „Allerdings lassen sich für a³ + b³ + c³ = d³ und sogar für a³ + b³ + c³ + d³ = e³ positive ganze Zahlen finden, die die Gleichungen erfüllen, probiert es auch“, meinte Opa.
Für das Finden der Zahlen gibt es 5(=2+3) blaue Punkte.
Je vier rote Punkte für das Finden von a, b und c (positive ganze Zahlen) in den folgenden Gleichungen:
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+6b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+7b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+9b)³ = c³
(a,b,c,d,e sind in jeder Aufgabe anders. Aufgaben in einem „Aufgabenheft“ aus dem Jahr 1971)

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hun

Nyári szünet

Ismert, hogy vannak olyan természetes számok (nagyobb, mint 0), amikre igaz: x² + y² = c². Ugyancsak tudjuk, hogy nincs olyan természetes szám (nagyobb, mint 0), amire x³+y³ = z³ érvényes. – mondta Bernd és Mária nagyapja. Mindenesetre keressünk olyan pozitív egész számokat, amikre a a³ + b³ + c³ = d³, sőt a a³ + b³ + c³ + d³ = e³ egyenlet érvényes. – mondta nagyapa.
A számok megtalálása 5(=2+3) kék pontot ér.
Egyenként négy piros pont a, b és c (pozitív egész) számok megtalálása a következő egyenletekben:
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+6b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+7b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+9b)³ = c³
(A feladat egy 1971-es munkafüzetből származik.)

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fr

vacances d'été

«Il est bien connu qu'il existe des nombres naturels (supérieurs à 0) de sorte que x² + y² = c². Mais nous savons également qu'il n'y a pas de nombres naturels (supérieurs à 0), de sorte que x³ + y³ = z³ s'applique », a déclaré le grand-père de Bernd et Maria. "Cependant, pour a³ + b³ + c³ = d³ et même pour a³ + b³ + c³ + d³ = e³, on peut trouver des nombres entiers positifs qui répondent aux équations, essayez-le", dit grand-père.
Il y aura 5 (= 2 + 3) points bleus pour trouver les nombres.
Quatre points rouges chacun pour trouver a, b et c (nombres entiers positifs) dans les équations suivantes:
a³ + (a + b) ³ + (a + 2b) ³ +… + (a + 6b) ³ = c³
a³ + (a + b) ³ + (a + 2b) ³ +… + (a + 7b) ³ = c³
a³ + (a + b) ³ + (a + 2b) ³ +… + (a + 9b) ³ = c³
(Exercice dans un "livre d’exercice" de 1971)

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esp

„Ya se sabe que existen números naturales (más grandes que 0) para los que se aplique x² + y² = c². También se sabe que no existen números naturales (más grandes que 0) para los que se aplique x³+y³ = z³“, dijo el abuelo de Bernd y María. „No obstante, se pueden encontrar números enteros positivos para los que se aplique a³ + b³ + c³ = d³ o incluso a³ + b³ + c³ + d³ = e³. ¡Pruébadlo!”, dijo el abuelo.
Para el descubrimiento se pueden recibir 5 (=2+3) puntos.
Además, se pueden obtener cada vez 4 puntos rojos para a, b y c (números enteros positivos) en las ecuaciones siguientes:
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+6b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+7b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+9b)³ = c³
(se trata de tareas de un cuaderno de deberes del año 1971)

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en

summer break

“We all know that there are whole numbers (greater 0) which are x² + y² = c². We also know that there is no whole number (greater 0), so that x³+y³ = z³ applies.“, Bernd’s and Maria’s grandpa said. “However, you can find positive integers for a³ + b³ + c³ = d³ and even for a³ + b³ + c³ + d³ = e³, that fulfill the equation. You have to try it“, grandpa told them.
For finding the numbers you will get 5(=2+3) blue points.
For finding a, b and c (positive integers) in the following equations you will get 4 points, for each of them:
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+6b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+7b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+9b)³ = c³
(tasks out of an “excercise book“ from the year 1971)

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it

Pausa d’estate

“È noto che esistono numeri naturali (> 0) con x² + y² = c². Si sa anche che non esistono numeri naturali (> 0) con x³+y³ = z³.”, il nonno di Bernd e Maria diceva.
Si possono però trovare numeri interi positvi che assolvono l’ equazione a³ + b³ + c³ = d³ eppure a³ + b³ + c³ + d³ = e³, cercatelo”, nonno proponeva.Per la trovata di questi numeri vengono dati 5 (= 2+3) punti blu.
Quattro punti rossi vengono dati per ogni trovata di numeri interi positive a, b, c nelle equazioni seguenti:
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+6b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+7b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+9b)³ = c³
(Compiti di un “quaderno dei compiti” del 1971)

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Lösung/solution/soluzione/résultat:

 


Aufgabe 12

648. Wertungsaufgabe

 

Lösung/solution/soluzione/résultat:

 


Auswertung Serie 54