Serie 37

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Serie 37

Aufgabe 1

433. Wertungsaufgabe

Logikpuzzle
Bernd, Mike, Lisa und Maria waren beim Opa zu Besuch und tranken einen wundervollen Kakao. Sie erzählten von ihrem Aufenthalt bei der Berufsberatung. Jeder hatte sich über einen anderen Beruf informiert. (Bauarbeiter, Schmied, Architekt bzw. Lehrer. In dem Beratungsgespräch hatte jeder sein Hobby angegeben – Chemie, Astronomie, Physik bzw. Biologie. In einer abschließenden Testrunde hatten alle unterschiedlich viele Punkte erhalten (27, 29, 31 bzw. 33). Der Opa bekam folgende Informationen:
Maria erkundigte sich nicht über den Beruf eines Architekten.
Mike erhielt die 31 Punkte.
Die Person, die sich nach dem Beruf eines Schmied erkundigt hatte, betrieb als Hobby Physik und hat weniger Buchstaben im Namen wie das Mädchen, welches 27 Punkte bekam.
Lisa mag die Biologie nicht so.
Die Person, es war nicht Bernd, die sich nach dem Lehrerberuf erkundigt hat, erhielt 29 Punkte.
Die meisten Punkte bekam die Person mit dem Hobby Astronomie.
Opa hatte gut zugehört und wusste nun wer welches Hobby hatte, auch die Punktzahl und den Beruf konnte er zuordnen. Du auch? Dann gibt es 6 blaue Punkte.
„Was ist eigentlich aus den Belegarbeiten geworden, die ihr schreiben musstet?“, fragte Opa. „Die haben wir noch nicht wieder bekommen“, sagte Bernd, „aber du kannst noch etwas rätseln.“
Bernd, Mike, Lisa und Maria schrieben jeder bei einem anderen Lehrer (Herr Meier, Herr Lind, Herr Ober und Frau Terhorst) eine Belegarbeit zu Sternen, Pythagoras, Mozart bzw. über Katzen. (Hat mit den Hobbys aus der blauen Aufgabe nicht unbedingt was zu tun.) Die Belegarbeiten mussten  im Mai abgegeben werden, die Termine waren der 5., 6., 7. bzw. 8. Mai.
Bernd schreibt bei Herrn Meier.
Die zuerst abgegebene Arbeit beinhaltet die Musik des Pythagoras. Die Belegarbeit vom 7.  Mai hatte nicht die Sterne zum Thema. Marias Arbeit zum Thema Mozart wurde einen Tag vor der Arbeit abgegeben, die vom Herrn Ober beurteilt wird.
Frau Terhorst beurteilt das Katzenthema, das aber nicht von Mike geschrieben wurde.
Wann wurde, von wem, welche Arbeit abgegeben und welcher Lehrer betreut die Arbeit? 6 rote Punkte.

Termin der Abgabe 19.06.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 19.06.2014. Deadline for solution is the 19th. June 2014.

Puzzle di logica

Bernd, Mike, Lisa e Maria erano andati a trovare il Nonno e bevvero un meraviglioso cacao. Raccontarono a lui della loro visita ad un ufficio di orientamento professionale. Ciascuno di loro si era informato di un lavoro differente (operaio, fabbro, architetto, professore). Ognuno di loro aveva indicato nel colloquio i propri hobby – chimica, astronomia, fisica oppure biologia. Alla fine del giro tutti quanti ricevettero un punteggio diverso (27, 29, 31 e 33). Il Nonno ricevette seguenti informazioni:
Maria non si informò per un lavoro da architetta.
Mike ricevette 31 punti.
La persona, che si informò per un lavoro da fabbro, ha come hobby la fisica e ha meno lettere nel nome della ragazza, che raccolse 27 punti.
A Lisa non piace molto la biologia.
La persona, che chiese informazione sul lavoro da professore e che non era Bernd, raccolse 29 punti.
Più punti di tutti raccolse la persona che ha come hobby la astronomia.
Il Nonno aveva ascoltato bene e sapeva gli hobby di tutti; sapeva assegnare anche il punteggio e il tipo di lavoro. Anche tu lo sai? E allora si assegnano 6 punti blu.
“E la tesina che dovevate scrivere, che fine hanno fatto?” , chiese il Nonno. “Ancora non ce le hanno consegnati”, disse Bernd. “Però puoi indovinarci ancora sopra.”
Bernd, Mike, Lisa e Maria: ciascuno di loro scrisse una tesina da un professore diverso (Prof. Meier, Prof.Lind, Prof. Ober und Prof.Terhorst)sulle stelle, su Pitagora, Mozart e sui gatti. (Non ha a che fare con gli hobby del esercizio blu.) Le tesine erano da consegnare entro il mese di Maggio; i giorni erano il 5., 6., 7. e 8. Maggio.
Bernd l´ha scritta dal Prof. Meier.
La prima tesina consegnata ha come argomento la musica di Pitagora. La tesina del 7. Maggio non ha come argomento le stelle. La tesina di Maria con l´argomento Mozart è stata consegnata un giorno prima di quella tesina, che fu controllata dal Prof. Ober.
La Prof. Terhorst commenta la tesina sui gatti, che però non è stata scritta da Mike.
Quando e da chi è stata scritta quale tesina e quale professore ha controllato quale tesina? 6 punti rossi.

Logic puzzle
Bernd, Mike, Lisa and Maria were visiting their grandfather and enjoyed a marvellous cup of cocoa. They were recounting their visit to the career counselling. Each one had enquired about a different profession - builder, blacksmith, architect and teacher. During the interview each of them had mentioned their hobby -  chemistry, astronomy, physics and biology. In a final test they had each been given points – 27, 29, 32 and 33. Grandfather found out the following pieces of information:

Maria didn't enquire about the profession of an architect.
Mike got 31 points.
The same person who enquired about the profession of a blacksmith did physics as a hobby and had a name with less letters than the girl who got 27 points.
Lisa isn't into biology.
The person – not Bernd – who had enquired about the teacher's profession got 29 points.
The person whose hobby was astronomy got most points.

Grandfather had listened carefully and by then knew who had which hobby and he could match points and professions. You too? Then you'll be awarded 6 blue points.
“Whatever has become of those research papers that you had to do?”, grandfather asked.
“We haven't got them back, yet”, Bernd said, “but you can guess a little.”
Bernd, Mike, Lisa and Maria each had to do a research paper for different teachers (Mr. Meier, Mr Lind, Mr. Ober and Mrs. Terhorst) about different topics (stars, Pythogoras, Mozart and cats) which didn't necessarily correspond to their previously mentioned hobbies. The research papers were due in May. Deadlines were the 5th, 6th, 7th and 8th of May.
Bernd did his paper for Mr. Meier.
The paper that was due first was about Pythagorean music.
The papers dues on the 7th of May were not about stars.
Maria's paper about Mozart was due a day before the paper for Mr. Ober.
Mr. Terhorst supervised the paper about cats which wasn't written by Mike.

When were the papers handed in, who wrote them, what was their topic and which teacher supervised it? - 6 red points

Lösung/solution/soluzione:

Hier die Lösung von Marie-Sophie, danke:

Aufgabe 2

434. Wertungsaufgabe

Pizzaofenwochenaufgabe
„Willst du mitten im Sommer ein Iglu bauen?“, fragte Lisa ungläubig.
„Nein, das ist die Skizze eines Pizzaofens, dessen Maße ich aus Sizilien mitgebracht habe", antwortete Mike lachend. „Wir wollen den Ofen hier im Schulgelände nachbauen und ich bin mir nicht sicher, wie viele Schamottziegel wir bestellen müssen.
Die verfügbaren Schamottziegel sind 25cm lang, 12,4 cm breit und 6,4 cm hoch. Die Backfläche besteht aus flach gelegten Schamottziegeln, ist kreisförmig und hat einen Durchmesser von 120 cm. Darauf sitzt das Gewölbe. Die erste Lage des Gewölbes ist ein Ring aus hochkant gemauerten Halbziegeln (siehe Foto).

Wie viele Steine müssen für diesen Ring bestellt werden, wenn die Türöffnung etwa 45 cm betragen soll? - 6 blaue Punkte
Auf diesem Ring sitzt eine Kugelhaube (Kalotte) aus liegend gemauerten Halbziegeln. An der höchsten Stelle ist der Backraum 55cm hoch. Wie viele Ziegel werden für diese Kuppel in etwa benötigt, wenn man die Fugenbreite im Inneren sowie die Türöffnung vernachlässigt? - 4 rote Punkte
Das Gewölbe wird auf einer vorgeformten Kuppel aus feuchtem Sand gemauert. (siehe Foto - in unserem Fall ist der Sand mit Zeitungspapier bedeckt)

Da die Steine quaderförmig sind, entstehen durch die Krümmung außen recht große Fugen, die mit feuerfestem Mörtel gefüllt werden müssen. Um die Steine bis zum Aushärten des Mörtels zu stabilisieren, werden Keile benötigt. Welchen Winkel müssen diese Keile aufweisen? - noch mal 4 rote Punkte

Termin der Abgabe 04.09.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 04.09.2014. Deadline for solution is the 4th. September 2014.

Esercizio della pizza del fornaio

“Vuoi costruire un iglù durante l´estate?”, chiese Lisa miscredente.
“No, questo è un bozzetto per un forno, le quali misure le ho prese in Sicilia”, rispose Mike ridendo. “Vogliamo costruirlo qui sull´area della scuola e non sono sicuro quanti mattoni di chamotte dobbiamo ordinare.
I mattoni chamotte disponibili sono lunghi 25 cm, larghi 12,4 cm e alti 6,4 cm. Il piano di cottura, su quale poggia la volta, è rotondo e ha un diametro di 130 cm. Il primo strato della volta è un anello alto 12,4 cm di mezze tegole murate di taglio (vedi foto).

Quanti mattoni si devono ordinare per questo anello, se la apertura della porta si deve aggirare sui 45 cm? - 6 punti blu.
Su questo anello poggia una calotta di mattoni murati, che giacciono a terra. Nel suo punto più alto il posto di cottura è alto 55 cm. Quanti mattoni servono per questa cupola all´incirca, se si trascurano la larghezza della fuga all´interno e la apertura della porta? - 4 punti rossi.
La volta viene murata su una cupola prefigurata consistente di sabbia bagnata. Essendo i mattoni a forma di parallelepipedo all´infuori a causa della curvatura si formano grandi fughe, che devono essere riempite di calcina ignifuga. Per stabilizzare i mattoni fino al indurimento della calcina servono dei cunei. Che angolo devono avere questi cunei? - ancora 4 punti rossi.

434
pizza oven problem
“Do you want to build an igloo in the middle of the summer?”, Lisa asked incredulously.
“No, this is a sketch of a pizza oven whose dimensions I brought back from Sicily”, Mike answered with a laugh. “We want to build a copy of the oven here at our school campus and right now I have no Idea as to how many fireclay bricks I should order.”
Available fireclay bricks have a dimension of  25 by 12.4 by 6,4 cm. The cooking floor is made of these bricks laid flat (on their biggest side). It's circular with a diameter of 120 cm. On this surface sits the dome of the oven. The first course of the dome consists of firebricks that have been cut in half (at an angle) and that are set upright on their smallest side with the bis side touching each other (see photo)

How many firebricks do we need if we allow 45cm for the opening of the door? - 6 blue points
On this first course sits a spherical cap. This cap consists of chains of firebricks that have been cut in half and set at an angle. The inside of the dome is 55cm at its highest point. How many firebricks will be needed if mortar joints and door opening is neglected? - 4 red points
The dome will be made on a pre-shaped dome of wet sand. (see photo - the sand is covered in paper in out case)

 
Since the half-bricks are basically cuboids, following the curve of the dome will lead to quite wide mortar joints on the outside of the dome. In order to stabilise the structure until the mortar has cured, shims are needed. Which angles do these shims need to have? - another 4 points

Lösung/solution/soluzione:

Aufgabe 3

435. Wertungsaufgabe
„Hallo Mike, kommt jetzt noch ein Wasserfass neben den Pizzaofen?“, fragte Bernd. „Vielleicht. Ich untersuche aber gerade etwas anderes mit meinem Modellfass. Mein Fass ist dieser Zylinder hier. (Innenmaße: Durchmesser: 12,8 cm und Höhe 22 cm.) Wie du siehst, habe ich ihn halb voll mit Wasser gefüllt. Jetzt kippe ich mein „Fass“ und ich versuche herauszufinden, wie schräg ich den Zylinder halten kann, so dass das Wasser gerade so an einer Stelle den Rand erreicht, ohne überzulaufen.“ „Verstehe."
Wie viel Liter Wasser sind in dem Zylinder? 3 blaue Punkte
Wie schräg (Winkel) kann man den Zylinder maximal halten? 6 rote Punkte

Termin der Abgabe 11.09.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 18.09.2014. Deadline for solution is the 11th. September 2014.

"Hi Mike, are you going to put a water drum next to the pizza oven?", Bernd asked.
"Perhaps I will. Right know I'm thinking about something else with this model drum here. It is basically a cylinder. (Internal dimensions: diameter: 12.8 cm, height: 22 cm.) As you can see it is half full of water. Now I tilt the "drum" and try to find out at which angle the water will just about reach the rim without spilling."
"I see."
How many litres of water are in the cylinder? - 3 blue points
Up to which angle can you tilt the drum? - 6 red points

Lösung/solution/soluzione:

Aufgabe 4

436. Wertungsaufgabe
Wie waren denn deine Ferien?“, fragte Mike. „Na super, tolles Wetter, ein schöner Sternenhimmel, aber das Geld war recht schnell alle“, antwortete Bernd. „Musstest du eher zurückfahren als dein Geld alle war?“ „Nein, denn für diesen Fall hatte ich mit dem Opa vereinbart, dass ich eine SMS schicken durfte.“ Send more Money. „Mir war eingefallen, dass diese Bitte zugleich ein Zahlenrätsel ist.“
SEND + MORE = MONEY
Jeder Buchstabe ist durch eine Ziffer zu ersetzen → Gleiche Buchstaben → gleiche Ziffern, verschiedene Buchstaben → verschiedene Ziffern. Wie lauten die Lösungen des Zahlenrätsels, falls es denn mehrere gibt? 3 blaue Punkte.
„Unterwegs traf ich noch eine Gruppe von Wanderern. Die waren entweder blond oder rothaarig bzw. hatten grüne oder blaue Augen.“ Wenn es also blonde bzw. rothaarige Wanderer gab und auch die Augenfarben wirklich vorkamen, kann man daraus schlussfolgern, dass es mindestens ein Wandererpaar geben muss, bei denen die Haarfarbe und die Augenfarben unterschiedlich sind? Oder ist das nicht zwingend? 4 rote Punkte.

Termin der Abgabe 18.09.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 18.09.2014. Deadline for solution is the 18th. September 2014.

436
“Come sono andate le vacanze?”, chiese Mike. “Benissimo, bel tempo, un cielo di stelle, soltanto i soldi sono andati via subito”, rispose Bernd. “Sei dovuto tornare a casa prima per causa dei soldi?” “No, perché per un caso del genere ero rimasto con il mio nonno che avrei potuto inviare un messaggio.” Send more Money. “Mi ero ricordato, che questa richiesta era allo stesso momento un indovinello di numeri.”
SEND+MORE=MONEY
Ogni lettera è da sostituire da un numero → lettere uguali → numeri uguali, lettere differenti → numeri differenti. Quali sono le soluzioni del indovinello, nel caso ne esistono di più? 3 punti blu.
“Per strada incontrai un gruppo di itineranti. Erano o biondi, o dai capelli rossi, rispettivamente con gli occhi verdi o blu.” Nel caso allora che vi erano veramente dei itineranti biondi rispettivamente dai capelli rossi, e vi erano pure i colori degli occhi, si può dire che vi era almeno una coppia di itineranti che aveva i capelli e gli occhi dal colore completamente differenti? O non è coattivo? 4 punti rossi.

"Did you have nice holidays?", Mike asked.
"Great, fantastic weather, beautiful, starlit sky, only the money was spent too soon", Bernd answered.
"Did you have to return sooner than planned because you ran out of money?"
"No, I didn't. I had an agreement with my granddad that I could send him a text in a case like this. 'Send more money'. It occurred to me that this message was a numeric puzzle, too."
SEND + MORE = MONEY
Each letter is to be replaced by a digit → same letter → same digit, different letters → different digits. What are the solutions to this puzzles, in case there are more than one? - 3 blue points.
"On my trip I met a group of hikers. They were either blond or red headed and had either green or blue eyes."
So if there were blond and red headed hikers and if the eye colours really occurred, does it follow, that there was at least on pair of hikers whose hair and eye colour was different or is this not conclusive? - 4 red points

Lösung/solution/soluzione:

Die Lösung für blau von Arne, danke. --> als pdf <--
Rot: Davon mal ausgehend, dass sich die Augenfarbe auf beide Augen bezieht und auch die Haarfarbe für jeden Wanderer nur eine ist. (Danke für diesen Hinweis von Doreen N.)
Ich kürze die Schreibweise mal ab. Haarfarben: a und b
Augenfarben 1 und 2.
Nun gibt es also erst mal einen mit der Kombination a1. b muss es aber auch geben, also b1 oder b2 - b2 wäre schon von a1 verschieden.
Nimmt man a1 und b1, dann fehlt jetzt noch die 2. Das kann sein a2 oder b2. Damit wäre aber a2 verschieden von b1 und b2 verschieden von a1.
Es reichen also drei Leute aus, damit die Merkmale Augenfarbe und Haarfarbe unterschiedelich sind. Sind mehr Menschen in der Gruppe ändert das nichts daran, dass es schon verschiedene Merkmale gibt.

Aufgabe 5

437. Wertungsaufgabe

Hallo Mike, bist du ein Erbauer von Würfeln geworden?“, fragte Lisa. „Nein, die 27 gleichen Würfel habe ich von Bernds Opa bekommen und habe die zu einem Würfel zusammengesetzt. Das hat er mit einer Aufgabe verbunden. Ich soll so viele Würfel wegnehmen, so dass der Restkörper von vorn, von oben und von rechts so aussieht.“

Aus wie vielen kleinen Würfeln besteht dann der Restkörper und wie sieht der Restkörper aus (Schrägbild)? 4 blaue Punkte.
Was machst du eigentlich mit dem Kantenmodell des Würfels?“, fragte Lisa weiter. „Nun, ich habe hier Fäden, die ich von Ecke zu Ecke spannen kann. So kann ich mir leichter vorstellen, wie Dreiecke in den Würfel passen.“ „Verstehe.“ Wie viele Dreiecke kann Mike maximal in dem Würfel „unterbringen“, wenn die Ecken der Dreiecke, gleichzeitig immer auch Eckpunkte des Würfels sind. Weiter soll gelten, dass die Eckpunkte eines Dreiecks nicht auf einer Seite des Würfels liegen sollen. 4 rote Punkte.

Termin der Abgabe 25.09.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 25.09.2014. Deadline for solution is the 25th. September 2014.

“Ciao Mike, sei diventato un costruttore di dadi?”, chiese Lisa. “No, i 27 dadi uguali li ho ricevuti dal nonno di Bernd e ho formato di loro un dado unico. Questo l’ha abbinato ad un esercizio. Devo eliminare cotanti dadi, cosicché la forma restante da davanti, da sopra e da destra resti uguale.”

<Di quanti dadi piccoli consiste la forma restante e come sembrerebbe questa forma (immagine in diagonale)? 4 punti blu.
“Che cosa fai con il modello degli spigoli del dado?”, chiese Lisa ancora. “Dunque, ho dei fili che posso tendere da un angolo all´altro. Così potrò immaginarmi più facilmente, come centrano i triangoli nel dado“. “Ho capito”. Quanti triangoli può mettere Mike al massimo nel dado, se gli angoli dei triangoli sono anche sempre i punti angolari del dado? In più vale, che i punti angolari di un triangolo non possono stare su un lato del dado. 4 punti rossi.

437

"Hi Mike, have you become a constructor of cubes?", Lisa asked.
"No, these 27 identical cubes I got from Bernd's granddad. I put them together into one big cube. Then he set a task for me. I was to take away cubes so that the resulting solid looked like this when seen from the front, from above and from the right."

How many cubes are used for the resulting solid and how does it look in cavalier projection? - 4 blue points
"What are you doing with this edge-model of a cube?", Lisa went on asking.
"Well, here I've got strings that can be stretched from one corner to another. So it's really easy to imagine how triangles would fit inside the cube."
"I see."
How many triangles can Mike fit inside the cube at most if all vertices of the triangle are at the same time vertices of the cube and no triangle is part of a face of the tube?

Lösung/solution/soluzione:

 Es sind noch 20 Würfel, die man für den Körper braucht.

Rot --> es gibt 32 solche Dreiecke Begrüdnung von Hans, danke.

Erklärung: Beschriftet man die Eckpunkte des Würfels mit A, B, C, D, E, F, G und H (E über A, F über B, G über C und H über D), dann lassen sich z.B. vom Eckpunkt A aus folgende 12 Dreiecke aufspannen: ABG, ABH, ACE, ACF, ACG, ACH, ADF, ADG, AEG, AFG, AFH, AGH. Somit ergeben sich für alle 8 Eckpunkte insgesamt 12*8=96 Dreiecke. Betrachtet man z.B. das Dreieck ABG, so scheint dieses Dreieck insgesamt dreimal unter den 96 Dreiecken auf, denn es kann von A, von B und von G aus aufgespannt werden. Es sind also unter den 96 Dreiecken jeweils drei Dreiecke identisch. Daher ist die Gesamtzahl 96 noch durch drei zu dividieren, wodurch sich die Anzahl 32 ergibt.

Aufgabe 6

438. Wertungsaufgabe

„Das sieht aber gefährlich aus, wenn du so mit deiner Säge umher läufst. Was machst du eigentlich?“, fragte Bernd. „Ich will ja nicht wirklich sägen, sondern ich überlege, wie ich diesen Holzzylinder (r=, 5,6 cm, h = 18,8 cm) mit genau drei glatten (ebenen) Schnitten in acht gleich große (bezogen auf des Volumen) Stücke zerlegen kann.“, erwiderte Mike.
Wie könnte eine solche Teilung vorgenommen werden? 2 blaue Punkte
Wie groß ist die Oberfläche eines solche Teilstücks? 4 rote Punkte
(Für die rote und blaue Aufgabe gilt, dass kein Abfall beim Sägen entstehen soll.)

Termin der Abgabe 02.10.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 02.10.2014. Deadline for solution is the 2th. October 2014.

"That looks dangerous the way you're walking around with that saw. What exactly are you doing?", Bernd asked.
"I don't really intend to saw, but I'm thinking of how to divide this hollow cylinder (r=5.6 cm, h=18.8cm) by exactly three smooth (plane) cuts into eight pieces of equal volume", Mike replied.
How could such a section be achieved? - 2 blue points
What would the surface area of such a piece be? - 4 red points
(Suppose there is no waste when cutting the pieces.)

“Guarda che è pericoloso girare così con quella sega. Ma che cosa stai facendo?”, chiese Bernd. “Non è che voglio segare, sto solamente pensando come posso scomporre questo cilindro di legno (raggio= 5,6 cm, altezza=18,8 cm) con tre tagli lisci e piani in otto pezzi grandi uguali (riferitosi al volume) .”, rispose Mike.
In che modo si può effettuare una tale divisione? 2 punti blu
Quant´è grande la superficie di una tale frazione? 4 punti rossi.
(Per i esercizi blu e rosso vale che durante la segatura non si devono formare resti.)
Lösung/solution/soluzione:

Die Lösung ist von Linus, danke: --> als pdf <--

Aufgabe 7

439. Wertungsaufgabe

„Hallo Bernd, was guckst du denn so verzweifelt?“, fragte Mike. „Ich verstehe da was nicht. Unser Opa hat Maria und mir ein Spiel mitgebracht. Wir haben das gleich ausprobiert. Am Sonntagmorgen hat Maria 2 von 10 Punkten gewonnen, am Nachmittag hatten wir mehr Zeit und da habe ich 30 von 100 Punkten geschafft. Also war ich prozentual besser. Am Montagmorgen erreichte ich 7 von 10 Punkten, am Nachmittag erreichte Maria 50 von 100 Punkten, also war ich wieder prozentual besser.“ Aber Maria ist der Meinung, dass sie insgesamt doch besser wäre, weil sie 52 von 110 Punkten erreicht habe und ich nur 37 von 110.“ Wo liegt der Fehler von Maria (oder Bernd oder haben beide Recht)? 3 blaue Punkte.

„Wie kam das eigentlich, dass du bei dem Spiel gewonnen hast? Das ist doch wohl eher ein Würfelspiel, oder?“ „Okay, ich gebe es zu, ich habe etwas getrickst. Wir haben spezielle Würfel genommen. Auf dem Würfel A waren die Zahlen 111555 bei B: 004444 bei C: 333333 und bei D: 222266. Maria hat sich einen Würfel ausgesucht, danach ich.“ Wieso sind für Bernd die Chancen besser, egal ob Maria den Würfel A, B, C oder D nimmt? 2*4 rote Punkte.

Termin der Abgabe 09.10.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 09.10.2014. Deadline for solution is the 09th. October 2014.

“Ciao Bernd, perché hai una faccia disperata?”, chiese Mike. “C´è qual cosa che non capisco. Mio nonno ha portato a me e a Maria un gioco da tavola. Ci abbiamo giocato subito. Domenica mattina Maria aveva vinto due punti da dieci, il pomeriggio avevamo più tempo, quindi sono riuscito a raggiungere 30 da 100 punti. Percentualmente ero meglio io. Lunedì mattina raggiunsi sette da dieci punti, il pomeriggio Maria invece raggiunse 50 da 100 punti, quindi percentualmente ero di nuovo meglio io. Soltanto che Maria è dell´opinione, che in somma è meglio lei, perché ha raggiunto 52 da 110 punti ed io solamente 37 da 110.” Dove si trova l´errore di Maria (oppure di Bernd, o hanno ragione tutti e due)? 3 punti blu.
Come è successo che hai vinto tu al gioco? Si tratta di un gioco dei dadi, vero?” “Okay, l´ammetto, ho truccato un poco. Abbiamo preso dei dadi speciali. Sul dado A c´erano i numeri 111555, sul dado B: 004444, sul dado C: 333333 e sul dado D: 222266. Maria si era scelta un dado e dopo io.” Per quale motivo le chances di Bernd sono più alte, indipendentemente dalla scelta del dado di Maria (A,B,C o D)? 2*4 punti rossi.

“Hi Bernd, what's that desperate look on you face?”, Mike asked. “There is something I don't understand. Our granddad gave Maria and me a game which we tried it right away. On Sunday morning Maria won 2 of 10 points. In the afternoon we had more time and I won 30 of 100 points. So in terms of percentages I was clearly better. On Monday morning I got 7 out of 10 points, in the afternoon Maria got 50 out of 100 points. Again, I thought I was the better player in therm of percentage. However, Maria seems to think that all in all she is the better player because she got 52 out of 110 points and I only got 37 out of 110.”
Where is the error in Maria's reasoning (or Bernd's or perhaps both are right?) - 3 blue points
“How did you manage to win anyway? It's a dice game, isn't it?” “Ok, I'll admit I cheated a little. We took special dice. On die A were the numbers 111555, on B were 004444, on C: 333333 and on D: 222266. First maria chose a die, the I did.” Why does Bernd have a better chance of winning no matter if Maria chooses die A, B, C od D? - 2*4 red points

Lösung/solution/soluzione:

Bei der blauen Aufgabe tritt das sogenannte Simpson Paradoxon auf. Man kann auch sagen, man vergleicht Äpfel mit Birnen. Irgendwie haben beide Recht, aber es kommt, eben auf die Fragestellung an. Aber auch eine "falsche" Addition liegt vor. Möge der geneigte Leser die Addition richtig ausführen. Scheibar kann man also "alles beweisen."
Nur schnell kurz: Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte egal welchen Würfel Maria wählt, es gibt immer einen der "auf Dauer" besser ist. Wenn Zeit ist, ergänze ich die Antwort noch.

Aufgabe 8

440. Wertungsaufgabe

„Hallo Bernd, hast du zu viel Geld, dass du mit den Münzen spielst“, fragte Bernd. „Ich spiele nicht, ich überlege. Ich habe 10 gleiche Münzen in eine Dreiecksform gebracht.

Nun sollen genau drei Münzen so verschoben werden, dass das Dreieck nach unten zeigt.“ „Verstehe!“ Welche Münzen müssen an welche Stelle verschoben werden? 2 blaue Punkte

„Ich habe auch noch eine Aufgabe für dich“, sagte Bernd. „Zeichne 16 Felder nebeneinander und nummeriere diese von 1 bis 16 (von links nach rechts) durch. Lege in jedes Feld eine Münze. Ziel ist es, dass man am Ende 4 Stapel mit je 4 Münzen hat. Für eine Münze, die bewegt wird, soll gelten, dass sie genau 4 Münzen überspringt. Die übersprungenen Münzen können nebeneinander, aber auch übereinander liegen.“ Es ist eine Variante zu finden, die mit genau 12 Münzbewegungen auskommt. Die erste Münze soll die Münze aus Feld 7 sein. Diese wird auf die Münze in Feld zwei gelegt. 6 rote Punkte

Termin der Abgabe 16.10.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 16.10.2014. Deadline for solution is the 16th. October 2014.

440
“Hi Bernd, have you got too much money that you are playing with coins”, Bernd asked. “I'm not playing, I'm thinking. I have put 10 equal coins into the shape of a triangle.

Now move exactly three coins so that the triangle points downwards.” “I see.” Which coins have to be moved where? - 2 blue points “There's another problem for you”, Bernd said. “Draw 16 squares next to each other and number them from 1 to 16 (left to right). Put a coin on each square. In the end you want 4 piles with 4 coins each. Each coin that is to be moved has to jump over exactly 4 coins. They can be next to or on top of each other.” Find a way to create these 4 piles with exactly 12 moves. Start with the coin on square 7. This coin moves on top of the one on square 2.

Termin der Abgabe 16.10.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 16.10.2014. Deadline for solution is the 16th. October 2014.

“Ciao Bernd, che hai troppi soldi, o perché stai giocando con le monete?”, chiese Bernd. “Non ci sto giocando, sto pensando. Ho messo 10 monete uguali in una forma triangolare.

Ora si devono spostare esattamente tre monete, nel modo che il triangolo guardi in giù.”
“Ho capito!” Quale monete devono essere spostate in che posizione? 2 punti blu.
“Pure io ho un esercizio per te.”, disse Bernd. “Disegna 16 caselle l´una accanto all´altra e numerale da 1 a 16 (da sinistra a destra). Poni in ogni casella una moneta. Lo scopo è, che alla fine si hanno 4 mucchietti e su ogni di loro 4 monete. Per una moneta che viene mossa, conta, che scavalca esattamente 4 monete. Le monete scavalcate possono stare l´una accanto all´altra oppure anche l´una sopra l´altra.” Bisogna trovare una variante, che si accontenta di 12 movimenti. La prima moneta deve essere quella della casella numero 7. Questa viene spostata sulla moneta della casella numero due.

Lösung/solution/soluzione:

blau:Natürlich ist es egal, wo welche der drei umgelegten Münzen hin gelegt werden, will sgane die können untereinander ausgetauscht werden:

rot: Alle Einsendundungen zeigten eine andere Lösungsvariante. Eine mögliche Variante --> als Bild <--.

Aufgabe 9

441. Wertungsaufgabe

„Schau mal Bernd, ich habe das Spiel „Elfer raus“ aus unserer Spielekiste geholt“, sagte Maria. „Cool, lass mich kurz überlegen, wie viele Karten das Spiel umfasst.“ „Das ist ganz einfach“, sagte Maria, „es sind 80 Karten. Auf jeder Karte ist eine der Zahlen 1 bis 20 und zwar in vier Farben (blau, rot, grün und gelb: 4x20 = 80, die Rückseiten der Karten sind alle gleich). Ich habe eine Spielidee.“ „Lass hören.“ Maria sagt: „Ich nehme nur die roten Karten. Erst einmal nur die mit den Zahlen 1 bis 4. Die Karten mische ich und decke dann die vier Karten der Reihe nach auf. Ist die erste Karte die „1“ geht der Punkt an mich. Ist die erste Karte keine „1“, decke ich die zweite Karte auf. Ist das eine „2“, dann geht auch der Punkt an mich, wenn nicht, darf ich es mit der dritten Karte und der „3“ probieren, um den Punkt zu bekommen und als letzte Chance die vierte Karte mit der „4“. Wenn jede der Karten an der falschen Stelle liegt, hast du gewonnen.“
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die vier Karten auszuspielen und wie viele davon sind für Maria günstig? (4 blaue Punkte)
4 rote Punkte gibt es für die Untersuchung des Spieles, wenn 5 Karten verwendet werden.
Für ganz Fleißige gibt es noch einmal 6 rote Punkte, wenn alle 20 roten Karten des Spieles zum Einsatz kommen.

Termin der Abgabe 06.11.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 06.11.2014. Deadline for solution is the 06th. November 2014.

“Guarda Bernd, ho tirato fuori il gioco “Fuori l´undici” dalla cesta dei giochi”, disse Maria. “Bello, fammi pensare un attimo quante carte ha il gioco.” “Questo è molto facile”, disse Maria, “sono 80 carte. Su ogni carta c´è un numero da 1 a 20 in quattro colori diversi (blu, rosso, verde e giallo: 4x20=80, i didietro delle carte sono tutti uguali). Ho un´idea di gioco.” “Dimmi pure.” Maria dice: “Prendo solamente le carte rosse. Intanto solo quelle con i numeri 1 fino a 4. Mischio le carte e scopro le quattro carte una alla volta. Se la prima carta è un “1”, allora faccio punto io. Se la prima carta non è un “1”, scopro la seconda carta. Se esce il due, allora faccio punto di nuovo io, nel caso che non, posso provare a scoprire la terza carta e con il numero “3” per fare punto e come ultima possibilità posso scoprire la quarta carta con il numero “4”. Nel caso, che ogni carta stia al posto sbagliato, hai vinto tu.”
Quante possibilità ci sono per scartare le quattro carte e quante di queste sono a vantaggio di Maria? (4 punti blu).
4 punti rossi si danno per l´analisi del gioco con 5 carte.
Ai più diligenti vengono assegnati 6 punti rossi, nel caso vengano usate tutte e venti delle carte del gioco.

441
“Look, Bernd, I found the game “Eleven Out” in our box of games”, Maria said.
“Great, let me think: How many cards were in the game?”
“That’s easy”, Maria said, “there are 80 cards. On each card is one of the numbers from 1 to 20 in one of the four colours (blue, red, green and yellow: 4x20=80. The reverse sides are all equal.) I’ve got an idea for a game.”
“Let me hear”
Maria said: ”I’ll only take the red cards and only those with the numbers from 1 to 4 to start with. I’ll shuffle the cards and the turn them over. If the first card is a number “1” I’ll get a point. If it isn’t a “1”, I’ll turn over the second card. If that is a “2” I’ll get a point, too. If it isn’t I get to try again with the third card and a “3” or, as a last chance, with the fourth card and a “4”. If each card shows a wrong number you’ll win.”
How many possibilities are there to deal the cards and how many would be in favour of Maria? – 4 blue points
4 red points for the analysis ogf the same game containing 5 cards. Another 6 red points to analyse a game of all 20 red cards.

Lösung/solution/soluzione:

Basis dieser Aufgabe war eine Aufgabe aus dem Buch "berühmte Aufgaben der Stochastik" von Haller und Barth. Zu finden auf Seite 172 ff.

(Die Wahrscheinlichkeit eines Sieges von Marie wird im Folgenden immer mit p bezeichnet, die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ist dann p * Anzahl aller Möglichkeiten.)
Blau/rot:
Gibt es nur eine Karte - die 1, so gewinnt Maria immer. p =1 Anzahl aller Möglichkeiten 1= 1!
zwei Karten Anzahl aller Möglichkeiten 2= 2!: (1;2), (2;1) p= 1/2 = 1- 1/2!
drei Karten:Anzahl aller Möglichkeiten 6= 3!: (1;2;3), (1;3;2), (2;1;3), (2;3;1), (3;1;2), (3;2;1)  p=4/6
vier Karten: Anzahl aller Möglichkeiten 24= 4! Die fleißigen Löser haben herausgefunden, es gibt 15 Möglichkeiten in den Maria gewinnt. p =15/24 = 5/8

5 Karten: Anzahl aller Möglichkeiten 5= 120!
Mal den Trend der obigen Formel folgend: Diese Wahrscheinlichkeit multipliziert mit 5! = 120 führt auf die von einigen gefunden 76 Möglichkeiten.
Es lässt sich beweisen (s. Buch), dass der "Trend" immer gilt:
6 Karten: ist mit 6! zu multiplizieren.
7 Karten: ist mit 7! zu multiplizieren.

n Karten: Um die Anzahl der für Maria günstigen Fälle zu berechnen, müsste p mit n! multipliert werden:
Wie man leicht sieht ist p immer größer (gleich) 1/2. Außer im Fall von zwei Karten hat Maria das "Glück" immer auf ihrer Seite.
Für Genießer:                    e - eulersche Zahl

Aufgabe 10

442. Wertungsaufgabe

„Mike, was hast du in den Herbstferien gemacht?, fragte Bernd. „Ich war alleine in den Bergen wandern. Eine Tour war sehr anstrengend. Am Mittwoch ging ich von der Talstation um 9.00 Uhr los, machte immer mal eine Pause und kam 16.00 Uhr in der Berghütte an. Am nächsten Tag ging ich um 9.00 Uhr wieder los, ging den gleichen Weg zurück und machte wieder eine Anzahl von Pausen und war wieder genau 16.00 Uhr in der Talstation.“ „Wenn das so ist, dann musst du am Mittwoch und Donnerstag zur gleichen Zeit an der gleichen Stelle gewesen sein, ob das gerade eine Pause war, weiß ich aber nicht.“, sagte Bernd. Stimmt die Behauptung von Bernd oder irrt er sich? 3 blaue Punkte.

Die Wegweiser der Wanderstrecke waren rechtwinklige Dreiecke (6 cm; 8 cm; 10 cm). Auf jedem Wegweiser war ein roter Kreis, dieser hatte zu jedem Rand einen Abstand von 1 cm. Wie groß (Radius) war der Kreis. 4 rote Punkte.

Termin der Abgabe 13.11.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 13.11.2014. Deadline for solution is the 13th. November 2014.

“Mike, cosa hai fatto nelle vacanze d´autunno?”, chiese Bernd. “Sono andato da solo in montagna. La rotta era molto faticosa. Il mercoledì sono partito alle 9.00 dalla stazione a valle e, facendo qua e là delle pause, arrivai alle 16.00 al rifugio. Il giorno dopo ripartii alle 9.00, ritornai per la stessa strada e feci di nuovo alcune pause e arrivai esattamente alle 16.00 alla stazione a valle.” “Se è così, allora sia il mercoledì che il giovedì devi essere stato allo stesso tempo nello stesso posto, se riguarda però una pausa non so dirlo.”, disse Bernd. È giusta la affermazione di Bernd o sta sbagliando? 3 punti blu.
Gli indicatori stradali erano dei triangoli rettangolari (6 cm; 8 cm; 10 cm). Su ogni indicatore c´era un cerchio rosso, che aveva una distanza di 1 cm a ogni bordo. Quanto era grande il cerchio (raggio)? 4 punti rossi.

“Mike, what have you been up to in your autumn holidays?”, Bernd asked. “I went huiking in the mountains. On tour was especially hard. On Wednesday I left the valley station at 9 o'clock, took a rest now and then, and arrived at the mountain shelter at 4 in the afternoon. On the next day started again at 9 a.m., rested a few times and arrived at the station at exactly 4 o'clock.” “If this is true you must have been at the same spot at the same time on Thursday and Wednesday. It's only uncertain whether during a break or not”, Bernd said. Is Bernd's assumption correct or not? - 3 blue points.
The signposts of the tour were right triangles (6cm, 8cm, 10cm). On each sign there was a red dot (circle) which left a margin of 1cm to each edge of the triangle. How big (radius) was the circle? - 4 red points

 Lösung/solution/soluzione:
Die Behauptung von Bernd stimmt. Das Problem wird auf einen Tag "verlagert". MIke geht an dem ersten Tag nach oben und - so wie er an nächsten Tag zurückkommt- läuft kommt ihm sein "Doppelgänger" entgegen. Irgendwo müssen Sie natürlich treffen. Diese Stelle, egal wo, egal wann, ist die Stelle und der Zeitpunkt, wo Mike am nächsten Tag eben auch ist.
Als erstes konstruiert man den Inkreis des Dreiecks oder man berechnet dessen Radius (r=2cm), der gesuchte Kreis hat dann den Radius von 1 cm (bei gleichem Mittelpunkt).

Aufgabe 11

443. Wertungsaufgabe

„Du hattest doch neulich die Karten des Spieles „Elfer raus“, sagte Bernd zu Maria. „Mir ist da noch eine Idee gekommen. Du nimmst die roten Karten mit den Zahlen 1; 2; 3; 4; 5; 6 Die sollst du nicht mischen, sondern so auf einander legen, dass Folgendes geht. Du nimmst die Karten in die Hand. Erste Karte von oben nehmen – aufdecken und ablegen, das muss die Karte mit der 1 sein. Die nächste Karte legst du jetzt unter den Stapel in deiner Hand. Die jetzt oben liegende Karte nehmen  – aufdecken und ablegen, das muss die Karte mit der 2 sein. Jetzt wieder die oberste Karte unter den Stapel tun. Nächste Karte aufdecken, ablegen – Karte mit der 3. Wieder eine Karte drunter legen. Nächste Karte aufdecken, ablegen – Karte mit der 4. Wieder eine Karte drunter legen.
Nächste Karte aufdecken, ablegen – Karte mit der 5. Und nun noch die Karte mit der Sechs aufdecken. In welcher Reihenfolge müssen die Karten am Anfang übereinander liegen, so dass die Bedingungen erfüllt sind?“ 4 blaue Punkte.
Wie sieht der Kartenstapel zu Beginn aus, wenn bei gleichem Spielprinzip alle roten Karten von 1 bis 20 benutzt werden? 6 rote Punkte
Termin der Abgabe 20.11.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 20.11.2014. Deadline for solution is the 20th. November 2014.

443
“The other day we were talking about the game 'Eleven-Out', weren't we”, Bernd said to Maria. “I had another idea. Let's take the red cards with the numbers 1; 2; 3; 4; 5; 6. Don't shuffle, but put them on top of each other as follows: Take the cards into one hand. Take the first card from the top of the stack and deal it face up. It's supposed to be number 1. The next card from the top you put at the bottom in you hand. The following one you deal. It's supposed to be number 2. The following card goes to the bottom of the stack, while the next one should be dealt and show number 3. Go on like this: one card goes under the stack, the next one shows the following number. In what sequence would the cards have to be initially in order to be dealt out likes this?” - 4 blue points
What would be the initial sequence of a deck of 20 cards in order to be dealt out in this way? - 6 red points

443
“Ultimamente avevi le carte del gioco `fuori l´undici´”, disse Bernd a Maria. “Mi è venuta una idea. Prendi le carte rosse con i numeri 1;2;3;4;5;6. Queste non le devi mischiare, ma metterle così una sull´altra, che risulta la seguente combinazione: Prendi le carte in mano. La prima carta la prendi da sopra-scoprirla e metterla via; questa deve essere la carta con il numero uno. La prossima carta la metti sotto il mazzo nella tua mano. Prendi adesso la carta che sta sopra- scoprila e mettila via; questa deve essere la carta con il numero due. Poi: mettere di nuovo la prima carta del mazzo superiore sotto il mazzo. Scoprire la prossima carta, metterla da parte- carta con il numero tre. Rimettere una carta sotto il mazzo. Scoprire la prossima carta, metterla da parte- carta con il numero quattro. Poi: rimettere una carta sotto il mazzo. Scoprire la prossima, metterla da parte- carta con il cinque. E poi la stessa procedura con la carta con il sei. In quale ordine devono essere postate le carte all´inizio l´una sull´altra, cosicché le condizioni siano adempite?” 4 punti blu.
Com’è composto il mazzo di carte all´inizio nel caso vengano usate secondo la stessa procedura di gioco le carte da 1 a 20? 6 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione:

Es gibt viele Wege um zur Lösung zu kommen. Ein ganz ganz auf Aktivität abgestellter Weg:

So viele Karte wie man braucht nehmen und mit Bleistift die Zahlen auf die Karten schreiben. Den Stapel einfachsortiert in die Hand nehmen. Nun die Vorschrift der Aufgabe ausführen und die abgelegten Karten der Reihe nach mit Buntstift nummerieren. Wenn fertig ist, wird der Stapel nach den Bleistiftzahlen wieder sortiert und die Bunstiftzahlen entsprechrechend notieren.
blau: 1-4-2-6-3-5
rot: 1-11-2-16-3-12-4-20-5-13-6-17-7-14-8-19-9-15-10-18

Aufgabe 12

444. Wertungsaufgabe

„Nach den vielen Karten der letzten Wochen sollte eine Konstruktion folgen“, meinte Mike. „Einverstanden, hier kommt meine Idee“, sagte Lisa.
Zeichne in ein (kartesisches) Koordinatensystem die Punkte A(3; 1), B (2; 4) und C (4;4). Zeichne eine Gerade durch A und B und eine zweite Gerade durch A und C. Beschreibe wie man Kreise konstruieren kann, die die beiden Geraden berühren und einen Radius von je 2,0 cm haben. Gib die Koordinaten der Mittelpunkte dieser Kreise an. 6 blaue Punkte.
Sechs rote Punkte gibt es für die Funktionsgleichungen der Normalparabeln (y=x²+px+q), die die obigen Geraden als Tangenten haben.

Termin der Abgabe 27.11.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 27.11.2014. Deadline for solution is the 27th. November 2014.

444
“After all the cards over the last few weeks let's have a construction”, Mike suggested.
“Agreed, here's my idea”, Lisa said:
Mark points A(3; 1), B (2; 4) and C (4;4) in a (Cartesian) coordinate system. Draw a line through A and B and a second one through A and C. Explain how you can construct circles that would touch both lines and have a radius of 2cm each. Give to coordinates of centres. - 6 blue points.
Six red points will be awarded for the equation of the basic parabolas (y=x²+px+q) whose tangent lines are the above lines.

“Dopo tutte quelle cartine di settimana scorsa e` ora di presentare una costruzione”, disse Mike. “D´accordo, eccoti qui` la mia idea” , disse Lisa.
Segna in un sistema cartesiano i punti A(3;1), B(2;4) e C(4;4). Disegna una retta che vanno per i punti A e B ed una seconda retta che passa per A e C. Descrivi come si possono costruire dei cerchi che tocchino le due rette e che abbiano un raggio di 2,0 cm ciascuno. Indica le coordinate dei punti centrali di questi cerchi. 6 punti blu.
Vengono assegnati sei punti rossi per le funzioni delle parabole (y=x²+px+q) che hanno come tangenti le retti citate sopra.

Lösung/solution/soluzione:

Hier die Lösungen von Hans (Amstetten), danke:
1. Die Mittelpunkte der gesuchten Kreise müssen auf den Winkelsymmetralen der beiden Geraden liegen. Es ergeben sich eine senkrechte und eine waagrechte Winkelsymmetrale, die jeweils durch den Punkt A gehen. Diese werden geschnitten mit dem Parallelenpaar z. B. zur Geraden durch A und B im Abstand von 2 cm. Man erhält vier Schnittpunkte, die die Mittelpunkte der gesuchten Kreise sind:
M1 = (3/7,32), M2 = (5,11/1), M3 = (3/-5,32), M4 = (0,89/1)

2. Die beiden Normalparabeln haben die senkrechte Winkelsymmetrale (mit der Gleichung x = 3) als Symmetrieachse. Ihre Scheiteln liegen daher auf dieser Winkelsymmetralen.
Zunächst soll die Gleichung der oberen Normalparabel gefunden werden: Da die Tangente im Scheitel S die Steigung 0 hat, ergibt sich die Bedingung y’(3)=0, woraus man p = -6 erhält. Die Gleichung der Normalparabel kann somit zunächst in der Form (*) y = x^2 - 6x + q geschrieben werden. Da die Gerade durch A und B die Steigung -3 hat und Tangente an die Parabel ist, lässt sich die x-Koordinate des Berührungspunktes T berechnen aus der Bedingung y’ = 2x - 6 = -3, also x = 1,5. Durch Einsetzen dieses Wertes in die Geradengleichung der Geraden durch A und B y = -3x + 10, erhält man die y-Koordinate des Berührungspunktes T, also T = (1,5/5,5). Setzt man die Koordinaten von T in die Parabelgleichung (*) ein, erhält man auch den Wert q = 49/4. Daher lautet die Gleichung der oberen Normalparabel y = x^2 - 6x + 49/4.
Um die Gleichung der unteren Normalparabel zu erhalten, kann man ähnlich vorgehen. Kürzer ist es, eine Punktspiegelung der Punkte S und T am Punkt A durchführen und die Koordinaten dieser neuen Punkte S’ und T’ in die allgemeine Gleichung der Normalparabel y = -x^2 + px + q einsetzen. (Das Minusvorzeichen bei x^2 ergibt sich, weil diese Parabel nach unten geöffnet ist.) Man erhält ein Gleichungssystem in den Unbekannten p und q, dieses löst man und erhält die Gleichung der unteren Normalparabel y = -x^2 + 6x - 41/4.

Auswertung Serie 37
Sollte noch ein paar Punkte per Post oder so eintrudeln, dann werden diese bei der Punkteliste von berücksichtigt. Es ist also möglich, dass es damit kleine Abweichungen gibt.

Weiter geht es mit der Serie 38