Serie 31

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Aufgabe 8

368. Wertungsaufgabe
„Vor einiger Zeit (Aufgabe 354) hatten wir ein Dreieck ABC in ein Koordinatensystem gezeichnet.“; sagte Maria. „Kannst du mir noch mal die Koordinaten sagen?“, fragte Bernd. „Kein Problem.“ A (0; 0), B (5; 1) und C (4; 6) Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, ist es sicher kein Problem den Flächeninhalt auszurechnen – 3 blaue Punkte. Ist es möglich (oder
unmöglich) ein gleichseitiges Dreieck ABC mit A (0; 0) in ein Koordinatensystem zu zeichnen, so dass die Koordinaten von B und C auch ganzzahlig sind. 10 rote Punkte
Termin der Abgabe 11.10.2012 Deadline for solution is the 11th. october 2012.
368
“A while ago (problem 354) we drew a triangel ABC into a coordinate system”, Maria said.
“Could you give me the coordinates?”, Bernd asks her.
“No problem: A(0;0), B(5;1) and C(4;6)”.
As its is a right-angled triangle it should be easy to calculate its area. - 3 blue points.
Is it (im)possible to draw an equilateral triangle ABC with A at (0;0) into a coordinate system so that the coordinates of B and C are integers? - 10 red points
Lösung/solution:
Die Lösung wird nachgereicht, nur mal schon kurz: Blau Lösung A = 13 cm²
rot ein solches Dreieck gibt es (leider) nicht. Aber mit A (0; 0), B (41; 11)und C (11; 41) kommt man ganz schön nah heran.
\sqrt (1800) und sqrt {1800} und sqrt {1802} sind die Seitenlängen des Dreiecks ABC, also zwei ganz gleich und die dritte ist um 0,02 Einheiten länger.
Ausführliche Lösung, beruhend auf den Ideen von Rafael, danke.
368
Der Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich aus dem Flächeninhalt des Rechtecks ADEF vermindert um A1, A2 und A3. Die Flächeninhalte der Dreiecke (sind alle rechtwinklig) sind leicht zu berechnen. 5*6 - 5*1/2 - 5*1/2 - 4*6/2 = 30 - 2,5 - 2,5 - 12 = 13
Die Eigenschaft, dass das Dreieck ABC rechtwinklig war, wurde bei diesem Rechenweg gar nicht genutzt. Dieser Weg eignet sich also für jedes Dreieck, dessen Flächeninhalt zu bestimmen ist.
rot: Angenommen es existiere ein solches gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge a, dessen Koordinaten ganzzahlig seien.
Fall 1: B läge auf der x-Achse, dann wären die Koordinaten von C
x_{\frac{a}{2}} und \pm \sqrt {3} \cdot \frac {a}{2}
Die x-Koordinate von C könnte ganzzahlig sein, wenn a durch zwei teilbar wäre, allerdings ist die y-Koordinate nie ganzzahlig, denn Wurzel (3) ist irrational (Formel für die Höhe im gleichseitigen Dreieck). Es gibt also kein solches Dreieck mit B auf der x-Achse.
Fall 2: C läge auf der y-Achse, denn wären die Koordinaten von B:
\pm \sqrt {3} \cdot \frac {a}{2} und y_{\frac{a}{2}}
Die y-Koordinate von B könnte ganzzahlig sein, wenn a durch zwei teilbar wäre, allerdings ist die x-Koordinate nie ganzzahlig, denn Wurzel (3) ist irrational (Formel für die Höhe im gleichseitigen Dreieck). Es gibt also kein solches Dreieck mit C auf der y-Achse.
Fall 3: B und C lägen im 1. Quadraten. Dann ließe sich wie im Fall blau ein Rechteck finden. Die Koordinaten von D, E und F wären dann ganzzahlig, denn sie würden sich ja von den ganzzahligen Koordinaten von B und C ableiten. Der Flächeninhalt des Dreiecks ergäbe sich dann aus der Differenz des Rechtecks und den drei Dreiecken. Leicht zu sehen, dieser Flächeninhalt wäre ganzzahlig oder etwas mit ,5. Andererseits ließe sich für die Ermittlung der Seitenlänge a des Dreiecks ABC a² = xb² + yb² benutzen. a² ist aber ganzzahlig. Für den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks gilt aber auch:
A = \frac{a^2}{4} \cdot \sqrt{3}
Der Flächeninhalt wäre dann aber wieder irrational, das aber steht im Widerspruch zum Rechenwegergebnis über das "Umgebungsrechteck". Es gibt also kein gleichseitiges Dreieck im Fall 3.
Weitere Fälle für die Lage des Dreiecks brauchen nicht untersucht zu werden, da sich diese durch geeignete Verschiebungen und Spiegelungen auf den Fall 3 zurückführen lassen.
Die Annahme der Existenz eines solchen Dreiecks ABC war also falsch.
(leider).