Serie 30

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Aufgabe 7

355. Wertungsaufgabe

 „Vor kurzem hatten wir doch die Zahl des „goldenen Schnittes“ ausrechnet“, sagte Lisa zu Mike. „Stimmt, das war bei der Aufgabe 352. Wenn man eine Strecke AB im Verhältnis des goldenen Schnittes teilen will, so gilt es, einen Punkte C auf der Strecke AB zu finden, so dass z. B.  AB : AC = AC : BC gilt. Der Abschnitt AC ist in dem Fall das größere Teilstück und wird Major genannt, die Strecke BC ist dann der Minor. Ich habe eine schöne Konstruktion entdeckt, wie man den Punkt A finden kann, wenn man die Strecke BC vorgibt.“ „Lass hören.“ „Die Konstruktion ist eine
klassische – also ohne Messung zwischendurch. Die Strecke BC wird halbiert. Dann wird in B eine Senkrechte errichtet. Ein Punkt M auf der Senkrechten mit dem Abstand BC/2 wird festgelegt. Dieser Punkt M wird mit C durch eine Gerade verbunden. Anschließend wird ein Kreis um M
gezeichnet, der den Radius BC/2 hat. Dieser Kreis schneidet die Gerade AM in zwei Punkten X und Y, wobei Y weiter von C entfernt ist als X.
Jetzt wird ein Kreis um C gezogen mit dem Radius CY. Dieser Kreis schneidet die Gerade durch die Punkte C und B in zwei Punkten. Der Schnittpunkt, der weiter von B entfernt ist, wird mit A bezeichnet. Das ist der gesuchte Punkt A, denn es gilt nun  AB : AC = AC : BC“.
Wie lang ist AC, wenn BC 4,2 cm lang ist. (Ermittlung durch Rechnung oder Konstruktion – 4 blaue Punkte.) Es ist zu zeigen, dass die Konstruktionsvorschrift wirklich einen Punkt A ergibt,so dass der goldene Schnitt erfüllt ist. - 4 rote Punkte.

Termin der Abgabe 03.05.2012 Deadline for solution is the 3. may 2012.

355
“A while ago we calculated the value of the golden ratio, didn't we?”, Lisa said to Maik.
“That's right, problem 352 it was. If you want to divide a line segment AB according the golden ratio, you'd have to find a point C on AB so that for example AB : AC equals AC : BC. In this case AC is the bigger part and would be called 'major' while BC is 'minor'. I have come across a beautiful construction to find point A if BC is given.”
“Tell me.”
“It's a classic construction only using compass and straightedge. Bisect line segment BC. Then construct the perpendicular through B. Mark a point M on this perpendicular in a distance of BC/2. Connect M and C. Draw a circle centered at M with a radius of BC/2. This circle intersects line AM in two points X and Y with Y being further away from C than X. Now construct a circle centered at C with a radius of CY. This circle intersects the line through C and B in two points. Let the point of interesction that is further from B be A. That's the point A we were looking for, because AB : AC = AC : BC.”
How long is AC, if BC is 4.2 cm? Solution by calculation or construction – 4 blue points.
Show that above construction really gives you point A of the golden ratio. - 4 red points

Lösung/solution.

Die Konstruktion verbirgt sich hinter der oberen rechten Konstruktion. Bei der Vorgabe von 4,2 cm ergibt sich AC zu 6,8 cm.

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Solution from Zach, thanks --> pdf <--