Serie-3

Aufgabe 1:

Seit der letzten Woche gibt es einen
Link kommt wieder
über die Bruchrechnung bei den Pharaonen. War mal ein Projekt in Klasse 5.
Es sind für folgende Brüche EINE Zerlegung in Stammbrüche zu finden. Es kann, aber es muss nicht das Verfahren benutzt werden. Bedingung ist, dass keiner der Brüche in der Zerlegung mehrfach verwendet wird. 2/3 = 1/3 + 1/3 ist keine zugelassene Lösung, sondern beispielsweise 2/3 = 1/2 + 1/6
7/11 ,
9/11 ,
13/15 und
5/39 .

Zu erreichen sind 4 ^. 2 = 8 Punkte.

Als Lösung wurde die Einsendung von Salomon gewählt.
 
7/11=7/14+(7/11-7/14)
7/11=1/2+(7/11-7/14)
7/11=1/2+3/22
7/11=1/2+3/24+(3/22-3/24)
7/11=1/2+1/8+(3/22-3/24)
7/11=1/2+1/8+1/88
=================
 
9/11=9/18+(9/11-9/18)
9/11=1/2+7/22
9/11=1/2+7/28+(7/22-7/28)
9/11=1/2+1/4+3/44
9/11=1/2+1/4+3/45+(3/44-3/45)
9/11=1/2+1/4+1/15+1/660
=======================
 
13/15=13/26+(13/15-13/26)
13/15=1/2+11/30
13/15=1/2+11/33+(11/30-11/33)
13/15=1/2+1/3+1/30
==================
 
5/39=5/40+(5/39-5/40
5/39=1/8+1/312
==============

Aufgabe 2:

Um einen quadratischen Teich sollen Bäume symmetrisch herum gepflanzt werden, so das dieses Muster entsteht:

Um den Eindruck von 9 Bäumen zu erreichen und wegen der geforderten Symmetrie ergeben sich folgende Möglichkeiten:

Aufgabe 3:

Aus Anlass eines Klassentreffens schreibt Peter alle ehemaligen Lehrer an. Bis auf drei sagen alle ihre Teilnahme zu. In dem Brief an seine ehemaligen Mitschüler schreibt der als Matheass bekannte Peter folgendes:

1. Die drei Lehrer Schulze, Ufer und Krause, die jeweils genau zwei der Fächer unterrichteten, können leider nicht kommen.
   Die Fächer Deutsch, Russisch, Geschichte, Mathematik, Physik und Biologie bleiben uns also leider erspart.

   Wer nicht mehr weiß, wer was unterrichtet hat, bekommt es mit folgenden Aussagen sicher heraus.

2. Sowohl der Lehrer für Biologie als auch der Lehrer für Physik sind älter als Herr Schulze.
3. In ihrer Freizeit spielten der Lehrer für Russisch, der Lehrer für Mathematik und Herr Schulze gern Skat. Dabei gewann Herr Krause öfter als der Lehrer für Biologie und der Lehrer für Russisch.

Herr Schulze unterrichtet nicht Biologie und Physik - wegen 2. - und auch nicht Russisch und Mathematik - wegen 3.-.
Also bleibt für Herrn Schulze nach 1. nur Deutsch und Geschichte.
Herr Krause unterrichtet nicht Russisch und Biologie - wegen 3. - und da Deutsch und Geschichte schon weg sind, folgt:
Herr Krause unterrichtet Mathematik und Physik.
Somit bleiben nach 1. für Herrn Ufer die Fächer Russisch und Biologie.

Aufgabe 4:

Bunte Kugeln
Eine grüne Kugel ist so schwer wie zwei rote Kugeln und zwei blaue Kugeln sind so schwer wie eine rote Kugel.
Wie viele blaue Kugeln sind so schwer wie drei grüne Kugeln?
Zu erreichen sind 2 Punkte.

Wenn eine grüne Kugel so schwer ist wie zwei rote, dann sind drei grüne Kugeln so schwer wie 6 rote Kugeln.
Da eine rote Kugel so schwer ist wie zwei blaue, sind 6 rote Kugeln so schwer wie 12 blaue.
Also sind drei grüne Kugeln so schwer wie 12 blaue Kugeln.

Aufgabe 5:

Würfelturm
Der kleine Bernd stapelt seine sieben Würfel aus dem neuen Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel übereinander. Es sind alles regelgerechte Würfel.
Wie groß ist die sichtbare Augenzahl aller Würfel, wenn ganz oben auf eine drei liegt?
Zu erreichen sind 3 Punkte.

Regelgerecht sind Würfel, wenn die Augenzahl gegenüber liegender Seiten 7 ergibt. Daraus folgt, dass bei den Würfeln die Augenzahl an den sichtbaren Seiten 14 beträgt. Bei sieben Würfeln sind das dann 98 und mit der 3, die oben drauf liegt, ergibt sich der gesuchte Wert zu 101.

Aufgabe 6:

Kaputte Schachbretter
Der kleine Bernd erwischt bei seiner großen Schwester einen Stapel Blätter mit leeren Schachbrettern drauf. Mit seiner neuen Schere schneidet aus einem Blatt ein 3 x 3 Feld raus, aus dem nächsten ein 4 x 4 Feld, dann ein 5 x 5 Feld, ein 6 x 6 Feld, ein 7 x 7 Feld und ein vollständiges Blatt nahm er so mit in sein Zimmer.
Als er stolz die Schachbrettstücke betrachtete fiel ihm bei dem kleinsten Brett auf, dass er ja dort ein großes 3 x 3 sehen kann, aber auch 2 x 2 Quadrate und natürlich die 1 x 1 Felder. Er rechnete zusammen und fand heraus, dass er auf dem 3 x 3 Feld insgesamt 14 Quadrate finden konnte.
Mit etwas systematischer Suche lassen sich auch Anzahl der möglichen Quadrate auf dem
4 x 4 Feld,
5 x 5 Feld,
6 x 6 Feld,
7 x 7 Feld und
8 x 8 Feld ermitteln.
Zu erreichen sind 8 Punkte.

Um das System zu finden, sollte ganz von vorn begonnen werden.
1 x 1 Feld --> 1 Quadrat
2 x 2 Feld --> 5 Quadrate, es sind also zu dem einen vier dazu gekommen: 5=1+4
3 x 3 Feld --> 14 Quadrate, es sind also 9 Quadrate mehr geworden: 14=5+9 bzw. 14=1+4+9
Das System für ein n x n Feld ist beschreibbar als Anzahl(n)= Anzahl (n-1)+n² oder als Anzahl (n)=1²+2²+...+n².

Die Summenformel erlaubt die Berechnung für ein n x n Feld, ohne die vorherigen Felder zu berechnen.
Eine andere Überlegung zur Herleitung der Formel ist die Gedankenspielerei mit Schablonen:
Ein n x n Feld besitzt ein Quadrat der Kantenlänge n. Eine Schablone der Kantenlänge n-1 lege ich links unten auf, die Schablone kann ich eins nach rechts verschieben und wenn ich dasselbe eine Verschiebung weiter oben mache habe ich alle 4 Möglichkeiten für die n-1 Schablone erreicht.
Die n-2 Schablone kann nun nach dem Auflegen noch zweimal nach rechts verschoben werden und ich kann das zweimal auch nach oben ausführen. Das ergibt 3x3=9 bzw. 3² Möglichkeiten.
...
Damit ist die Formel Anzahl (n)=1²+2²+...+n² auch bestätigt.
Ergebnisse:
4 x 4 Feld --> 30
5 x 5 Feld --> 55
6 x 6 Feld --> 91
7 x 7 Feld --> 140
8 x 8 Feld --> 204

Aufgabe 7:

Bernds Traum

Im verschlossenen Hinterzimmer der Monster-Bar. Es ist kurz nach Mitternacht. Auf dem runden Tisch liegen noch die Karten. Ihnen gilt kein Blick. Vor 10 Minuten saßen noch sechs Männer am Tisch. Der alte Frisky, John Dalmas, George Hawkins, Allan Cunneway, Fred Buster und Tom Snider. Nun aber liegt einer von ihnen tot über dem Tisch. Der tote Falschspieler hält noch sein Whiskyglas in der Hand. Da keiner den Raum verlassen hatte und auch der Wirt sich Stunden nicht hatte blicken lassen, musste einer der sechs der Mörder sein. Wer sind Täter und Opfer, wenn folgendes bekannt ist:

Aus 4. folgt, dass A und E Onkel bzw. Neffe sind. Wegen 1. ergibt sich D ist George und damit wird nach 4. C zum Täter.
A ist Fred wegen 5. Damit wird 6. aber nur durch E und B erfüllt. Nach 3. gilt nun B heißt Frisky und E muss Tom sein Damit ist C, also der Täter, Allan Cunnuway und John Dalmas das Opfer. Warum hat er auch falsch gespielt, wo bei Mord ein noch größeres Verbrechen ist. Aber es war ja nur ein Traum.

Aufgabe 8:

Bernd unterhält sich mit seinem Vater. Irgendwie kommen sie auf seinen Freund Mike zu sprechen. Dieser hat noch drei Brüder. Das ist doch echt selten, dass bei vier Kinder alle Jungs bzw. Mädchen sind. Da die Chance für ein Mädchen und einen Jungen ja gleich sind, meint Bernd, dass die Anzahl der Mädchen und Jungen doch am ehesten gleich sein müsten. Also beispielsweise:
M, J, J, M.
Schreibe alle Möglichkeiten der Geburtsreihenfolge auf.
Hat Bernd recht oder ist die Möglichkeit, dass drei der vier Kinder das gleiche Geschlecht haben größer?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Einige Teilnehmer haben die Aufgabenstellung nicht im Sinne der Verteilung der Möglichkeiten bezogen auf viele Familien interpretiert. Es stimmt schon, dass das Geschlecht der bereits geborenen keinen Einfluss auf den Neuankömmling hat, also immer wieder die 50 Prozent Chance auftritt, aber die Fragestellung war halt doch anders.
Hier die Lösung von Hermann T.:
M = Mädchen
J = Junge

Aufgabe 9:

Eine Schnecke fällt in einen 10 Meter tiefen Brunnen und treibt auf dem Wasser. Sie erreicht den Rand und beginnt nach oben zu kriechen. Am Tag schafft sie so 4 Meter nach oben. In der Nacht rutscht sie während des Schlafes wieder drei Meter zurück. Unverdrossen probiert sie den Rand zu erreichen.
Am wie vielten Tagen erreicht sie den Rand?
Zu erreichen sind 3 Punkte.

Einige Teilnehmer sind bei ihren Überlegungen über die effektiven 1 Meter nicht hinausgekommen und haben so die Antwort mit 10 Tagen angegeben. Wenn aber nach 10 Tagen die 10 Meter Endstadium sein würden, so wären ja da am Tag die 13 Meter erreicht worden, nun ja mehr als einen Punkt gibt es dann dafür nicht.
Hier die Lösung von Christoph.
Sie beginnt am Tag 1 Schafft 4m, rutsch wieder in der Nacht 3m runter und ist auf 1m.
Tag 2 + 4m =5m - 3m = 2m.
3. Tag: von 2m auf 6m auf 3m.
4. Tag: von 3m auf 7m auf 4m.
5. Tag: von 4m auf 8m auf 5m.
6. Tag: von 5m auf 9m auf 6m.(h�tte sie es nur noch ein paar Stunden probiert... :-) )
7. Tag: von 6m auf 10m (na endlich)
Sie erreicht den Rand am 7. Tag.
Danke Christoph.

Aufgabe 10:

Bernd feiert seinen 10. Geburtstag. Seine Schwester ist genau so viele Jahre älter als er wie sein Bruder jünger ist als er. Mit anderen Worten, Bernd ist wirklich der Mittlere von den dreien. Wenn er die Quadrate der Lebensalter aller drei addiert erhält er 318.
Wie alt sind die drei Geschwister?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Nun viele haben probiert und einige haben eine Gleichung aufgestellt. Falsches war nicht dabei, prima.
Mit dem Altersunterschied b zum Bernd ergibt sich folgende Gleichung:
(10-b)² + 10² + (10+b)² = 318
100 -20b + b² + 100 + 100 + 20b + b² = 318
300 + 2b² = 318
2b² = 18
b²=9
b= 3 oder -3
Der Altersunterschied ist also 3 und damit ist der Bruder 7 und die Schwester 13.
Probe: 7² + 10² + 13² = 49 + 100 + 169 = 318

Aufgabe 11:

Bernd ist mit seinen Geschwistern und Eltern im Urlaub. Auf dem gleichmäßig dahin fließenden Fluss wird ein kleines Familienrennen organisiert. Bei den Probefahrten ergeben sich für die Besatzung Bernd und Anna - seine Schwester -, dass diese in einer halben Stunde 3 km schaffen, während die Mutter zusammen mit Christian es auf beachtliche 10 Kilometer in der Stunde bringen.
Da die Chanchen so unterschiedlich sind wird es dann doch eher ein Ausflug als ein echtes Rennen.
Anne und Bernd bekommen 6 Kilometer Vorsprung. Wieviel Kilometer holen Christian und seine Mutter in einer halben Stunde auf? (2 Punkte)
Wie lange dauert es bis das erste Boot eingeholt wird und wie viel Kilometer war die Wasserwanderung lang, wenn sie mit dem Einholen endet?(3 Punkte)
Zu erreichen sind insgesamt 5 Punkte.

Die Angabe der Kilometer bezogen auf die Stunde bzw. halbe Stunde führte nur einmal zur Verwirrung, sonst war das allen Teilnehmern klar.
Das Boot mit Vorsprung schafft in der halben Stunde 3 km, das Verfolgerboot 5 km, also holen diese in einer halben Stunde 2 Km auf. Daraus folgt, dass die 6 km Vorsprung nach 1,5 Stunden ausgeglichen werden. Die Bootstour ist also nach 15 km zu Ende. Das Verfolgerboot braucht also 1,5 Stunden, während das andere Boot 2,5 Stunden unterwegs war, wenn man davon ausgeht, dass sie ihren Vorsprung selber erpaddelt haben und nicht einfach nur 6 km weiter einsetzten.

Aufgabe 12:

Bernd und Ines wollen sich von ihrem gemeinsamen Taschengeld ein Fahrrad kaufen. Sie gehen in einen Second-Hand-Shop und fragen, was sie für 50 Euro kriegen können. Der Verkäufer bietet den beiden gleich ein Fahrrad zu diesem Preis an. Die beiden zahlen und verlassen den Laden. Dann bekommt der Verkäufer ein schlechtes Gewissen, da es eine ziemlich alte Mühle war, an der nicht mal das Licht geht. Also will er den beiden 5 Euro zurückerstatten. Er schickt seinen Angestellten los, den beiden zu folgen und ihnen die 5 Euro noch zu geben. Der Angestellte fühlt sich aber chronisch unterbezahlt und steckt davon erst mal 2 Euro in die eigene Tasche. Er erwischt die beiden noch und gibt jedem 1,50 Euro zurück mit den besten Grü�en vom Chef. Was ein ordentlicher Mathematiker ist, der macht erst mal die Probe, ob auch alles stimmt: Bernd und Ines haben ursprünglich jeder 25 Euro gezahlt. Nun bekamen sie 1,50 Euro zurück, d.h. sie bezahlten nur 23,50 Euro. wenn man nun die 23,50 von Bernd mit den 23.50 von Ines addiert, erhält man 47 Euro. Addiert man nun noch die zwei Euro des Angestellten, fehlt aber ein Euro bis zum Ausgangswert von 50 Euro.
Frage: Wer hat den Euro??
Zu erreichen sind 5 Punkte.

Was ein ordentlicher Mathematiker ist, der macht erst mal die Probe, ob auch alles stimmt. Nun dann machen wir das mal.
Ein kleiner Logikfehler ist es, der hier die Frage aufkommen lässt.
Von den 47 Euro, die Bernd und Ines letzt endlich bezahlen, hat der Verkäufer 45 (50 Euro vorher - 5 Euro zurück) in seiner Kasse und sein Angestellter hat die 2 Euro. Es fehlt also kein Euro, sondern die Überlegung mit der Addition der 2 Euro zu den 47 Euro war falsch.

Auswertung

Serie 3