Serie-28
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Aufgabe 3
327. Wertungsaufgabe
"Schau mal, ich habe hier ein zauberhaftes gleichschenkliges Trapez ABCD.", sagte Maria zu Bernd. "Was ist daran zauberhaft?" "Dieses Trapez wird von der Diagonalen AC genau in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegt." "Cool". Wie groß sind die Winkel in diesem Trapez (AB > CD, AC || CD)? - 4 blaue Punkte. Wie groß ist der Flächeninhalt des Trapezes, wenn die Diagonale 5,0 cm groß ist? - 4 rote Punkte.
Bild eines "passenden" Trapezes:
english version
„Look at my magical isosceles trapezoid ABCD.“, Maria says to Bernd. “Why magical?” “Well this trapezoid is divided into two isosceles triangles by its diagonal AC.” “Cool” What measure do the angles in this trapezoid have (AB > CD, AC || CD)? - 4 blue points. What is the area of this trapezoid if the diagonal is 5,0 cm? - 4 red points.
Lösung:
Da das Trapez ABCD gleichschenklig sein soll gilt α + β = γ. Wegen CD kürzer AB muss ζ ein stumpfer Winkel sein. Daraus folgt CD = DA (gleichschenkliges Dreieck). Dann muss entsprechend AC = AB sein. Wenn aber AC = AB, dann ist γ = δ. Ebenso gilt dann β = ε. Zugleich ist aber α ein gleichgroßer Wechselwinkel zu ε. Also sind α und β gleich groß und damit halb so groß wie γ bzw. 2α = γ. Im Dreieck ABC wird dann aus α + γ + δ = 180°
5α = 180° also α = 36° Nun ist der Rest einfach α + β = 72°, γ = 72°, δ + ε = 108° und ζ = 108°
Kennt man die Winkel und AC = e mit 5,0 cm lässt sich mittels Sinussatz die Seite c zu 3,09 cm ausrechnen. ( d = c = b s.o.)
A = 0,5 ab sin γ + 0,5 cd sin ζ = 19,9 cm²
Für jüngere Schüler: Es darf auch die Höhe und c des Trapezes "gemessen" werden und dann die Flächeninhaltsformel für das Trapez Anwendung finden, wenn die Konstruktion des Trapezes gelungen ist.