Serie-27

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Aufgabe 10

322. Wertungsaufgabe
Maria und Lisa haben ein Quadrat (4 cm) und ein Rechteck (5 x 6 cm). Während sie arbeiten, rutscht das Quadrat über das Rechteck. Mike kommt dazu und sagt: "Cool, es sieht so aus, als ob das Quadrat die halbe Fläche des Rechtecks verdeckt. Schiebt mal nicht weiter, ich will mal nachmessen. Ja, stimmt genau." Wie könnte das Quadrat auf dem Rechteck gelegen haben? (Eine Möglichkeit "zeigen" - 3 blaue Punkte)
Wie müsste man zwei gleichgroße Kreise übereinander schieben, so dass der untere zur Hälfte verdeckt wird -- 6 rote Punkte.

Lösung:
blau: Das Rechteckeck hat einen Flächeninhalt von 30 cm². Die Hälfte davon soll - also 15 cm² - sollen bedeckt sein. Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von 16 cm², also muss das Quadrat so auf das Rechteck gelegt werden, dass ein Quadratzentimer "übersteht". Dafür gibt es viele Möglichkeiten. Zum Beispiel wird das Quadrat so geschoben, dass ein rechteckiger Streifen von 4cm x 0,5 cm "übersteht".
rot: Zur Illustration verwende ich hier das Bild von Uwe Parsche, danke.
322Die überdeckte Fläche  des blauen Kreises, besteht aus zwei gleich großen Kreisabschnitten (Kreissegmenten). ZU sehen ist das Kreisgegment des rechten Kreises, das vom blauen Kreis liegt darunter.
Die Fläche der beiden Segmente
(Formel für ein Segment, wenn der Winkel Alpha im Bogenmaß verwendet wird: A_s = \frac{r^2}{2} (\alpha - sin \alpha)
soll genau so groß sein wie die halbe Fläche  eines Kreises.
Damit ergibt sich:
\frac {\pi r^2}{2} = r^2 (\alpha - sin \alpha)
Wird durch r² dividiert und anschließend die Klammer aufgelöst so ergibt sich:
\frac{\pi}{2} = \alpha - sin \alpha bzw.
sin \alpha = \alpha - \frac{\pi}{2}
Es handelt sich hier um eine transzendente Gleichung. Die zu lösen, nun ja. Hier kann man nun zum einen mit einer Tabellenkalkulation arbeiten oder auch graphisch, in dem der Schnittpunkt der beiden Funktionen y = sin \alpha und y = \alpha - \frac{\pi}{2} mit x = \alpha gesucht wird.
Der Winkel der so ermittelt, wird liegt bei 2,30988.... Nun wird noch die Höhe des (bzw. der Segmente) gebraucht. Wer es bis hierhin geschafft hat, schafft den Rest auch allein, so dass letztlich die beiden Mittelpunkte der sich überlagernden Kreise einen Abstand von 0,80794 r haben müssen.