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Aufgabe 5
281. Wertungsaufgabe
"Ich habe neulich wieder mal "Per Anhalter durch die Galaxis" gelesen", sagte Bernd. "Ja, das kenne ich auch," meinte Lisa. "Die berühmte Zahl daraus ist bekanntlich die 42 - die Antwort auf alles." "Nun, das hat sich mir nicht so erschlossen, aber die 42 ist trotzdem interessant, denn sie ist das Produkt aus genau drei verschiedenen Primzahlen. Gibt es eigentlich noch mehr solche Zahlen?. Ich denke schon." Für je zwei solcher Zahlen (kleiner als 100) gibt es einen blauen Punkt. (Achtung die Primzahlen dürfen nicht potenziert auftreten, denn sonst würde die 60 = 2²*3*5 auch die Bedingung erfüllen)
"Wie viele Teiler mögen solche "Primelzahlen" wohl haben", fragte sich Mike. "Du meinst, egal wie groß die auch sind?" "Genau!" 3 rote Punkte, 4 rote Punkte gibt es noch dazu, wer ein "Primelzahlzwillingspärchen" findet - also zwei direkt aufeinander folgende Zahlen, die die Bedingung "Primelzahl" zu sein, erfüllen.
Lösung
Der wissenschaftliche Name der "Primelzahlen" lautet sphenische Zahl infos bei wikipedia
blau die gesuchte Zahlen sind recht einfach zu finden:
Die kleinst mögliche ist: 2*3*5 = 30
2*3*7 = 42 - war schon gegeben.
2*3*11 = 66
2*3*13 = 78
2*3*17 > 100 also 2*3 abgearbeitet
2*5*7 = 70
2*5*11 > 100 also 2*5 abgearbeitet
2*7*11 > 100 also 2 abgearbeitet
3*5*7 > 100 also mit drei geht nichts mehr fertig. rot: Die sphenische Zahl ensteht durch a*b*c (Primzahlen alle verschieden: Diese Produkt lässt sich durch 1, a, b, c, a*b, a*c, b*c und a*b*c teilen. Es sind also genau 8 Teiler.
Die kleinsten Zwillinge sind 230 = 2*5*23 und 231 = 3*7*11
Drillinge gibt es auch: kleinstes Tripel: 1309 (7*11*17), 1310 (2*5*131) und 1311 (3*19*23)
Vierlinge gibt es nicht, denn dann würde eine der Zahlen den Primfaktor 2 in der Form 2*2 enthalten.