Serie-23

Aufgabe 9

„Zeig mal deine Zeichnung“, sagte Mike zu Lisa. „Da staunst du was?. Ich habe an jeder Seite des Quadrats ABCD (Kantenlänge a) jeweils ein gleichseitiges Dreieck hinein gezeichnet. Diese haben auch die Kantenlänge a. Zwei der Punkte eines jeden Dreiecks stimmen also mit den Punkten des Quadrats überein. Die anderen vier Eckpunkte bilden im Inneren des Quadrates wiederum ein Quadrat.“ - Wie lang ist die „kleine“ Quadratseite, wenn das Ausgangsquadrat eine Kantenlänge von 10 cm hat? (3 blaue Punkte für eine konstruktive Lösung + 6 blaue Punkte für eine Berechnung)
„Sag mal, deine Figur kann man doch auch mit nach außen zeigenden Dreiecken versehen, oder?“, fragte Bernd nachdenklich. „Aber klar doch. Das sieht auch nicht schlecht aus. Die außen liegenden Ecken der Dreiecke bilden ja dann auch wieder ein Quadrat“ meinte Lisa. In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte des „äußeren“ und des „inneren“ Quadrates? - 6 rote Punkte

Lösung

blau:
Die Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks ist ja nicht schwer. Misst man die Seiten des innen entstandenen Quadrates ab so erhält man etwas 5,2 cm.
Na und der Flächeninhalt ist dann auch kein Problem, oder?
Die Berechnung: DM ist gleich Höhe des gleichseitigen Dreiecks minus der halben Seite.
DM und BM bilden gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Mit der Anwendung des Satz des Pythagoras (oder der Formel für eine Diagonale im Quadrat) ergibt sich:
kleine Quadratseite a_k=(a/2√3-a/2)√2 mit a = 10 cm ergibt sich a_k = 5,176 ... cm
rot:
Die Berechnung der äußeren Quadratseite a_a ist nun nicht schwer.
CM ist gleich Höhe des gleichseitigen Dreiecks plus der halben Seite.
CM und AM bilden gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Mit der Anwendung des Satz des Pythagoras (oder der Formel für eine Diagonale im Quadrat) ergibt sich:
Quadratseite a_a=(a/2√3+a/2)√2 mit a = 10 cm ergibt sich a_k = 19,318 ... cm
Das Verhätnis der Quadratseiten ist dann 3,73 .. und das der Flächeninhalte 3,73² = 13,93.
Nur mit Formel:
((a/2√3+a/2)√2)/((a/2√3-a/2)√2)
⇒ ((√3+1)√2)/((√3-1)√2) ⇒ (√3+1)/(√3-1)
erweitert mit (√3+1) ⇒
Das Verhältnis der Seiten ist 2 + √3 ⇒
Das Verhältnis der Flächeninhalte 7 + 4√3