Serie-23

Aufgabe 2

"Heute haben wir die Grundkonstruktionen wiederholt und sind dabei auf die Aufgabe gestoßen, wie groß wohl der größte Kreis ist, der in ein gleichseitiges Dreieck von 1 m Kantenlänge  hineinpasst.", berichtete Lisa. (3 blaue Punkte für eine passende konstruktive Lösung, 3 noch dazu, wenn die Formel zur Berechnung hergeleitet wird.)
"Nun das ist ja nicht so schwierig", meinte Mike. "Wie wäre es denn damit? Wie groß ist der größte Halbkreis, der in das 1 m große gleichseitige Dreieck hineinpasst?" - 5 rote Punkte

Lösung

Hier noch ein passendes Bild von Jana & S. aus Lugau, danke.
blau: Der größte Kreis, der in ein Dreieck, hinein passt ist der Inkreis. Ein konstruktive Lösung geht natürlich mittels einer maßstabsgerechten Zeichnung.
Rechnerisch: Mit den Mitteln der Klasse 9: tan α = r/(a/2) mit α = 30° a/2 = 0,5 m
Damit ergibt sich r =0,2886751 m, der Flächeninhalt mit A = πr² = 0,2617994 m² = 0,26 m²
rot: Der Halbkreis liegt auf einer der Seite, die beiden anderen Seiten sind Tangenten.
Wieder mit den Mitteln der Klasse 9 ergibt sich: sin α = r/(a/2) mit α = 60° a/2 = 0,5 m (Achtung es sind nicht die selben Winkel gemeint.)
Damit ergibt sich r = 0,4330127 m, der Flächeninhalt mit A = πr²/2 = 0,2945243 m² = 0,29 m².
So mit ist erstaunlicherweise der Halbkreis größer als der Kreis - Radius so wie so, aber auch vom Flächeninhalt her.