Serie-20

Aufgabe 6

Bernd saß etwas verloren zu Hause in seinem Zimmer, Lisa und Mike waren im Kino und Maria war vom Zahnarzt noch nicht zurück. Er nahm sich ein Buch und fand darin einen Zettel mit einer Konstruktionsbeschreibung, die ihn in seinen Bann zog.
Zeichne ein Quadrat ABCD. Verlängere die Seite  a über B hinaus, die Seite b über C hinaus, c über D und d über A. Nimm einen Zirkel. Zeichne einen Viertelkreis mit dem Radius b um den Punkt B, der C und die erste Verlängerung verbindet. Nun wird um A ein Viertelkreis gezogen, der den gerade entstandenen Schnittpunkt mit der zweiten Verlängerung verbindet. Ein neuer Schnittpunkt ist entstanden, der durch einen weiteren Viertelkreis (Mittelpunkt D, Radius so, dass es einen Anschluss an die Kurve gibt) ergänzt wird. Die passende Fortsetzung der Kurve erfolgt vom Punkt C aus. Zum Schluss wird die Kurve  von Punkt B aus verlängert. Damit ist der erste Viertelkreis von dem letzten Viertelkreis eingeschlossen. Wie heißt die so konstruierte krumme Form und wie groß ist der Flächeninhalt der Gesamtkonstruktion, wenn das Quadrat 1 cm groß ist? (1 + 5 blaue Punkte).  Das werde ich nachher den anderen zeigen, dachte sich Bernd und überlegte sich eine Formel für den Flächeninhalt und den Umfang einer solchen Figur, wenn die Ausgangsfigur ein regelmäßiges n-Eck der Länge a ist. (8 rote Punkte) Hinweis: bei einem n-eck sind es natürlich Kreis -n-tel die verwendet werden und die Figur ist fertig, wenn das erste Kreisstück überdeckt wird.

Lösung

Da Felix Karu wieder mal recht schnell war, verweise ich auf seine Lösungsvariante, danke
--> die Lösung <--