Serie-15

Aufgabe 10

178. Wertungsaufgabe
Bernd und Mike sind beim Opa und erzählen ihm gerade von der letzten Aufgabe. Das klingt gut meinte der, da wird euch das ja auch gefallen:
In einem gleichseitigen Dreieck mit einer Kantenlänge von 20 cm soll ein Rechteck eingepasst werden, welches einen Flächeninhalt von 40 cm² hat. Wie bei eurer Aufgabe auch, steht das Rechteck auf einer Seite des Dreiecks und die anderen zwei Punkte des Rechtecks stoßen an die anderen Seiten des Dreiecks. Klingt gut, probieren wir es doch gleich mal aus.
Ach ja, für die Gruppe von Maria könnt ihr das hier mitnehmen. Was ist denn das? Na packt es doch mal aus. Ein durchsichtiger Plastewürfel kommt zum Vorschein. Darin sind genau 27 kleine Würfel drin. Opa meinte, er habe die Würfel gerade so einsortiert, dass die Augenzahl, die man von außen sieht, ganz groß ist. Da wird sich Maria aber freuen, vielen Dank. Betreut Maria die Gruppe eigentlich allein? Nein, sagt Bernd, die Lisa macht da auch mit. Ach, das wusste ich noch gar nicht, stotterte Mike, der plötzlich rote Ohren hat.
Für die erste Aufgabe gibt es 7 Punkte (Größe des Rechtecks), für die zweite (maximale Augenzahl) sind bis zu 3 blaue Punkte möglich.

Lösung

Zur Aufgabe mit den Würfeln. Am Einfachsten man stellt sich das wie ein 3x3 Rubik-Würfel vor, der aus nach außenhin die geforderte Struktur hat.
Es sind zu unterscheiden: 8 Würfel an den Ecken, dort sieht man jeweils eine 4, 5 und 6. Also Augenzahl 8*15 = 120
12 Würfel an den Kanten, dort sieht man jeweils eine 5 und 6. Also Augenzahl 12*11 = 132
8 Würfel in den Seitenmitten, dort sieht man jeweils eine 6. Also Augenzahl 8*6 = 48
Der 27. Würfel im Inneren des großen Würfels zeigt nicht nach außen. Also isi die maximale Augenzahl 120 + 132 + 48 = 300.
Die minimale Augenzahl wäre dann 8*6 + 12 * 3 + 8 * 1 = 92

In dieser Figur ist erkennbar, dass die Dreiecke ABC und DEC einander ähnlich sind.

Es gilt also:

Die obigen Angaben sind alle in cm.

Etwas „unerwartet“, dass es zwei echt verschiedene Rechtecke gibt. Also nicht nur „quer oder hochkant“, sondern auch längenmäßige Unterschiede sind zu bemerken.

Lobenswert die zeichnerische Versuche zur Lösung dieser Aufgabe von Schülern meiner 6. (!!!) Klasse.