Serie-10

Serie 10 Aufgabe 8

Der Trick mit den drei Assen ist ja echt gut gewesen, aber wie mit allen Kunststücken, darf man sie nicht so schnell hintereinander aufführen, sonst kommen die Leute drauf.
Du wolltest mir doch noch einen Trick nennen, meinte Mike. Klar doch, geht schon los. Du nimmst aus einem Kartenspiel eine 10, eine 8 und eine 9 heraus und steckst sie in der Reihenfolge übereinander in die Tasche. Nun zeigst du die Restkarten deinem Gegenüber, lässt ihn mischen und sagst ihm, dass du das Ergebnis seiner Berechnung mittels Kartenzauber ermitteln könntest. Du nimmst ein Blatt und einen Bleistift aus der Tasche und steckst bei der Gelegenheit die Karten ein, so dass die drei Karten oben auf den Stapel kommen. Du sagst zu deinem Gegenüber, er solle sich eine beliebige dreistellige Zahl ausdenken, aber nicht zu einfach, am besten so, dass sich die letzte und erste Stelle sich um mindestens 2 unterscheiden. Nun soll er die Zahl spiegeln, rumdrehen, du weißt schon und die kleinere der beiden von der größeren abziehen, subtrahieren. Er kann ja den Zettel nehmen und das heimlich machen. Nun soll er dieses Ergebnis spiegeln und zu seinem Ergebnis addieren. Diese Rechnung soll er bitte kontrollieren und sich das letzte Ergebnis merken. Nun holst du die Karten aus der Tasche und klopft geheimnisvoll auf den Stapel sagst dein Simsalbim oder so, deckst die oberste Karte, es ist die 9 und verkündest, die letzte Ziffer des Ergebnisses wäre die 9. Er ist verblüfft, denn das stimmt. Dann kommt die nächste Karte, es ist die 8, das ist die vorletzte Stelle. Siegesgewiss nimmst du die dritte Karte - die 10 und erschrickst erst mal, dann fällt es dir wie Schuppen aus den ... und du hast sein Ergebnis komplett es lautet nämlich 1089 .
Wie jetzt, das ist alles? Ja, denn du kannst ja probieren was du willst, egal was dein Opfer, wollte sagen, dein Medium, als Zahl nimmt, das Ergebnis ist immer 1089.
Wer einen Beweis dafür findet, wird mit 6 Punkten belohnt.
Anregung für die Aufgaben 7 und 8 stammen aus "Verblüffende Kartentricks" vom Falkenverlag

Die Aufgabenstellung erfordert zwei Rechnungen: abc-cba=xyz und dann soll xyz + zyx = 1089 sein. (Hier wird einfach a > c angenommen, wählt der Spieler es anders, ändert das am Prinzip nichts)
In Dezimalschreibweise heißt die erste Gleichung dann: (100a + 10b +c) - (100c + 10b + a)       Beispiel: 853 = 100*8 + 10*5 + 3
100a + 10b +c - 100c - 10b - a
99a - 99c = (100 - 1)*(a - c)     wegen a > c ist das ein positives Ergebnis
= 100*(a - c - 1) + 90 + (10-(a-c))     sieht etwas komisch aus, aber stimmt
damit ist xyz auch klar: x = (a - c - 1), y = 9 und z = (10-a-c)
xyz + zyx wird nun zu:
100*(a - c - 1) + 90 + (10-(a-c)) + (100*(10-(a-c)) + 90 + (a - c - 1))
100*(a - c - 1) + 90 + (10- a + c) + 100*(10-a+c) + 90 + (a - c - 1)
100a - 100c - 100 + 90 + 10 - a + c + 1000 - 100a + 100c + 90 + a - c - 1
davon bleiben am Ende
- 100 + 90 + 10 + 1000 + 90 - 1 = 1089
(Beweis nach Lietzmann Sonderlinge im Bereich der Zahlen)
Macht man das Verfahren mit vierstelligen Zahlen ergibt sich immer 10 989

Sommerspezial ohne Wertung

Das erste Bild zeigt die Entstehung eines Sechsecks 3. Ordnung:
1. Ordnung also ein regelmäßiges Sechseck
2. Ordnung also 1. Ordnung mit einem Ring von 6 regelmäßigen Sechsecken also insgesamt 7
3. Ordnung also 2. Ordnung mit einem Ring von 12 regelmäßigen Sechsecken also insgesamt 19

Fragen: Aus wie vielen Sechsecken bestehen die 4., 5., 10. und n-te Ordnung?

Lösung

Zeilenweise Betrachtung: (n für die Ordnung)
1. Ordnung: 1 Zeile mit einem Sechseck Anzahl: n
2. Ordnung: 3 Zeilen, unten und oben Anzahl n und in der Mitte n+1 Anzahl n+n+(n +1) = 3n +1
3. Ordnung: Es kommen wieder 2 Zeilen dazu. Es gibt also 2n - 1 Zeilen. (Gilt bei 1. und 2.) Anzahl in den Zeilen symmetrisch nach "innen" 2n + 2(n+1) + (n+2) = 5n + 4
4. Ordnung: 2n + 2(n+1) + 2(n+2) + (n+3)= 7n + 9 = 37 = 7n + 2*1 + 2*2 + 1*(n-1)= 8n + 2*(1 + 2) - 1= 2*4*n + 2*(1 + 2) - 1
5. Ordnung: 2n + 2(n+1) + 2(n+2) + 2(n+3) + (n+4) = 9n + 16 = 61 = 9n + 2*1 + 2*2 + 2*3 + 1*(n-1)
= 9n + 2*(1+2+3) + (n-1)
= 10n + 2*(1+2+3) - 1
= 2*5*n + 2*(1+2+3) - 1
= 2*n*n + 2*(1+2+3) - 1
Also erster Teil das Doppelte von n², zweiter Teil das Doppelte der Summe von 1 bis n-2 und dann 1 abziehen.
Der zweite Teil ist dann 2*(n-2)*(n-1)/2 (Abwandlung der Summenformel für die Zahlen von 1 ... n )
2*n² + n² - 3*n + 2 - 1
Endformel: 3*n² - 3*n + 1
Nun noch also die 10. Ordnung: 271 Sechsecke.

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Magisches Sechseck:

In das Sechseck 3. Ordnung sind die Zahlen 1, 2, 3, ..., 18, 19 so einzutragen, dass jede Zahl genau einmal verwendet wird. Die Summe in jeder Reihe benachbarter Felder muss gleich sein (Wie bei einem magischen Quadrat ja auch). Felder sind benachbart, wenn sie eine Kante gemeinsam haben.
In dem Bild gibt es also 5 senkrechte Reihen und 5 schräg verlaufende Reihen.
Wer alle Möglichkeiten für die Verteilung der Zahlen durchprobieren möchte, der sei gewarnt, denn es läst sich schnell zeigen,
dass es 19! = 121 645 100 408 832 000 Varianten gibt. Um so erstaunlicher, dass es abgesehen von Drehungen und Spiegelungen eigentlich nur eine Lösung gibt.
Wer nicht bis zum Ende der Sommerpause warten will, der muss halt in die Bibliothek gehen und sich das Buch: Das Beste aus dem mathematischen Kabinett von Thiagar Devendran ausleihen.

Die Lösung aus dem Jahre 1896: