Bit und Byte

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Zum Umgang mit Bit und Byte

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Zahlen die uns im Alltag (Uhr, Geld, …) begegnen, sind Dezimalzahlen. Da steckt Deka drin, griechisch 10.

Beispiel: 237 Das sind 2 Hunderter, 3 Zehner und 7 Einer, also

2*100 + 3*10 + 7*1, das lässt sich als 2*10² + 3*10¹ + 7*10⁰ schreiben. Die „Basis“ jeder Stelle ist also die Zehn -deka.

(anderes Beispiel: 30562,805 = 3*10⁴+0*10³ + 5*10² + 6*10¹ + 2*10⁰+8*10^-1 + 0*10^-2 + 5*10^-3)

Es gibt 10 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, die als Faktor vor der Potenz der Basis stehen. Es lässt sich also feststellen, die Anzahl der möglichen Ziffern entspricht der „Basis“. Als Basis bieten sich demzufolge natürliche Zahlen ab Größe 2 an. Die Mayas hatten eine System mit der Basis 20, in Mesopotamien war die Basis sogar 60 – noch heute bei Winkeln und der Uhrzeit im Gebrauch.

Das Grundsystem bei den Computern ist das System mit der Basis 2, auch Dualsystem oder binäres System genannt. Eine Begründung ist sicherlich, dass ein elektrisches Gerät eben an oder aus ist, ein Schalter offen oder eben geschlossen ist. Ebenso ist, wenn man etwas prüft, eine Aussage eben falsch oder wahr. Es gibt also zwei Möglichkeiten → abgebildet auf 0 oder 1 (das aber sind die möglichen Ziffern zur Basis 2.)

Kurz ein Bit (engl. Binary Digit) steht führt die kleines Schaltungs- und Logikeinheit.

1 Bit → zwei Möglichkeiten 0 oder 1. (0*2⁰ oder 1*2⁰)

Nehme ich nun ein zweites Bit hinzu, so ergibt sich: 00, 01 und 10, 11. Das sind schon mal 4 Möglichkeiten. (0*2¹ + 0*2⁰, 0*2¹ + 1*2⁰, 1*2¹ + 0*2⁰, 1*2¹ + 0*2⁰ oder, wenn man ausrechnet, sind das die Zahlen 0,1,2 und 3.)

Nun mal noch ein drittes Bit dazu:

000, 001, 010, 011 und 100, 101, 110, 111. Das sind dann schon 8 Möglichkeiten . (0*2¹+ 0*2¹ + 0*2⁰, …, 1*2¹+ 1*2¹ + 1*2⁰ oder wenn, man ausrechnet, sind das die Zahlen 0,1,2, … bis 7.)

4 Bit → 16 Möglichkeiten (0000, …, 1111, in der Logik von weiter oben 0*2² + 0*2¹+ 0*2¹ + 0*2⁰, …, 1*2² +1*2¹+ 1*2¹ + 1*2⁰ oder wenn, man ausrechnet, sind das die Zahlen 0,1,2, … bis 15.)

und und und

8 Bit → 256 Möglichkeiten (0000 0000, 0000 0001, 0000 00010, 0000 00011, …, 1111 1111 →

0*2⁷ + 0*2⁶+ 0*2⁵ + 0*2⁴+ 0*2³ + 0*2²+ 0*2¹ + 0*2⁰, 0*2⁷ + 0*2⁶+ 0*2⁵ + 0*2⁴+ 0*2³ + 0*2²+ 0*2¹ + 1*2⁰, 0*2⁷ + 0*2⁶+ 0*2⁵ + 0*2⁴+ 0*2³ + 0*2²+ 1*2¹ + 0*2⁰, 0*2⁷ + 0*2⁶+ 0*2⁵ + 0*2⁴+ 0*2³ + 0*2²+ 1*2¹ + 1*2⁰, … , 1*2⁷ + 1*2⁶+ 1*2⁵ + 1*2⁴+ 1*2³ + 1*2²+ 1*2¹ + 1*2⁰, oder wenn, man ausrechnet, sind das die Zahlen 0,1,2,3, … bis 255.)

Eine Kombination von 8 Bit nennt man Byte.

Einfacher für das eigenständige Berechnen ist sicher, wenn man sich die Potenzen der Zwei im Dezimalsystem vorstellt.

→

2⁷ =128; 2⁶=64, 2⁵ =32, 2⁴=16, 2³ =8 2²=4, 2¹ =1, 2⁰= 1

Diese Zahlen darf nun gar nicht (0) oder einmal (1) nehmen.

Wie sieht nun eine 89 in Bytedarstellung aus?

89 = 0*128+ 1*64 + 0*32 + 1*16 + 1*8 + 0*4 +0*2 +1*1 → 0101 1001 auch geschrieben als

89₁₀ = 0101 1001₂ .

Was verbirgt sich hinter 1010 1011?

1010 1011→ 1*128+ 0*64 + 1*32 + 0*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 171 auch geschrieben als

1010 1011₂ = 171₁₀.

Alles Zahlen von 0 bis 255 lassen sich also in Byteform angeben. Ist eine Zahl größer reicht eben ein Byte nicht aus und auch bei Zahlen mit Komma muss man sich noch was einfallen lassen. Aber das ist hier nicht das Thema.

Nun noch zur Addition und Subtraktion:

Wie ab Klasse 2 gewohnt werden Zahlen addiert, in dem man die untereinanderschreibt und , von hinten beginnend, die einzelnen Ziffern addiert. Dabei kann es zu einem Übertrag (umgangssprachlich „merke 1“) kommen: 3 + 4 = 7, aber 3 +8 = 1 merke 1.

Und bei den Bits?

0+0 = 0, 0+1=1+0=1, 1+1 = 0 merke 1 ↔ 1+1 =10

Beispiel:

89 + 19 ↔ 0101 1001 + 0001 0011

„Kontrolle“ 0110 1100 ↔ 108 (selber nachrechnen)

Bei der Subtraktion wird meist die Komplementmethode verwendet.

Das Komplement einer Ziffer ist die Ziffer, die bis zur größtmöglichen Ziffer „fehlt“.

Im Dezimalsystem hieße das zum Beispiel Zahl ist 37901 das Komplement wäre 62098.

Beim Binärsystem ist das ganz einfach 0 Komplement ist 1 und für 1 ist das Komplement 0.

Beispiel:

Beim Ergebnis der Addition ist darauf zu achten, dass die 1 der ersten Stelle „gestrichen“ wird und als „normale“ 1 noch addiert wird. Das gilt auch im Binärsystem. Einfach probieren.

Dabei bitte darauf achten, dass die Subtraktion nicht auf negative Zahlen führt, denn das wird hier nicht beschrieben, ist ein anderes Thema.