Serie-6
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Aufgabe 6
Mikes kleine Nichte Maria hat einen Stempelkasten geschenkt bekommen und spielt Matheunterricht. Sie stempelt mit großer Geduld die Zahlen von 0 bis 300 der Reihe in ein Heft. Immer wieder setzt sie Zahlen zusammen. Obwohl er es etwas öde findet, bewundert er doch die Ausdauer der Kleinen. Am nächsten Tag erzählt er Bernd davon, der meinte ebenfalls, so viel Ausdauer nicht zu besitzen, immer wieder die Ziffernstempel zusammen zu basteln. Ihm fällt aber auf, dass die Anzahl der verwendeten Ziffern nicht gleich ist. So fragt er sich beispielsweise bei welcher Zahl wohl Maria die Ziffer 1 das 111.-mal verwendet hat.
Tja, bei welcher Zahl war das wohl? Welche Ziffer wird insgesamt am wenigsten gebraucht?
Zu erreichen sind 4 Punkte.
Lösung
Obwohl es nicht so schwer war, gab es doch eine Reihe Faselfehler, die noch mehr richtige Ergebnisse verhinderten.
Für die ersten 100 Zahlen also von 0 bis 99 kommt die 1 in jedem Zehner einmal als Einer vor und noch 10-mal als Zehnerstelle. Das sind also 20 Einsen. Alle Ziffern von 2 bis 9 kommen nach dieser Zählweise 20-mal vor, nur die Null ist die Verliererin.
Von 100 bis 199 gilt nun fast das gleiche Verhalten, nur das jetzt alle Ziffern 10-mal die Einerstelle und 10- mal die Zehnerstelle einnehmen. Nun kommt die 1 aber auch noch 100-mal an der Hunderterstelle vor und damit ist die Zahl der Einsen bei 199 schon bei 140 angelangt.
Also zurück:
189, das sind 11 Einsen weniger --> 129
179, das sind wieder 11 Einsen weniger --> 118
Sieben Einsen zu viel also wird 1 bei 172 das 111. Mal verwendet.
Die Null kann ihren Verlust aus dem ersten Hundert nicht wettmachen und bleibt die Letzte.