Serie 45

Serie 45

Aufgabe 1

529. Wertungsaufgabe

Logikrätsel

Bei einer Wanderung trafen Maria und Bernd auf eine Gruppe von 5 Mädchen. Sie kamen mit den Mädchen ins Gespräch und erfuhren so nach und nach eine Reihe von Informationen.
Charlotte stellte die anderen Mädchen vor: Frieda, Rosa, Maria – aus El Salvador – und Sonja. Jeder von uns lernt eine Fremdsprache (Französisch, Spanisch, Deutsch, Italienisch bzw. Englisch.)

- Somit kann jede die „Aufgabe der Woche“ in zwei Sprachen lesen und verstehen.) Die Mädchen sind 9, 10, 11, 12 bzw. 13 Jahre alt. Die Familiennamen lauten Becker, Canali, Gutero, Moreno und Seifert.

1. Frieda ist älter (aber nicht genau 2 Jahre älter) als das Mädchen, welches englisch lernt.
2. Rosa lernt spanisch.
3. Sonja Seifert ist die Jüngste und das Mädchen Canali ist mindestens zwei Jahre älter als Sonja.
4. Das zehnjährige Mädchen lernt italienisch.
5. Deutsch wird von Gutero gelernt.
6. Die 12jährige Maria lernt nicht französisch.
7. Die Älteste steht im Alphabet mit Vor- und Zunamen als Erste.

6 blaue Punkte

Die fünf Mädchen aber lernten nicht nur jede eine Fremdsprache, sondern waren auch sehr sportlich und ernährten sich gesund. Die Sommersportarten waren. Skaten, Jogging, Gehen, Radfahren und Schwimmen. Im Winter standen Karate, Ballett, Handball, Kunsturnen und Taekwondo auf dem Plan. In den Trainingspausen hatte jede eine Lieblingsspeise: Bananen, Apfel, Erdbeeren, Rosinen oder eben Apfelsinen.

1. Das Mädchen, welches im Sommer mit Gehen beschäftigt ist, kommt alphabetisch an zweiter Stelle. Das Mädchen, welches Apfelsinen mag, steht alphabetisch nicht an letzter Stelle. Die Geherin macht kein Ballett, genau wie die nicht joggende Sonja.
2. Der Schwimmerin schmecken die Erdbeeren am besten, das ist nicht Rosa, welche Karate betreibt.
3. Die Skaterin macht auch Handball.
4. Frieda isst am liebsten Rosinen und Maria ist am liebsten im Wasser.
5. Das Mädchen, welches Taekwondo macht, isst gerne Bananen und braucht auch im Sommer kein technisches Hilfsmittel.
6. Maria mag keine Äpfel, während Charlotte keine Apfelsinen isst.
6 rote Punkte

--> Rätselvorlage (pdf) <--

Termin der Abgabe 04.05.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 04.05.2017 Deadline for solution is the 4th. May 2017. Date limite pour la solution 04.05.2017. Resoluciones hasta el 04.05.2017

fr

Exercice de logique

Sur une randonnée Maria et Bernd ont rencontré un groupe de 5 filles. Ils ont discuté avec les filles et ont ainsi progressivement apprit des choses.
Charlotte a présenté les autres filles: Frieda, Rosa, Maria - d'El Salvador - et Sonja. Chacune entre nous apprend une langue étrangère (français, espagnol, allemand, italien ou anglais.)
- Ainsi, chacune peut lire et comprendre "l'exercice de la semaine" dans les deux langues. Les filles ont 9, 10, 11, 12 et 13 ans. Les noms de famille sont Becker, Canali, Gutero, Moreno et Seifert.

1. Frieda est plus âgée (mais pas exactement 2 ans de plus) que la jeune fille qui apprend l'anglais.
2. Rosa apprend l'espagnol.
3. Sonja Seifert est la plus jeune et la fille Canali est d'au moins deux ans plus âgée que Sonja.
4. La jeune fille âgée de dix ans apprend l'italien.
5.  Gutero apprend l'allemand.
6. Maria, âgée de 12 ans, n'apprend pas le français.
7. L'ainée a la première place dans l'alphabet à cause de son nom et prénom

6 points bleus

Non seulement les 5 filles apprenaient une langue étrangère, mais ils étaient aussi très sportives et mangeaient sainement. Les sports d'été étaient le patinage, le jogging, la marche, le vélo et la natation. En hiver, le karaté, le ballet, le handball, la gymnastique artistique et le taekwondo. Dans les pauses, chacune avaient un aliment
préféré: les bananes, les pommes, les fraises, les raisins secs ou les oranges.

1. La fille qui est occupée en été avec la marche, vient à la seconde place par ordre alphabétique. La fille qui aime les oranges, n'est pas à la dernière place dans l'ordre alphabétique. La fille qui aime la marche, ne fait pas de ballet, tout comme Sonja qui fait du jogging.
2. La nageuse préfère les fraises, ce n'est pas Rosa, qui fait du karaté.
3. La patineuse joue aussi au handball.
4. Frieda préfère manger des raisins et Maria passe son temps dans l'eau.
5. La fille qui fait du Taekwondo, aime manger des bananes et n'a pas besoin d'une aide technique durant l'été.
6. Maria n'aime pas les pommes, alors que Charlotte ne mange pas les oranges.

6 points rouges

sp

En una caminata Maria y Bernd encontraron un grupo de 5 chicas. Empezaron a hablar y las conocieron poco a poco más. Charlotte presentó las otras chicas del grupo: Frieda, Rosa, Maria –de El Salvador – y Sonja. Cada una está aprendiendo un idioma (francés, español, alemán, italiano y inglés).
Asi cada una puede leer y entender la tarea de la semana en dos idiomas. Las chicas tienen 9,10,11,12 y 13 años. Sus apellidos son Becker, Canali, Gutero, Moreno y Seifert.
1. Frieda es mayor (pero no exactamente 2 años) que la chica la cuál esta aprendiendo inglés.
2. Rosa está aprendiendo español.
3. Sonja Seifert es la menor de todas y la chica Canali es por lo menos dos años mayor que Sonja.
4. La chica la cuál tiene 10 años está aprendiendo italiano.
5. Gutero aprende alemán.
6. Maria de 12 años no aprende francés.
7. La mayor es la primera en orden alfabético de las chicas con su nombre y apellido.
6 puntos azules

Aparte de aprender idiomas las chicas eran muy deportistas y comian saludable. En verano fueron a patinar, correr, caminar, andar en bicicleta y nadar. En invierno cambiaron para kárate, balét, balónmano, gimnasia artística y el  taekwondo. En las pausas en los entrenimientos cada una tenia un snack favorito: guineos, manzanas, fresas, pasas o naranjas.
1. La chica la cuál camina en verano es la segunda en el orden alfabético. La chica a la cuál le gustan las naranjas no tiene el último lugar en el orden alfabético. La chica la cuál camina no hace balét ni Sonja la cuál no corre.
2. A la nadadora le gustan las fresas y no es Rosa la cuál hace kárate.
3. La patinadora juega balónmano.
4. Frieda prefiere comer pasas y el lugar favorito de Maria está en el agua.
5. La chica la cuál hace taekwondo come guineos y no necesita ningún instrumento o aparato para su deporte en verano.
6. A Maria no le gustan las manzanas y a Charlotte no le gustan las naranjas.

en

Logical puzzle

On a hike Maria and Bernd met a group of 5 girls. They got into a conversation with the girls and bit by bit learned a lot of facts about them.
Charlotte introduced the other girls: Frieda, Rosa, Maria – from El Salvador – and Sonja. Each of them studies a foreign language (French, Spanish, German, Italian and English), (which means, by the way, that each of them can read and understand our “weekly maths problem” in two languages.) The girls are 9, 10, 11, 12 and 13 years old. Their surnames are Becker, Canali, Gutero, Moreno and Seifert.
1. Frieda is older (but not exactly by two years) than the girl learning English.
2. Rosa studies Spanish.
3. Sonja Seifert is the youngest and the girl named Canali is at least two years older than Sonja.
4. The ten-year-old girl studies Italian.
5. German is learnt by a girl named Gutero.
6. 12-year-old Maria doesn’t learn French.
7. The oldest of the five finds her first and surname in the alphabet bevore the others.
6 blue points
However, the five girls do not only learn a foreign language, they are also quite sporty and eat healthy. Their summer sports were inline skating, jogging, walking, cycling and swimming. In winter they do karate, ballet, gymnasics or taekwondo and play handball. When not working out they each have their favourite food: bananas, apples, strawberries, raisins or oranges.
1. The girl who does walking in summer comes second, alphabetically. She isn’t into ballet and neither is Sonja, who likes jogging. They girl who likes oranges is not last in the alphabet.
2. The swimmer likes strawberries. Her name is not Rosa, the girl who does karate.
3. The skater also does plays handball.
4. Frieda likes raisnins most and Maria loves to be in the water.
5. The girl doing taekwondo likes bananas and doesn’t need any technical aid, even for her summer sport.
6. Maria doesn’t like apples, while Charlotte can’t stand oranges.
6 red points

it

Lösung/solution/soluzione/résultat: 

Aufgabe 2

530. Wertungsaufgabe

„Hast du schon meine besonderen Potenzen gesehen?“, fragte Bernd. „Nein, zeig mal her“, erwiderte Mike. „Ich untersuche die Potenzen x^x*(100000 -x^x).“ „Oh, die werden ja schnell sehr groß werden.“ „Stimmt“. „Mit einer Tabellenkalkulation habe ich den Ausdruck untersucht, wobei ich für x natürliche Zahlen größer Null verwendet habe. Dabei bin ich recht schnell auf einen größten Wert für x gestoßen, danach wurden die Ergebnisse wieder kleiner.“
Welchen Wert x hat Bernd gefunden? 2 blaue Punkte. Für 4 rote Punkte ist ein x-Wert zu bestimmen, so dass der Ausdruck x^x*(100000 -x^x) Null wird. Dieser x-Wert ist dann keine natürliche Zahl mehr.

Termin der Abgabe 11.05.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 11.05.2017 Deadline for solution is the 11th. May 2017. Date limite pour la solution 11.05.2017. Resoluciones hasta el 11.05.2017

fr

« T’as déjà vu mes puissances spéciales? » demanda Bernd. « Non, montre-moi », a répondu Mike. "J'étudie les puissances de x ^ x * (100000 -x ^ x)." "Ah, ce sera très grand très vite." "Correcte". « Avec un calcul tabulaire, j'ai examiné l'expression pour laquelle j'ai utilisé des nombres naturels x supérieur à zéro. Et je suis rapidement arrivé à une grande valeur pour x, les résultats étaient plus petits ensuite ".
Quelle est la valeur x que Bernd a trouvée? 2 points bleus.
4 points rouges si on trouve la valeur de x pour que l'expression x ^ x * (-x ^ x 100 000) devient nulle. Cette valeur x n’est donc plus un nombre naturel.

sp

"Ya viste la potencia especial la cuál he inventado?", le preguntó Bernd. "No pero muestramela!", le respondió Mike.
"Estoy analizando la potencia x^x(100000-x^x)." "Puchica esa crece bastante rápido." "Es cierto. Con cálculos de tablas estaba analizando la fórmula para x de números naturales arriba de cero. Yo encontré un valor máximo para una x pero después los valores bajaron."
Cuál valor ha encontrado Bernd? 2 puntos azules. Para recibir 4 puntos rojos tiene que calcular un valor para x para que la potencia x^x(100000-x^x) sea 0. En éste caso el valor de la x ya no es un número natural.

en

“Have you seen my special powers?”, Bernd asked.
“I haven’t. Let’s see”, Mike replied.
“I’m investigating exponentiations like these: x^x*(100000 -x^x).”
“These numbers will quickly become rather big, I guess.”
“That’s right. I used a spread sheet to analyze this expression using integers bigger than zero for x. I quickly found an x that maximized the result, after that the results decreased again.”
Which x did Bernd find? - 2 blue points
For 4 red points find an x that results in x^x*(100000 -x^x) = 0. This x isn’t integer any more.

it

“Hai già visto le mie potenze speciali?”, chiese Bernd. “Ancora no, fammi vedere”, rispose Mike. “Analizzo le potenze x^x*(100000-x^x).” “O, cresceranno rapidamente.” “Esatto”. “Con un foglio elettronico ho analizzato lo stampo utilizzando per x numeri naturali più grandi dello zero. Facendo così sono giunto rapidamente al valore più grande per x, dopodiché i valori sono di nuovo scesi.”
Che valore x ha trovato Bernd? 2 punti blu. Per 4 punti rossi è da definire un valore x che faccia risultare il termine x^x*(100000 -x^x) uguale zero. Questo valore x non è più un numero naturale.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Musterlösung von Paulchen, als pdf, danke.

Aufgabe 3

531. Wertungsaufgabe
Maria verteilt an Bernd, Lisa und Mike drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Sie verlässt kurz das Zimmer und die drei tauschen die Kugeln aus, wobei jeder eine oder zwei Kugeln in der Hand behält. Als sie wieder ins Zimmer kommt, erfährt sie:
Bernd: „Ich habe nur Kugeln der gleichen Farbe in der Hand.“
Lisa: „Ich habe Kugeln mit unterschiedlicher Farbe.
Mike: „Ich habe genau zwei Kugeln.“
„Also, wenn keiner von euch die Wahrheit gesagt hat, dann weiß ich, wie die Kugeln verteilt sind.“ „Okay, unsere Angaben waren alle falsch.“ Wer hat welche Kugeln (Anzahl + Farbe) in der Hand – vier blaue Punkte.
„Hier nun meine Aufgabe. Ich habe viele Primzahlen p untersucht. Egal was ich auch probiert habe, wenn p größer als 3 war, ergab sich dass p²-1 ohne Rest durch 24 teilbar war.“, sagte Maria.
5 rote Punkte für das Finden einer Primzahl p (p>3), für die p²-1 nicht durch 24 teilbar ist bzw. für den Nachweis, dass die Division für alle Primzahlen ohne Rest ausführbar ist.

Termin der Abgabe 18.05.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 18.05.2017. Deadline for solution is the 18th. May 2017. Date limite pour la solution 18.05.2017. Resoluciones hasta el 18.05.2017

fr

Maria a distribué à Bernd, Lisa et Mike trois boules blancs et deux boules noirs. Elle quitte brièvement la chambre et les trois s’échangent les boules mais gardent une ou deux dans leurs mains. Quand elle revient dans la chambre, elle apprend:
Bernd: «J'ai seulement les boules de même couleur dans ma main. » Lisa: «J'ai des boules de couleurs différentes". Mike: «J'ai exactement deux boules. » « Donc, si personne entre vous ne dit la vérité, alors je sais comment les boules sont distribués. » « D'accord, nos déclarations étaient fausses » Qui a quelle boule (nombre + couleur) dans leur main -. 4 points bleus.
« Voici mon exercice. J'ai examiné beaucoup de nombres premiers p. Peu importe ce que j'ai essayé, si p est supérieur à 3, p²-1 sans reste est divisible par 24. « dit Maria. 5 points rouges pour trouver un nombre premier p (p> 3), pour lequel p²-1 n'est pas divisible par 24 ou de démontrer que la division peut être exécutée sans reste pour tous les nombres premiers.

sp

Maria reparte tres bolas blancas y dos bolas negras a Bernd, Lisa y Mike. Maria sale por un rato del cuarto y los tres cambian las bolas entre ellos que al final cada uno de ellos tiene uno o dos bolas en las manos. Cuando Maria regresa le dicen:
Bernd:”Solo tengo bolas con el mismo color en las manos.”
Lisa:”Tengo bolas con colores diferentes.”
Mike: “ Tengo cabal dos bolas.”
“Bueno, si nadie me dijo la verdad yo sé como están divididos las bolas.”
“Bueno, todas las informaciones son falsas.” Quien tiene cuales bolas (cantidad y color) en las manos? – 4 puntos azules.
“Ahora les dejo una tarea yo. He averiguado muchos números primos p. He calculado mucho pero si p era mayor que 3 me salió que p²-1 se podia dividir entre 24 sin resto.”, les dijo Maria. Se recibe 5 puntos rojos para averiguar el número p (p>3) con lo cuál no se puede dividir p²-1 entre 24 o bien para la prueba que se puede dividir sin resto todos los números primos.

en

Maria hands out three white and two black balls to Bernd, Lisa and Mike. She leaves the room for a short while while the three of them swap balls so that each of them has one or two balls. When she returns she is given the following information:
Bernd: “I've got only balls of equal colour.”
Lisa: “I've got balls of different colour.”
Mike: “I've got exactly two balls.”
“If none of you told the truth I know how the balls are distributed.”
“Right, each of our statement was wrong.”
“Who has got which ball (number and colour)?” - four blue points.
“Now to my problem”, Maria said. “I studied a lot of prime numbers p. No matter which number I tried, when p was bigger than 3, p²-1 could always be divided without remainder by 24.”
5 red points for finding a prime number p (p>3), for which p²-1 cannot be divided by 24, or for showing that this division can be done without remainder for any prime number.

it

Maria distribuisce a Bernd, Lisa e Mike tre palline bianche e due nere. Lascia brevemente la stanza e i tre si scambiano le palline mantenendo ciascuno una o due palline in mano. Quando ritorna nella stanza viene a sapere che:
Bernd: „Io tengo in mano solo palline dello stesso colore.“
Lisa: „Io tengo palline di colori diversi.“
Mike: „Io ho esattamente due palline.“
„Allora, se nessuno di voi ha detto la verità, so precisamente come sono distribuite le palline.“
„Va bene, le nostre indicazioni erano tutte false.“ Chi ha quali palline (Numero+colore) in mano? – quattro punti blu.
„Adesso il mio indovinello. Ho analizzato tanti numeri primi p. Qualsiasi cosa abbia provato: se p era più grande di 3 risultava che p²-1 senza resto era dividibile per 24.“, disse Maria. 5 punti rossi per la scoperta di un numero primo p (p>3), per il quale p²-1 non è dividibile per 24, ossia per la prova che la divisione per tutti i numeri primi non è praticabile senza un resto.

 Lösung/solution/soluzione/résultat:

Beispiellösung von Calvin, danke --> als pdf <--

Aufgabe 4

532. Wertungsaufgabe
„Das sieht wie Buchstaben in Quadraten aus“, sagte Bernd zu seiner Schwester. „Da hast du Recht. Das Besondere ist, dass die roten Flächeninhalte jeweils genau halb so groß sind wie Flächeninhalte der Quadrate (a = 10 cm).“
Wie breit ist der rote Kreisring? 4 blaue Punkte.
Wie breit sind die Streifen des „W“? 8 rote Punkte (Mit Breite ist die Angabe der Strecke PQ gemeint.)

Termin der Abgabe 25.05.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 25.05.2017 Deadline for solution is the 25th. May 2017. Date limite pour la solution 25.05.2017. Resoluciones hasta el 25.05.2017

fr

« On dirait des lettres dans des carrés » Bernd dit à sa sœur. « Tu as raison. La particularité est que les surfaces rouges sont chacune exactement la moitié de la taille des aires des carrés (a = 10 cm) ".
Quelle est la largeur de l'anneau du cercle rouge? 4 points bleus.
Quelle est la largeur des bandes du « W »? 8 points rouges (avec largeur on entend la distance PQ).

en

“This looks like letters inside squares”, Bernd said to his sister. “You are right. The interesting thing is, that the red areas are exactly half as big as the areas of the squares (a = 10 cm).” How wide is the red annulus? - 4 blue points
How wide are the stripes of the red “W”? - 8 red points (Width refers to length of line segment PQ)

sp

„Esas parecen letras dentro de cuadrados“, le dijo Bernd a su hermana, „Tienes razon. Lo especial es que las áreas rojas son la mitad de las areas de los cuadrados (con a= 10 cm).”
Cuál ancho tiene la letra “O”? 4 puntos azules.
Cuál ancho tienen las franjas del “W”? 8 puntos rojos (con ancho se refiere al segmento de recta PQ.)

it

„Sembrano come lettere in quadrati.“ Disse Bernd a sua sorella. „Hai ragione. La cosa particolare è che le superfici rosse sono grandi la metà delle superfici dei quadrati (a= 10 cm).“
Quanto è largo il circolo rosso? 4 punti blu
Quanto sono larghe le strisce della „W“? 8 punti rossi (Con la larghezza si intende la indicazione del segmento PQ)

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Hier die Lösung von Reinhold M, danke

in cm bzw. cm^2 gilt:

1. Der Flächeninhalt des Quadrats ist
 AQu = a^2 = 100,
der Flächeninhalt der roten Flächen also jeweils
 Arot = 1/2 AQu = 50.
2. Der Flächeninhalt eines Kreises ist Pi * Radiusquadrat. Für den Radius R des Außenkreises des Kreisrings gilt
 R = a/2 = 5.
Für den Radius r des Innenkreises des Kreisrings gilt mit der gesuchten Ringbreite x
 r = R - x = 5 - x.
Folglich ist
 ARing = Pi * R^2 - Pi * r^2
       = Pi * (25 - (5 - x)^2),
und mit ARing = Arot folgt durch Umstellung zunächst
 (5 - x)^2 = 25 * (1 - 2/Pi),
mit x < 5 also als "blaue Lösung"
 x = 5 * (1 - Wurzel(1 - 2/Pi)),
was etwa 1,986 cm sind.
3. Der Flächeninhalt eines Streifens ist mit der gesuchten Länge x1 (z.B. Parallelogramm: eine Seite mal Höhe darauf)
 AStreifen = x1 * a = 10 * x1.
Der Flächeninhalt des gesamten roten W ist
 AW = 4 * AStreifen - 3 * ADreieck,
wobei die drei gleichschenkligen Überschneidungsdreiecke die Basislänge x1 haben und zu den großen Dreiecken mit beispielsweise Basis PL oder KQ (und Spitze auf IJ) ähnlich sind. Letztere haben die Höhe a, und mit der Bezeichnung y = PL gilt
 y = 1/2 (a - x1).
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt für die Höhe h der kleinen Überschneidungsdreiecke
 h : x1 = a : y,
also
 h = a * x1 / y
   = 2 * a * x1 / (a - x1)
   = 20 * x1 / (10 - x1).
Mit
 ADreieck = 1/2 x1 * h
          = 10 * x1^2 / (10 - x1)
folgt dann aus AW = Arot
 50 = 40 * x1 - 30 * x1^2 / (10 - x1),
also mittels beidseitiger Multiplikation von (10 - x1) und Umstellung auf Normalform
 x1^2 - 45/7 x1 + 50/7 = 0.
Die beiden Lösungen dieser Gleichung sind
 x1 = 45/14 +- Wurzel(45^2/14^2 - 50/7)
    = 1/14 (45 +- Wurzel(45^2 - 50*28))
    = 1/14 (45 +- Wurzel(625))
    = 1/14 (45 +- 25),
also 70/14 = 5 und 20/14 = 10/7. Alles bisherige gilt natürlich nur für x1 <(=) y, also x1 <(=) a/3 < a/2 = 5, also ist die "rote Lösung"
 x1 = 10/7,
was etwa 1,429 cm sind.

Die Breite des "W" ist also genau 1/7 der "Breite" des Quadrates, was sich jetzt leicht nachvollziehen lässt. Wer als einen "glatten" Wert braucht, muss nichts weiter tun als 7 cm, 14 cm oder so für die Quadratgröße verwenden."

Aufgabe 5

533. Wertungsaufgabe
„Schaut mal, ich habe euch zwei alte Sammelbilder mitgebracht.“, sagte Bernds Opa. „Die Rätsel sind etwas merkwürdig und passen nicht so richtig in die heutige Zeit, aber Ihr bekommt die bestimmt heraus.“

Die Frage auf dem Bild:
Zwei Väter und zwei Söhne schossen drei Hasen und jeder hatte einen Hasen geschossen – Wer waren die Väter und Söhne? (zwei blaue Punkte)

Die Frage auf dem Bild:
2 Männer begegnen zwei Frauen. Letztere sprechen zusammen: Da kommen unsere Männer, unsere Väter und unserer Mütter Männer. - Wie sind sie verwandt gewesen? (2 rote Punkte)

Termin der Abgabe 01.06.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 01.06.2017 Deadline for solution is the 1th. June 2017. Date limite pour la solution 01.06.2017. Resoluciones hasta el 01.06.2017

fr:

« Regardez, je vous ai apporté deux vieilles cartes de collection. » dit le grand-père de Bernd. « Les énigmes sont un peu étrange et pas vraiment de nos jours, mais je suis sûr que vous arriviez à les résoudre. »

La question dans l'image: Deux pères et deux fils ont tiré trois lièvres et chacun avait tiré un lièvre - Qui était les pères et les fils? (Deux points bleus)

La question dans l'image: Deux hommes rencontrent deux femmes. Ces derniers parlants ensembles: Voici nos hommes, nos pères et les hommes de nos mères. - Comment sont-ils liés? Quelles sont les liens familiaux ? (2 points rouges)

sp

„Miren a los dos acertijos viejos los cuáles he encontrado.”, les dijo el abuelo de Bernd. “Las rompecabezas son poco extrañas y nada moderno pero igual las pueden resolver.”

à Imagen azúl ß La pregunta para la foto es: Dos padres y dos hijos han disparado tres liebres y cada uno ha disparado uno. Quienes fueron los padres y hijos? ( 2 puntos azules)

à Imagen rojo ß La pregunta para la foto es: Dos hombres encuentran a dos mujeres. Las mujeres dicen: Ya vienen nuestros hombres, padres y los hombres de nuestras madres. Cuál es su relación emparentada? (2 punots rojos)

en
„Look, I brought you two old collector cards.“, Bernd's granddad said. „The puzzles are a bit strange and not really up to date any more, but I'm sure you'll figure them out.“

The question in the picture:
Two fathers and two sons shot three rabbits and each of them shot one rabbit – who were the fathers and the sons? (two blue points)

The question in the picture:
Two men meet two women. The two women talk to each other: There are our husbands, our fathers and our mothers' husbands. - How were they related to each other? (2 red points)

it

„Guardate, vi ho portato due vecchie figurine da collezione.“, disse il nonno di Bernd. „Gl´indovini sono un pò strani e non si confanno con i nostri tempi, ma li indovinerete sicuramente.“

La domanda sull´immagine:

Due padri e due figli maschi spararono tre conigli e ognuno aveva sparato un coniglio – Chi erano i padri e chi i figli maschi? (due punti blu)
Domanda sull´immagine

2 uomini incontrano due donne. Quest´ultime si parlano: Ecco i nostri uomini, i nostri padri ed i uomini delle nostre madri. – Come erano imparentati? (2 punti rossi).

Lösung/solution/soluzione/résultat:

 Eine sehr schön gestaltete Lösung von Maximilian, danke. --> pdf <--

Aufgabe 6

534. Wertungsaufgabe
Bernds Opa hatte ein altes Kinderbuch mitgebracht – Die Abenteuer im Land des Sandmannes – Darin standen auch zwei sehr merkwürdige Aufgaben. Der Sandmann besuchte einen Bauern, dessen Hühner regelmäßig Eier legten. 1,5 Hühner legen in 1,5 Tagen, 1,5 Eier. Der Sandmann sammelte 6 Tage lang die Eier von 7 Hühnern ein. Wie viele Eier waren das? 4 blaue Punkte.
An der Tür des Hühnerstalls stand die Gleichung 42 + 242 =16². Im Land des Sandmanns stimmte die Gleichung durchaus. Unter welcher Bedingung stimmt die Gleichung? 4 rote Punkte.

Termin der Abgabe 08.06.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 08.06.2017. Deadline for solution is the 8th. June 2017. Date limite pour la solution 08.06.2017. Resoluciones hasta el 08.06.2017.

fr

Le grand-père de Bernd avait apporté un livre d'enfants  - Les aventures dans le pays du marchand de sable - Il y avait deux exercices très étranges. Le marchand de sable a visité un fermier dont les poules pondent des œufs régulièrement. 1,5 poules pondent en 1,5 jours, 1,5 œufs. Le marchand de sable recueilli pendant 6 jours les œufs de 7 poules. Combien d'œufs avait-il recueilli? 4 points bleus.
A la porte du poulailler était écrit l'équation 42 + 242 = 16². Au pays du marchand de sable l’équation concordait bien. Dans quelles conditions l'équation est-elle vraie? 4 points rouges.

sp

El abuelo de Bernd trajo un libro viejo para niños – Las aventuras en el pais del Sandmann. Allí encontró dos tareas muy extrañas. El Sandmann ha visitado un campesino. Sus gallinas ovaban muy regular. 1,5 gallinas ponen 1,5 huevos en 1,5 días. El Sandmann colectó durante 6 días huevos de 7 gallinas. Cuantos huevos ha colectado? 4 puntos azules.
En la puerta alguien escribió la equación 42 + 242 = 16². En el pais del Sandmann la equación era correcta. Cuál es la condición para que la equación es correcta? 4 puntos rojos.

en
Bernd’s granddad has brought an old children’s book – The Adventures in the Land of the Sandman, which contained two very strange puzzles. Sandman visited a farmer whose hens laid eggs regularly. 1.5 hens lay 1.5 eggs in 1.5 days. Over a period of 6 days Sandman collected the eggs of 7 hens. How many eggs did he collect? - 4 blue points
There was an equation written on the door of the henhouse: 42 + 242 =16². In the land of the sandman the equation absolutely made sense. Under which condition does the equation make sense? - 4 red points

it

Il nonno di Bernd aveva portato un vecchio libro per bambini – Le avventure nel paese del mago Sabiolino. Lì c´earno anche due esercizi molto strani. Il mago Sabiolino andò a trovare un contadino le quali galline facevano regolarmente le uova. 1,5 galline fanno 1,5 uova in 1,5 giorni. Il mago Sabiolino raccoglieva per 6 giorni le uova di 7 galline. Quante uova erano? 4 punti blu.
Sulla porta della stalla si leggeva l´equazione 42+242=16². Nel paese del mago Sabiolino quest´equazione poteva essere vera. A quale condizione può essere corretta quest´equazione? 4 punti rossi.

 Lösung/solution/soluzione/résultat:

Die rote Aufgabe ließ durchaus mehrere richtige Antworten zu, in der Lösung von Calvin (danke) ist die gesuchte Variante enthalten. --> als pdf <--

Aufgabe 7

535. Wertungsaufgabe
„Hier duftet es aber gut“, sagte Bernd zu seiner Mutter. „Morgen hat Opa Geburtstag und ich habe natürlich seinen Lieblingskuchen gebacken. Würfelkuchen mit Schokoladenglasur. Einen Kuchen kann er für seine drei Freunde mitnehmen und den anderen essen wir morgen hier.“
Würfelkuchen – nun das ist eben ein würfelförmiger Kuchen, der eine Kantenlänge von 15 cm hat, das schließt die hauchdünne Schokoladenschicht mit ein.
Wie teilt Opa gerecht mit seinen drei Freunden, so dass jeder gleich viel Kuchen (Volumen) und gleich viel Schokolade bekommt (gleicher Anteil an der ursprünglichen Oberfläche). Wie viel kann Opa vom Kuchen und der Schokolade dann essen? (3 blaue Punkte)
Wie aber kann der Opa den Kuchen gerecht teilen, wenn es beim Geburtstag 6 Personen sind? (gleich viel Kuchen und gleich viel Schokolade) 6 rote Punkte.
Termin der Abgabe 15.06.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 15.06.2017 Deadline for solution is the 15th. June 2017. Date limite pour la solution 15.06.2017. Resoluciones hasta el 15.06.2017

fr
« Mais ça sent bon ici », dit Bernd à sa mère. « Demain, c’est l'anniversaire de grand-père et je lui prépare son gâteau préféré. Gâteau dés avec un glaçage au chocolat. Un gâteau pour lui et ses trois amis et l'autre nous mangeons demain ici avec lui. "
Gâteau dés – c’est un gâteau cubique, qui a une longueur d'arête de 15 cm, y compris la mince couche de chocolat.
Comment grand-père va-t-il partager le gâteau avec ses trois amis pour que chacun a la même quantité de gâteau (volume) et de glaçage de chocolat (même proportion de la surface d'origine). Combien grand-père peut-il ensuite manger du gâteau et du glaçage de chocolat ? (3 points bleues)
Et comment grand-père peut-il partager le gâteau s'il y a six personnes présentes à son anniversaire? (La même quantité de gâteau et la même quantité de chocolat) 6 points rouges.

sp
"Que rico huele aquí!", le dijo Bernd a su madre. "El abuelo cumple años mañana. Por supuesto he preparado su pastel favorito. Pastel del cubo con cubertura de chocolate. Un pastel es para su amigos y el orto comemos mañana aqui."
Un pastel del cubo tiene la forma del cubo con una longitud de 15 cm incluyendo la fina capa de cubertura.
Cómo el abuelo debería dividir el cubo para el y sus tres amigos tienen la misma parte del pastel (volumen) y la misma parte de la cubertura de chocolate (todos deberían tener la misma parte de la superficie). Cuanto pastel y cubertura puede comer el abuelo? (3 puntos azules)
Cómo se debería dividir el pastel si estan 6 personas en sus cumpleaños? (La misma cantidad del pastel y la misma parte de la cubertura) 6 puntos rojos.

en
“It smells delicious here”, Bernd said to his mum.
“It’s granddad’s birthday tomorrow and naturally I’ve made him his favourite cake. Cube cake with chocolate icing. One cake he can take to his three friends and the other one we’ll have here tomorrow.”
Cube – cake, well it’s a cube-shaped cake whose sides are 15cm including the thin layer of chocolate.
How can granddad divide the cake among himself and his three friends if everyone is to have exactly the same amount of cake (volume) and chocolate (same part of the original surface area). How much cake and chocolate can granddad eat? - 3 blue points
How can granddad share the cake among 6 birthday guest? (Same amount of cake, and same area of cholcolate) – 6 red points

it
„Che buon odore“, disse Bernd a sua Madre. „Domani il nonno ha il compleanno e gli ho fatto il suo dolce preferito. Torta a forma di cubo al cioccolato. Un pezzo di dolce se lo può portare ai suoi tre amici e l´altro pezzo lo mangiamo noi quì domani.“
Dolce a forma di cubo – un dolce che ha una lunghezza degli spigoli di 15 cm che comprende anche lo strato fino di cioccolata.
Come divide il nonno con i suoi amici giustamente affinché ognuno riceva un pezzo di dolce uguale (volume) con una pari quantità di cioccolata (stessa parte della superficie originale). Quanto del dolce e quanta cioccolata puo mangiarsi il nonno? 3 punti blu.
Come dovrebbe suddividere il nonno il dolce se alla festa del compleanno partecipano 6 persone? (stessa quantità di dolce e cioccolata)? 6 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Es gab, insbesondere bei der roten Aufgabe, ein paar sehr matschige Lösungen. Elegant und veralgeinerbar die Variante von Calvin, danke. --> als pdf <--

Aufgabe 8

536. Wertungsaufgabe
Bernd hat ein Abalone-Spiel bekommen und gleich noch eine Zeichnung des Spielbrettes angefertigt. „Was bedeuten denn die Zahlen?“, fragte Mike. „Die Zehnerziffer gibt die Reihe an und die Einerziffer die Lage in der Reihe.“ „Verstehe, damit kannst du die Spielzüge aufschreiben.“ „Genau.“

Das erste Bild zeigt die Standardstartaufstellung. 14 schwarze (dunkelblaue) Steine oben und 14 weiße (hellblaue) Steine unten.
Das zweite Bild zeigt eine Startaufstellung, wie sie manchmal in Turnieren eingesetzt wird. Der Spieler mit den weißen Steinen beginnt. Er darf einen, zwei oder drei Steine (in einer Reihe liegend) bewegen.
Wie viele Möglichkeiten für den ersten Zug gibt es beim Standard? (4 blaue Punkte)
Wie viele Möglichkeiten für den ersten Zug gibt es beim „Turnier“? (4 rote Punkte)

Termin der Abgabe 22.06.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 22.06.2017 Deadline for solution is the 22th. June 2017. Date limite pour la solution 22.06.2017. Resoluciones hasta el 22.06.2017

fr

Bernd a reçu le jeu d’Abalone et a aussi fait un dessin de la planche. « Qu’est-ce que veulent dire les chiffres ? » demanda Mike. « Le chiffre des dizaines indique la rangée et le chiffre unitaire la position sur cette rangée. » « Je vois, comme ça tu peux noter les mouvements. » « Exactement. »
La première photo montre une grille standard. 14 pions noirs (bleu foncé) en haut et 14 pions blancs (bleu clair) ci-dessous.

La deuxième image montre une grille, comme il est parfois utilisé dans des tournois. Le joueur avec les pions blancs commence. Il peut déplacer un, deux ou trois pions dans une même rangée (horizontale).
Combien de possibilités existent-ils pour le premier mouvement dans la grille standard ? (4 points bleus)
Combien de possibilités existent-ils pour le premier mouvement dans la grille dite « tournoi »? (4 points rouges)

sp

Bernd recibió un juego cuál se llama “Abalone” y dibujó el tablero. “Que significan los números?” le preguntó Mike. “La primera cifra es el número del la fila y la segunda cifra es de la posición en la fila”. “Ah – entendí. Asi se puede anotar la jugadas más facil“. „Exacto!“

El primer imagen muestra la formación normal. 14 fichas negras (azules oscuro) arriba y 14 fichas blancas (celeste) abajo.

La Segunda imagen muestra la formación de inicio la cuál se implanta en competencias. El jugador con las fichas blancas empieza. El puede mover uno, dos o tres fichas (en una fila).
Cuantas posibilidades hay para el primer paso en la formación normal? (4 puntos azules)
Cuantas posibilidades hay para el primer paso en la formación de competencia? (4 puntos rojos)

en

Bernd got an Abalone game as a present and has made a drawing of the game board.
“What do these numbers mean?”, Mike asked.
“The digit at the tens' place tells you the row and the ones' place tells you the position in that row.“
“I see, so you can note the moves.”
“Exactly.”

The first picture shows the standard starting position. 14 black (dark blue) pieces at the top and 14 white (light blue) pieces at the bottom.

The second picture shows you a starting position that is sometimes used for tournaments. White starts. The player may move one, two or three pieces (set in one line).
How many possibilities are there for the first move given the standard starting position? (4 blue points)
How many possible moves are there for the tournament position? (4 red points)

it

A Bernd è stato regalato un gioco Abalone e per questo lui ha fatto un disegno della scacchiera. „Cosa significano i numeri?“, chiese Mike. „La decina indica la fila e il singolo la posizione nella fila.“ „Capisco, con questo puoi notare le azioni di gioco.“ „Esatto.“

La prima immagine mostra la griglia di partenza standard. 14 pietre nere (blu scure) sopra e 14 bianche (blu chiare) sotto.

La seconda immagine mostra una griglia di partenza che viene usata a volte nei tornei. Il giocatore con le pietre bianche inizia. Può muovere una, due oppure tre pietre (che si trovano in una fila).
Quante possibilità ci sono per la prima mossa nello standard? (4 punti blu).
Quante possibilità ci sono per la prima mossa nella versione „torneo“? (4 punti rossi).

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Es gab doch etliche "Verzähler", hier nun die Lösung von Reinhold M, danke.
Standardaufstellung ("blau"):
Einzelsteine der 9er-Reihe und sowie 83 und 84 keine Zugmöglichkeit, 82 und 85 je eine, 81, 86 und 74 je zwei sowie 73 und 75 je drei, gibt zunächst zusammen 2*1 + 3*2 + 2*3 = 14 Möglichkeiten;
Doppelsteine waagerecht: 9er-Reihe keine Zugmöglichkeit, 8er-Reihe nur 81+82 sowie 85+86 je eine, 7er-Reihe 73+74 und 74+75 je drei, gibt zusammen 2*1 + 2*3 = 8 Möglichkeiten;
Doppelsteine parallel der linken Kante: 81+91, 82+92, 73+83, 74+84 je eine, 75+85 zwei, übrige Paare keine Zugmöglichkeit, gibt zusammen 4*1 + 1*2 = 6 Möglichkeiten;
Doppelsteine parallel zur rechten Kante: wegen der Symmetrie die gleiche Anzahl 6;
Dreiersteine waagerecht nur beweglich 73+74+75 mit 4 Möglichkeiten, senkrecht alle sechs Gruppierungen mit je einer Möglichkeit, zusammen also 1*4 + 6*1 = 10.
Insgesamt gibt es also 14 + 8 + 2*6 + 10 = 44 Möglichkeiten für den ersten Zug von weiß.

Turnieraufstellung ("rot"):
Hier genügt, die Steine 75, 76, 84, 86, 94 und 95 zu betrachten: 82 ist unbeweglich, und für die "oberen" ergibt sich dann nochmal exakt die gleiche Anzahl.
Einzelsteine: 95 keine Zugmöglichkeit, 94 und 86 eine, 84 zwei, 75 und 76 je drei, zusammen also 2*1 + 1*2 + 2*3 = 10 Möglichkeiten;
Doppelsteine: 84+94, 94+95 und 86+95 je eine Zugmöglichkeit, 76+86 zwei, 75+84 drei sowie 75+76 vier, zusammen also 3*1 + 1*2 + 1*3 + 1*4 = 12 Möglichkeiten;
Dreiersteine gibt es nicht.
Insgesamt gibt es hier also 2 * (10 + 12) = 44 Möglichkeiten für den ersten Zug von weiß - die gleiche Zahl wie bei der Standardaufstellung.

Anmerkung: Wie man sieht, ist die Anzahl der Möglichkeiten für den ersten Zug gleich. Während beim Standard auch schwarz  44 Zugmöglichkeiten für den ersten Zug hat, so die Zugzahl bei der Turniervariante (eine von mehreren T-V) nicht gleich 44, sondern hängt vom ersten Zug von weiß ab.

Aufgabe 9

537. Wertungsaufgabe

„Das ist eine interessante Konstruktion“, sagte Mike zu Lisa. „Ja, die gefällt mir auch. Das Dreieck ist gleichseitig. Der große Kreis ist der Inkreis, der von drei kleinen Kreisen berührt wird, welche auch – wie man sieht – je zwei Seiten berühren.“ Es gibt 8 blaue Punkte für die Berechnung der sichtbaren blauen Fläche, wenn das Dreieck eine Kantenlänge von 10 cm hat.
„Wie findest du meine Konstruktion?“, fragte Mike. „Die gefällt mir sehr.“, antwortete Lisa.
Hier nun das zweite Bild.

Es gibt 8 rote Punkte für das Berechnen der roten Fläche. Die Strecken AB, AE, AD, BE und BD sind jeweils 6 cm groß. Die weißen Kreise berühren sich und auch die äußeren Kreisbögen.

Termin der Abgabe 17.08.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 17.08.2017. Deadline for solution is the 17th. August 2017. Date limite pour la solution 17.08.2017. Resoluciones hasta el 17.08.2017

fr

«C'est un design intéressant, » Mike dit à Lisa. « Oui, je l'aime aussi. Le triangle est équilatéral. Le grand cercle est le cercle inscrit qui est en contact avec trois petits cercles, qui sont également - comme tu peux le voir – en contact avec deux côtés chacun » 8 points bleus pour le calcul de la surface bleue visible lorsque le triangle a une longueur de bord de 10 cm.

« Comment trouves-tu  ma construction? » demanda Mike. « Le J'aime bien. » répondit Lisa.

Voici la deuxième image.

8 points rouges pour le calcul de la surface rouge. Les segments AB, AE, AD, BE et BD ont chacun une longueur de 6 cm. Les cercles blancs se touchent ainsi que et les arcs du cercle extérieur.

sp

„Que interesante la construcción!“, le dijo Mike a Lisa. “Si, a mi me gusta también. El triángulo es equilatero. El círculo grande es el círculo inscrito del triángulo cuál está tocado por los tres círculos pequeños lo cuáles también tocan los dos lados del triángulo.” Se recibe 8 puntos azules para el cálculo del area visible azúl, si las puntillas son de 10 cm.
“Cómo te gusta la construcción mia?”, le preguntó Mike. “Me gusta mucho”, le respondió Lisa.
La segunda construcción.

Se recibe 8 puntos rojos para el cálculo del área roja. Los segmentos de lineas rectas AB, AE, AD, BE y BD son de 6 cm. Los círculos blancos se tocan entre ellos mismos y además los arcos exteriores.

en

“What an interesting construction”, Mike said to Lisa.
“Yes, I like it, too. It’s an equilateral triangle. The big circle ist the incircle that is tangent to three smaller circles which, as you can see, each touch two sides of the triangle.”
There are 8 blue points for calculation the blue area that is not covered by cirles given a triangle of 10 cm sides.
“How do you like my construction?”, Mike asked.
“I like it a lot.”, Lisa answered.
Here you can see it:

There are 8 red points for calculation the red area. Line segments AB, AE, AD, BE and BD are 6 cm each. The white circles touch each other as well as the big arcs.

it

„Questa è una costruzione interessante“, disse Mike a Lisa. „Si, piace anche a me. Il triangolo è equilatero. Il cerchio grande è il cerchio interno che viene toccato da tre piccoli cerchi quali toccano ciascuno due lati, come si vede.“ Si ottengono 8 punti blu se si calcola la superficie visibile blu, se il triangolo ha una lunghezza degli spigoli uguale a 10 cm.

„Come trovi la mia costruzione?“, chiese Mike. „Mi piace molto“, rispose Lisa.

In seguito la seconda immagine.

Si ottengono 8 punti rossi per il calcolo della superficie rossa. I segmenti AB, AE, AD, BE e BD sono grandi ciascuna 6 cm. I cerchi bianchi si toccano e anche i archi circolari esterni.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Beispiellösung von Calvin Crafty, danke. --> als pdf <--

Aufgabe 10

538. Wertungsaufgabe
„Das sind ja schon wieder Kreise, die du gezeichnet hast“, sagte Mike. „Das stimmt, aber ich glaube, da gibt es noch einen Zauberkreis.“, erwiderte Lisa. Die Kreise k₁ und k₂ berühren sich im Punkt A. Die Punkte B und D sind die Berührungspunkte auf der Tangente h. Die Tangenten h und f schneiden sich im Punkt C.
Sind die Radien der Kreise gleich (4 cm), dann bilden die Punkte B, D, M₂ und M₁ ein Rechteck. Berechne den prozentualen Anteil der weißen Fläche des Rechtecks. (4 blaue Punkte).
4 rote Punkte gibt es, wenn gezeigt wird, dass die Punkte A, B und D immer auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt C liegen, egal wie groß die Kreise sind.
Noch mal 4 rote Punkte gibt es für die Berechnung der Winkel mit dem Scheitelpunkt bei C, wenn der Radius von _k2 doppelt so groß ist wie der Radius von k₁.

Termin der Abgabe 24.08.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 24.08.2017. Deadline for solution is the 24th. August 2017. Date limite pour la solution 24.08.2017. Resoluciones hasta el 24.08.2017

fr

« Encore des cercles que tu as dessiné », dit Mike. « C’est vrai, mais je pense qu'il y a encore un cercle magique. » dit Lisa. Les cercles k₁ et k₂ se touchent au point A. Les points B et D sont les points de contact sur la tangente h. Les tangentes h et f se croisent au point C.
Quand les rayons des cercles sont égaux (4 cm), les points B, D, M₂ et M₁ forment un rectangle. Calculer le pourcentage de la zone blanche du rectangle. (4 points bleus).
4 points rouges, si on peut démontrer que les points A, B et D se trouvent toujours sur un cercle avec le centre C, peu importe la taille des cercles.
4 points rouges supplémentaires pour calculer l'angle dont le sommet est à C, si le rayon de _k2 est deux fois plus grand que le rayon de k₁.

sp

„Dibujaste círculos otra vez.“,le dijo Mike. “Es cierto, pero creo que hay un círculo mágico.” le contestó Lisa. Los círculos k₁ y k₂ se encuentran en el punto A. Los puntos B y D son puntos del toque con la tangente h. Las tangentes h y f se cortan en el punto C.
Si los radios de los círculos son iguales (4 cm) los puntos B,D,M₂ y M₁ forman un rectángulo.
Calcúla la parte en porcentaje del area blanca del rectángulo. (4 puntos azules)
Se recibe 4 puntos rojos por la muestra de que se encuentra los puntos A, B y D siempre en el mismo círculo con el centro M independientemente del tamaño de los círculos.
Otros 4 puntos rojos se recibe por el cálculo de los ángulos con el vértice en C si el radio de K₂ es el doble del radio de K₁  

en

“Again you've drawn circles”, Mike said.
“That's right, but I think there also is a magic circle.”, Lisa replied.
Circles k₁ and k₂ touch each other in point A. Points B and D are touching points with tangent h. Tangents h and f meet in point C.
If the radii of the circles are equal (4 cm), points B, D, M₂ and M₁ make a rectangle. What is the percentage of the white are of this rectangle? - 4 blue points.
4 red points for proving that A, B and D will always be part of a circle centered in C, no matter how big the other circles are.
Another 4 red points for calculating the angles at point C if the radius of k₂ is twice the radius of k₁.

it

Se i raggi die cerchi sono uguali (4cm), allora i punti B,D, M2 e M1 formano un rettangolo. Calcola la parte percentuale della superficie bianca del rettangolo. (4 punti blu).
4 punti rossi si ottengno se si dimostra, che i punti A, B e D si trovano sempre su un cerchio con il punto centrale C, indipendentemente dalla grandezza die cerchi.
Altri 4 punti rossi si ottengono per il calcolo degli angoli con il punto culminante da C se il raggio di k₂ ha la doppia grandezza del raggio di k₁.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Musterlösung von Calvin, danke. --> als pdf <--

Aufgabe 11

539. Wertungsaufgabe

„Ich habe mich wieder mal mit dem berühmten rechtwinkligen Dreieck beschäftigt“, sagte Bernd. „Du meinst das Dreieck mit 3, 4, 5 cm Kantenlänge?“, fragte Mike nach. „Genau. Wenn ich nun jeweils eine Winkelhalbierende einzeichne, dann entstehen ja zwei Teildreiecke. Ich habe mich gefragt, wie groß wohl die Flächeninhalte der Teildreiecke sind?“
Für die Flächeninhalte der Teildreiecke, wenn der rechte Winkel halbiert wird, gibt es 6 blaue Punkte, wenn eine komplette Herleitung angegeben wird. Für eine konstruktive Lösung gibt es nur 3 blaue Punkte. Je 5 rote Punkte für die Berechnung der Teilflächen, wenn die kleinen Winkel des Dreiecks halbiert werden.

Termin der Abgabe 31.08.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 31.08.2017. Deadline for solution is the 31th. August 2017. Date limite pour la solution 31.08.2017. Resoluciones hasta el 31.08.2017

fr
«Je me suis occupé de nouveau avec le fameux triangle à angle droit », a déclaré Bernd. "Tu parles du triangle avec 3, 4, 5 cm de longueur?" demanda Mike. « Exactement. Si je dessine chaque bissectrice, le résultat est deux triangles partiels. Je me demandais quelles tailles font les surfaces des sous-triangles? "
Pour les surfaces des sous-triangles, lorsque l'angle droit est coupé en deux, il y aura 6 points bleus avec une dérivation complète. Pour une solution constructive, il y aura que 3 points bleus.
Il y aura 5 points rouges par calcul des surfaces partielles quand les petits angles du triangle sont coupés en deux.

sp
„Otra vez me dedicaba con el famoso triángulo rectángulo”, les dijo Bernd. “Te refieras al triángulo con los longitudes de 3, 4 y 5 cm?” le preguntó Mike, “Exacto. Si construyo los bisectrices se recibe dos triángulos particulares. Me pregunté que tan grande son los áreas de los triángulos particulares?”
Para el cálculo de los áreas de los triángulos particulares si se divide el rectángulo por la mitad se recibe 6 puntos azules si se da la derivación. Se recibe 5 puntos rojos para el cálculo de cada área particular si se divide los ángulos pequeños por la mitad. 

en
“I was thinking again about the famous right triangle”, Bernd said.
“Do you mean the one with 3, 4, and 5 cm edges?”, Mike enquired.
“Exactly. When I bisect any of the three angles I will get two partial triangles. I was asking myself what their area would be.”
For finding the areas of the two partial triangles when bisecting the right angle you’ll get 6 blue points, if sufficiently explained. A solution by constructing will get you only three points.
Calculation the resulting triangles after bisecting any of the two smaller angles will get you 5 red points each.

it
“Mi sono dedicato nuovamente al famoso triangolo rettangolare”, disse Bernd. “Intendi il triangolo con la lunghezza degli spigoli di 3, 4, 5 cm?”, chiese Mike. “Esatto. Se ci segno a volta in volta una bisettrice allora si formano due triangoli parziali. Mi son chiesto, quanto possono essere grandi le superfici dei triangoli parziali?”
Per le superfici dei triangoli parziali, nel caso venga bisecato l´angolo retto, si assegnano 6 punti blu se si dà una deduzione completa. Per una soluzione costruttiva ci sono solo 3 punti blu. Rispettivamente 5 punti rossi per il calcolo delle superfici parziali, se si bisecano gli angoli piccoli del triangolo.

 Lösung/solution/soluzione/résultat:
Beispiellösung von Paulchen Hunter, danke. --> als pdf <--

Aufgabe 12

540. Wertungsaufgabe

„Die Aufgabe der letzten Woche (rechtwinkliges Dreieck ABC, a=3cm, b =4 cm, c=5cm) erinnert mich an folgende Aufgabe“, meinte Bernds Opa, als er sich die Zeichnung der Aufgabe 539 anschaute. „Ich zeichne einen Punkte D auf die Seite c, so dass der Flächeninhalt des Dreiecks BCD genau halb so groß ist wie der Flächeninhalt des Dreiecks ABC.“
2 blaue Punkte für die Streckenlänge AD.
5 rote Punkte für diese Variante der Aufgabe. ABC ist ein spitzwinkliges Dreieck. D ist ein Punkt auf AC. (CD < AD). Auf AB ist ein Punkt E konstruktiv zu finden, so dass der Flächeninhalt von ADE genau halb so groß ist wieder Flächeninhalt von ABC.
Termin der Abgabe 07.09.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 07.09.2017. Deadline for solution is the 7th. September 2017. Date limite pour la solution 07.09.2017. Resoluciones hasta el 07.09.2017

fr
"L’exercice de la semaine dernière (triangle à angle droit ABC, a = 3cm, b = 4cm, c = 5cm) me rappelle l’exercice suivant", a déclaré le grand-père de Bernd lorsqu'il a examiné le dessin de l’exercice numéro 539. "Je dessine un point D sur le côté c de sorte que la surface du triangle BCD soit exactement la moitié de la surface du triangle ABC".
2 points bleus pour la longueur de la ligne AD.
5 points rouges pour cette variante de l’exercice : ABC est un triangle aigu. D est un point sur AC. (CD < AD). Sur AB, le point E est constructif, de sorte que la surface d'ADE est exactement la moitié de la surface d’ABC.

sp
„La tarea de la semana pasada (triángulo rectángulo ABC con a = 3cm, b = 4cm ,c = 5cm) me recuerda al siguiente problema”, le dijo el abuelo de Bernd al ver el problema 539. “Voy a poner un punto D al lado c de tal manera de que el área del triángulo BCD es de la mitad del área del triángulo ABC.”
Se recibe 2 puntos azules para el cálculo de la medida de AD.
5 puntos rojos para la sigiuente variación de la tarea: ABC es un triángulo actuángulo. D es un punto en AC. (CD < AD). Hay que encontrar un punto E en AB de la manera constructiva (concluyente) para que el área de ADE mide la mitad del área de ABC.

en
“Last week’s problem (right triangle ABC, a=3cm, b =4 cm, c=5cm) remind me of the following problem”, Bernd’s granddad said as he was looking at a drawing of problem 539. “Let there be a point D on side c, in such a way that the area of triangle BCD is exactly half as big as as the area of triangle ABC.” - 2 blue points for line segment AD
5 red points will be given for solving this variant of the problem: ABC is an acute triangle. D is a point on AC. (CD<AD). Construct one point E on AB so that the area of ADE is exactly half as big as the area of ABC.

it.
“Il problema di settimana scorsa (triangolo rettangolare ABC, a=3cm, b=4cm, c=5cm) mi ricorda questo problema”, disse il nonno di Bernd quando vide il disegno del compito 539. “Disegno un punto D sul lato c cosicché la superficie del triangolo BCD abbia la metà della grandezza come la superficie del triangolo ABC.”
2 punti blu per la lunghezza del segmento AD.
5 punti rossi per seguente variante del problema. ABC è un triangolo acuto. D è un punto su AC. (CD<AD). Su AB è da trovare in modo costruttivo un punto E cosicché la superficie di ADE abbia metà grandezza come la superficie di ABC.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Beispiellösungen von Maximilian (Jena) --> pdf <-- und Paulchen Hunter --> pdf <-- , danke.

Auswertung Serie 45

Die Gewinner des Buchpreises sind Paulchen Hunter, Felix Helmert und Laura Jane Abai. Herzlichen Glückwunsch:

Zu gewinnen gab es:
Homers letzter Satz: Die Simpsons und die Mathematik von Simon Singh