Serie 36

Aufgabe 12

„Wo ist denn Bernd?“, fragte Mike. „Der ist in der Werkstatt von unserem Vater und sägt viele gleichgroße gleichseitige Dreiecke aus einer Holzplatte aus.“, sagte Maria. „Und was macht er dann damit?“, fragte Mike verwundert. „Das werden Spielsteine für ein Spiel für unseren Opa, der hat das früher mal gespielt, aber das ist ihm beim Umzug verloren gegangen. Auf jeweils eine dreieckige Seite der Spielsteine werde ich, wenn Bernd mir die Spielsteine bringt, Punkte aufbringen. (Die andere Dreiecksseite bleibt leer). In die Ecken eines solches Dreiecks kommen dann 0, 1, 2 oder 3 Punkte.“
„Es sind also 0 bis maximal 9 Punkte auf so einer Fläche.“ „Genau, aber jedes Dreieck ist anders bemalt. Es gibt also zum Beispiel nur eines mit 1 Punkt, aber zwei mit zwei Punkten. Die Dreiecke gelten als verschieden, wenn sie nicht nach einer Drehung gleich aussehen.“
Wie viele solche Dreiecke müsste Bernd (höchstens) aussägen, damit Maria alle möglichen Muster anfertigen kann und wie viele Punkte hat sie dann auf all die Dreiecke gemalt? 4 blaue Punkte
Wie viele verschiedene Spielsteine sind möglich, wenn in die Ecken 0, 1, 2, 3, 4 oder 5 Punkte gemalt werden? 4 rote Punkte.

Termin der Abgabe 12.06.2014. Deadline for solution is the 12th. June 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 12.6. 2014.

“Ma dove sta` Bernd?”, chiese Mike. “Sta` nell´officina di nostro padre e sta tagliando da una tavoletta di legno tanti triangoli equilateri e di grandezza uguale.”, disse Maria. “E che cosa ci vuole fare?”, chiese Mike meravigliato. “Questi saranno delle pedine per un gioco per nostro nonno, un gioco che gli piaceva giocare; pero` con il trasloco gli e` andato perduto. Su una parte triangolare di ogni pezzo applicherò dei punti, appena Bernd me le ha portati.” (l´altro lato rimano vuoto). Negli angoli di tale triangolo verranno i punti 0,1,2 o 3.
“Sono allora al massimo 0 fino a 9 punti su ogni superficie.” “Esatto, pero` ogni triangolo e` colorato diversamente. Ci sta per esempio solo uno con 1 punto, pero` due con due punti. I triangoli sono da ritenere diversi, se non si assomigliano dopo una rotazione.”
Quanti triangoli tali dovrebbe segare (al massimo) Bernd, cosicché Maria può fare tutti i disegni possibili; quanti punti avrebbe colorato in questo caso su tutti i triangoli? 4 punti blu.
Quante pedine diverse sono possibili, se negli angoli si applicano 0,1,2,3,4 o 5 punti? 4 punti rossi.

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“Where is Bernd?”, Mike asked. “He is in the workshop of our dad sawing lots of equal sized, equilateral triangles out of a wooden panel.”, Maria said.
“And what's he going to do with them?”, Mike asked puzzled.
“These are going to be pieces for a game for our grandfather which he used to play and which unfortunately got lost during moving house. I will mark dots on one of the sides of the triangles once Bernd is finished. (The other side remains blank.) There will be 0, 1, 2 or 3 dots in the corners of these triangles.”
“That means there will be 0 to maximal 9 dots on such a triangle.”
“Exactly, but each triangle will be different. So there will be only one triangle with one dot but two with two dots. Triangles count as different if they don't look the same after rotation.” How many of these triangles would Bernd have to saw out at most in order to allow Maria to mark all possible patterns and how many dots will she have painted in the end? - 4 blue points
How many different pieces are possible if their corners may show 0, 1, 2, 3, 4, or 5 dots? - 4 red points.

Lösung/solution/soluzione:

Das Spiel, das hier beschrieben wurde, heißt Trioker. Im Originalspiel - es ist in Frankreich sehr verbreitet- werden die Steine der Aufgabe blau benutzt. Es gibt 24 Steine, die verschieden sind. Auf denen befinden sich insgesamt 108 Punkte, die Maria zu malen hat. Werden die Driecke als Dreiecke mit den Eckpunkten ABC aufgefasst, so wird die Bezeichnung 112 bedeuten Bei A einen Punkt, bei B 1 Punkt und bei C 2 Punkte.

Gruppe 1: Alle  Ecken gleich: 000, 111, 222, 333.
Gruppe 2: Zwei Ecken gleich: 001, 002, 003, 112, 113, 110, 223, 220, 221, 330, 331, 332
Gruppe 3: Alle Ecken verscheiden: 012, 021, 123, 132, 230, 203, 301, 310.

Verwendet man 0 bis 4 Punkte, so sind 45 Spielsteine möglich, bei 0 bis 5 Punkten sind es 76 Spielsteine.
Hier noch die Formeln von XXX, danke.
Allgemein, bei 0 bis n Punkten, können wir die gesuchte Anzahl der Steine als Term berechnen:
Steine mit 3 gleichen Zahlen: (n + 1)
Steine mit zwei verschiedenen Zahlen: (n + 1) * n
Steine mit 3 verschiedenen Zahlen: (n + 1) * n *(n - 1) / 3   ,
zusammen Anahl( n ) =   (n + 1)/3 * [3 +3n + n² - n] = (1/3)*(n + 1)*(n² +2n+3), Formel gültig ab n = 2, da es sonst keine drei verschiedenen Zahlen gibt
n = 2, Anz(2) = 3*11/3 = 11, nämlich 000, 111, 222; 001, 002, 110, 112, 220, 221; 012, 021.
n = 3, Anz(3) = 4*18/3 = 24, nämlich xxx (4), xxy (12), xyz ( 8 ).
n=4, Anz = 5*27*3 = 45
n = 5, Anz = 6*38/3 = 76