Serie 32

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Aufgabe 6

378. Wertungsaufgabe
„Du hattest doch neulich in einem (rechtwinkligen) Koordinatensystem ein regelmäßiges Sechseck konstruiert“, sagte Mike zu Bernd. „Stimmt, ich hatte die Punkte A (0; 0) und B (4; 1) vorgegeben und daraus das Sechseck ABCDEF (positiver Umlaufsinn) konstruiert.“ „Genau, das habe ich auch gemacht und dann habe ich die jeweils benachbarten Punkte des Sechsecks ABCDEF durch Geraden verbunden.“
„Du hast also die Seiten verlängert?“
„Genau, diese Geraden schneiden sich dann paarweise außerhalb des Sechsecks in 6 Punkten, die sich wiederum zu einem regelmäßigen Sechseck verbinden lassen.“ 4 blaue Punkte gibt es für die Koordinaten der Punkte C', D', E' und F' des zu konstruierenden Sechsecks A'B'C'D'E'F'.
Wie viel mal größer (Flächeninhalt) ist das Sechseck von Mike im Vergleich zum Sechseck von Bernd. 4 rote Punkte.

Termin der Abgabe 03.012.2013 Deadline for solution is the 3th. january 2012.
 
“You constructed a regular hexagon in a coordinate system a short while ago, didn't you?” Mike said to Bernd.
“I sure did. I started with the points A(0;0) and B(4;1) and constructed the hexagon ABCDEF (anti-clockwise).”
“Exactly. That's what I did, too. And then I joined neighbouring vertices by a straight line.”
“Instead of just line segments, you mean.”
“Exactly, because these lines meet in 6 points outside the hexagon which are the vertices of another regular hexagon.” - 4 blue points for the coordinates C', D', E' and F' of the new hexagon A'B'C'D'E'F'.
By what factor does the area of Mike's hexagon exceed the one constructed by Bernd? - 4 red points.
Lösung/solution:
Die Koordinaten der Punkte kann man dem Bild entnehmen:378
-->Bild groß<--
Eine Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal ist auch nicht schwierig. Es wird ein gleichseitiges Dreieck mit der Länge der Strecke AB konstriert, dessen dritter Punkt (im 1. Quadraten wählen) wird zum Mittelpunkt M eines Kreises, auf dem die Punkte des kleinen Sechsecks liegen. Der Mittelpunkt M ist - wie man leicht sieht auch der Mittelpunkt des großen Sechsecks. Die 12 Dreiecke die zwischem kleinen und großen Sechseck enstehen haben alle den gleichen Flächeninhalt. (Gleiche Seitenlänge und Höhe lässt sich zeigen) Im kleinen Sechseck gibt es 6 genau so große Dreieecke. Also besteht das große Sechseck aus insgesamt 18 flächengleichen Dreiecken, damit genau 3 mal mehr wie das kleine Sechseck.
Agroß : Aklein = 3 :1 Nimmt ein n-Eck (ungleich 6, n>4), so ist das Verhältnis zwischen großem und kleinen n-Eck nicht mehr ganzzahlig.