Serie-28
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Aufgabe 10:
334. Wertungsaufgabe
„Eigentlich war ja die letzte Aufgabe nicht schwer, aber man muss eben darauf kommen“, sagte Lisa. „Da wird es mit der Aufgabe für euren Mathematikclub sicher einfacher sein.“ Lass hören:
Wie viele dreistellige Zahlen gibt es, deren Ziffern alle verschieden sind. Außerdem sollen sich benachbarte Ziffern der Zahl um 1 unterscheiden. (Ausnahme: Es darf aber eine Neun neben einer Null stehen.) 4 blaue Punkte. Wie viele solcher Zahlen mit beliebiger Stellenzahl gibt es? 8 rote Punkte.
english version:
“Last week's maths problem wasn't exactly difficult if you know how to solve it”, Lisa said. “I guess the problem of your Maths Club will be more challenging. Let me hear.”
How many three-digit numbers are there whose digits are all different and differ by 1 in adjacent pairs (with the exception of 9 and 0)? - 4 blue points. How many of these numbers of any length are there? - 8 red points.
Lösung/solution:
Am besten man macht es gleich systemtisch:
1. Man nimmt einstellige Zahlen dann erhält man natürlich 10. (Einige Teilnehmer haben die weggelassen, weil von Ziffern die Rede war, aber kein Problem)
2. Nun betrachtet man zweistellige Zahlen und nimmt dazu, damit man nichts vergisst die 10 Ziffern aus 1. als "letzte" Stelle, denn die Null als erste geht eigentlich nicht. Beginnend mit der Null als letzte Ziffer ergeben:
10; 90; 21; 12; 32; 23; 43; 34; 54; 45; 65; 56; 76; 67; 87; 78; 98; 89; Es sind 18 Möglichkeiten.
3. dreistellige Zahlen (blau): Das Verfahren von der letzten Ziffer auszugehen kann auch hier wieder angewandt werden.
Damit kommt man natürlich auch auf die zweistelligen, wobei die 2 und die 8 am Ende nur jeweils einmal genommen werden können, dafür aber jetzt die 1 und die 9 je zweimal an der letzten Stelle Verwendung finden. Es sind also wieder 18 Zahlen.
210; 890; 321; 901; 012; 432; 123; 543; 234; 654; 345; 765; 456; 876; 567; 987; 678; 098; 789; 109;
4. Die Ersetzungsmöglichkeiten sind bei vierstelligen Zahlen analog --> wieder 18 Möglichkeiten. Damit sind es insgesamt 172 = 10 + 9*18 Zahlen, die so gebildet werden können.