Serie-23

Aufgabe 10

„Was ist denn das für ein interessantes Gebilde?“, fragte Mike, als er Lisa beim Basteln eines durchlöcherten Würfels überraschte. „Nun zu erst hatte ich einen Würfel von 27 cm Kantenlänge. Dann habe ich den aus 9 cm großen Würfeln noch einmal gebaut. Das war aber etwas langweilig und so habe ich vorsichtig immer die Würfel heraus genommen, die mit Ihren Flächen mindestens 4 andere berührten. Den Rest habe ich dann verleimt, damit das Gebilde nicht verrutscht.“ Wie viele der 9 cm großen Würfel wurden entfernt? - 2 blaue Punkte. Wie groß sind Oberfläche und Volumen des so entstandenen Gebildes? - 8 blaue Punkte dazu.
Auch Bernd staunte. „Ich stelle mir gerade vor, wir würden nun mit 3 cm großen Würfeln Lisas „Lochwürfel“ noch mal bauen. Dann nehmen wir nach der gleichen Vorschrift (bezogen auf die vorher noch vollen Würfel)* wieder Würfel heraus. Das sieht bestimmt cool aus. Vielleicht solltet ihr das in eurer Mathegruppe mal basteln.“ „Das machen wir bestimmt mal,“ Wie viele der 3 cm großen Würfel wurden entfernt? - 1 roter Punkt. Wie groß sind Oberfläche und Volumen des so entstandenen Gebildes? - 7+4 rote Punkte dazu.

Lösung

Hier gab es etwas Verwirrung, da es einen "Druckfehler" in der ersten Version der Aufgabe gab. Hier nun aber die Lösung:
blau:
Die Anzahl der heraus zunehmenden Würfel ist 7.
Kleine Überlegung. Jeder Würfel hat sechs Seiten, also maximal 6 Nachbarn. Zieht man die sichtbaren Seiten von 6 ab, so erhählt man die Zahl der Nachbarn. ...
Der große Würfel wurde durch 27 kleine ersetzt.
7 Würfel kommen weg ⇒ V = 20/27 des Ausgangsvolumens V₀ = 27³ cm³ = 19683 cm³. V_blau= 14580 cm³
Die Ausgangsoberfläche A₀ (6 &middat; 27² = 4374 cm²) wird durch 54 kleine Flächen ersetzt. Davon kommen 6 weg, aber innen 6 x 4 = 24 hinzu.
Es sind also 54 + (24 - 6) = 72 kleine Flächen oder 72/54 A₀ = 4/3 A₀ = 4/3 · 4374 cm² = 5832 cm²
rot: Auch hier gab es Irritationen, wegen der Nachbarschaftsregel. *(bezogen auf die vorher noch vollen Würfel) sollte heißen, dass nur die zu ersetzenden großen Würfel einzeln zu betrachten waren. Dass die kleinen dann Nachbarn bekommen, die vorher zu einem anderen großen Würfel gehörten, sollte nicht ber¨cksichtigt werden. Damit entsteht dann dieses Bild. (Nun ja, der sogenannte "Menger-Schwamm", um den es sich hier handelt, lässt sich eindeutiger und kürzer beschreiben, aber dann wäre eben auch ein Teil der Aufgabenstellung nicht mehr vorhanden gewesen. Punkte auf Grund der Irritationen gab es trotzdem.)
Jeder der 20 Würfel wurde durch 27 kleinere Würfel ersetzt. Es werden also 20 x 7 = 140 Würfel entfernt.
Das Volumen ist denkbar einfach: Jeweils 7 der 27 Würfel werden entfernt, also bleibt 20/27 V_blau und das sind 10800 cm³ (oder 20 x 27 - 140 = 400 Würfel ⇒ 400 · 27 cm³ = 10800 cm³)
Oberfläche: Die 72 Flächen aus dem blauen Teil werden durch 72 x 9 = 648 ersetzt. davon werden in den "Eckbereichen" je 3 also 8 x 3 = 24 entfernt. In den "Mittelstücken je 4 also 12 x 4 = 48. Hinzu kommt, dass an jeder Stelle, wo ein Würfel (außer dem in der Mitte) entfernt wurde 4 neue Flächen auftauchen. 20 x 6 x 4 = 480 kommen hinzu.
Es sind also 648 - 24 - 48 + 480 = 1056 Flächen. Diese sind je 9 cm² groß also ergibt sich eine Oberfläche 9504 cm²
Auf die Herleitung von allgemeinen Formeln wird hier verzichtet. Zu beachten ist, dass einige Formeln im Internet die ursprünglichen Außenflächenteile vernachlässigen.