Serie-23

Aufgabe 4

„Die letzte rote Aufgabe führt letztlich auf das Dudeney Puzzle, das fand ich verblüffend“, gab Bernds Opa verwundert zu, als er die Aufgabe mit den vier Experten durchgegangen war.  „Denkt aber auch daran, dass die Mitglieder eurer Mathematikgruppe mal etwas körperliche Bewegung gebrauchen können. Wie viele sind denn in eurer Gruppe?“ „Das wechselt immer mal, aber so zwischen 8 und 12 sind es schon“, sagte Lisa. „Alle klar. Also, wenn es z.B. 8 sind, dann sollen die sich (durchnummeriert) in einem Kreis aufstellen und im Uhrzeigersinn sich nacheinander immer einen Ball zuwerfen. Ein paar Runden, so dass immer der nächste den Ball bekommt. Dann wieder Start bei Nummer 1, der Ballwurf so, dass jeder zweite den Ball bekommt. Neues Spiel - nun ist es jeder dritte, na und so weiter bis zur sieben.“ „Verstanden, aber da gibt es doch sicher auch Runden, wo mal einige (oder mindestens einer) den Ball gar nicht bekommen.“ „Das stimmt schon, aber Spaß macht es trotzdem.“ Es gibt so viele blaue Punkte wie es Runden gibt, wo jeder Teilnehmer mal den Ball bekommt. Bei welcher der möglichen Teilnehmerzahlen von 8 bis 12 passiert es nicht, dass, egal wie die Wurfregel lautet, mal irgendwelche Leute in der Runde den Ball nicht bekommen können. Bei welcher Art von Teilnehmerzahlen tritt dieses „Alle machen immer mit“-Phänomen auf? 4 rote Punkte. (Anmerkung: Jede mögliche Spielsituation kann beliebig lange dauern, mindestens so lange bis klar ist, ob die Teilnehmer den Ball bekommen können oder eben auch nicht.)

Lösung

blau: hier kann man die Varianten durchaus schnell notieren:
Anzahl der Teilnehmer t ist 8
Wurfmodus 1: 1 - 2 - 3- 4- -5 -6 - 7 - 8 - fertig jeder hatte mal den Ball
Wurfmodus 2: 1 - 3 - 5 - 7 - 1 - 3 - ... es ist leicht zu sehen, dass die Spieler mit den geraden Nummern den Ball nicht bekommen.
Wurfmodus 3: 1 - 4 - 7 - 2 - 5 - 8 - 3 - 6 - 1 - fertig jeder hatte mal den Ball
Wurfmodus 4: 1 - 5 - 1 - 5 - ... es ist leicht zu sehen, dass nur zwei Spieler den Ball bekommen.
Wurfmodus 5: 1 - 6 - 3 - 8 - 5 - 2 - 7 - 4 - 1 - fertig jeder hatte mal den Ball
Wurfmodus 6: 1 - 7 - 5 - 3 - 1 - ... es ist leicht zu sehen, dass die Spieler mit den geraden Nummern den Ball nicht bekommen.
Wurfmodus 7: 1 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - fertig jeder hatte mal den Ball
Es sind also 4 Wurfmodi, bei denen jeder Teilnehmer den Ball bekommt. Also gibt es maximal 4 blaue Punkte
Anmerkungen:
Es ist aber noch mehr erkennbar. Wurfmodi (wm), die sich zu 8 addieren sind, entsprechen einander, nur das die Fängerfolge umgekehrt ist.
Sind t und wm teilerfremd sind alle beteiligt. Die Zahl der Beteiligten (b) lässt sich als b = ggT (t;wm) beschreiben - ggT - größter gemeinsamer Teiler
rot: Mit den obigen Anmerkungen ist die Frage schon fast beantwortet. Bei 11 Teilnehmern gilt für alle Wurfmodi ggT (11; wm) = 1. Dies gilt entsprechend für alle Teilnehmerzahlen, wenn diese eine Primzahl sind.
Den zugrunde liegenden zahlentheoretischen Bezug üerlasse ich dem geneigten Leser.