Serie-20

Aufgabe 12

"Nach so vielen eckigen Aufgaben haben wir uns in unserer Mathematikgruppe wieder mal dem Kreis zugewandt und sind dabei auf folgendes Problem gestoßen und das könnte dich interessieren", sagte Maria zu ihrem Vater, der sich seit längerem nicht um die Aufgaben kümmern konnte. "Eigentlich sollte ich es dir nicht erzählen, denn wenn wir uns das als echten Wettbewerb vornehmen würden, hättest du keine Chance gegen mich." Ist ja nett von dir, dass du deinen Vater nicht reinlegen willst oder denkst du ich bin zu alt?" Nein, das ist es natürlich nicht, es ist die Mathematik, die sich dahinter verbirgt, die mir eine Chance gibt. Du erinnerst dich doch noch an den ideal  kreisförmigen See vom letzten Urlaub in der Eiffel, an dessen Ufer ein Rundweg war." "Aber klar doch, der hatte einen Radius von ziemlich genau 100 m." (3 blaue Punkte für Flächeninhalt und Umfang eines halb so großen Sees.)
"Nun die nicht wirklich faire Wette. Du bist am Ufer. Ich sitze in einem Tretboot in der Mitte des See und wette mit dir, dass ich es schaffe, vor dir an einer bestimmten Stelle des Ufers zu sein." "Ich bin aber schneller als du, ich gehe mal von 4m/s aus, während du nur 1 m/s schaffst." "Von diesen Werten bin ich auch ausgegangen." "Na gut, wenn du geradewegs auf das Ufer zu ruderst, brauchst du 100 Sekunden, in der Zeit schaffe ich 400 Meter -- um den halben See herum sind es aber nur 314 Meter, also schaffe ich es locker." "Stimmt, aber wenn ich mich 24 Meter auf das Ufer zu bewege, dann brauche ich nur 76 Sekunden. Würdest du mir in dem Moment am Ufer genau richtig weit weg gegenüberstehen -- also 74 m Meter weg, dann würdest du in 76 Sekunden nur 304 m schaffen und keine 314 Meter, die du brauchst." "Das ist richtig, aber wie willst du es schaffen, dass ich dir so gegenüberstehe?" "Da habe ich eine Idee, ..." "Du meinst ohne Hilfe von irgendwelchen äußeren Einflüssen und bei meinem Willen eigentlich auch zu gewinnen, sollte das gehen?" "Ja, ich denke schon!" (6 rote Punkte für die Strategie + x Punkte für die Zeit vom Beginn des Experiments bis zum Erreichen des Ufers durch Maria.)

Lösung

Blau, nun das ist ja nicht schwer.
Antwort von Eric, danke.
Halber Radius geg.: r₁=100m-> r₂=50m
ges.: A, u
A=π*r² A=π*(50m)² A=7853,98m²
u=2π*r u=2π*50m u=314m
Der Flächeninhalt des halb so großen See's wäre also 7853,98m² und der Umfang wäre 314 m groß.
rot:
Maria rudert 24 Meter auf ihren Vater zu, ist also 76 m vom Ufer entfernt. Wenn sie nun beginnt im Kreis zu rudern, wird der Vater mit dem gleichen Umlaufsinn mit laufen. (macht er es nicht, erreicht sie ja nach einer halben Umkreisung schon den obigen Abstand.) Läuft er gegen ihren Umlauf erreicht Maria den gewünschten Punkt noch eher. ...
Der Umfang ihrer Bahn liegt bei π*2*24 m (rund) 151 m. Sie braucht dafür 151 Sekunden. In dieser Zeit schafft der Vater 604 m. Das aber ist weniger als der Umfang des Sees. Somit bleibt der Vater hinter Maria zurück. Also selbst, wenn man davon ausgeht, dass der Vater dieses Tempo sehr lange durchhält, kann er auf Dauer nicht verhindern, dass Maria auf Ihrer Bahn einen Punkt erreicht, von dem aus sie zum Ufer starten kann.
Wie lange dies mindestens dauert, mag der geneigte Leser selber noch nachrechnen.