Serie-18

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Aufgabe 10

214. Wertungsaufgabe
"Hallo Mike, die letzte Aufgabe war ja wirklich nicht schwer, so dass alle unsere fleißigen Tüftler es heraus bekommen haben", sagte Maria. Jetzt wiederholen wir gleich noch mal die Kongruenzsätze für Dreiecke insgesamt und wenden das auf die Vierecke an, in denen welche drin sind. So haben wir auch gleich noch mal gezeigt, dass die übliche Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke auch wirklich eine Gerade erzeugt, die diesen Namen verdient." - 3 blaue Punkte
"Kennst du auch verwandte Dreiecke?" "Was soll denn das sein?" Nun das sind zwei Dreiecke, die in 5 Stücken übereinstimmen, aber trotzdem nicht kongruent sind." "Ehrlich?" "Aber ja doch. Du nimmst z.B ein Dreieck, mit den Maßen 9 cm, 6 cm und 4 cm. Ein damit verwandtes Dreieck hat die gleichen drei Winkel und als Seitenlängen eben auch 9 cm bzw. 6 cm. Da es mehrere Verwandte gibt, sollst du dasjenige finden, wo die fehlende Seite länger als 9 cm ist." 3 rote Punkte.

Lösung

Blaue Punkte: Bezug nehmend auf die Aufgabe 9 lässt sich schnell zeigen, dass die Schnittpunkte X und Y der Kreisbögen um A und B Eckpunkte eines Rhombus sind (Seitenlänge = Radius) Damit gilt, dass XY die Strecke AB halbiert und zu ihr senkrecht ist.
Ein schrittweise Herleitung nur mittels der Kongruenzsätze gibt es hier
Nach dem Hauptähnlichkeitssatz sind die verwandte Dreiecke einander ähnlich. (zwei Winkel gleich, ...). Damit stehen die stehen einander entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis. Die gesuchte Seite x ist die längste Seite (9 und 6 cm sind ja schon vorgeschlagen.
Also gilt Für erstes und zweites Dreieck: 9 cm : 6 cm : 4 cm = x : 9 cm : 6 cm
Bei dem schon bekannten Verhältnis ist ablesbar, dass die Seiten um die Hälfte länger sind also ist x = 13,5 cm.