Serie-18

Aufgabe 8

212. Wertungsaufgabe
"Dein Vater hat uns ja ganz schön auf Trab gehalten mit seinen Proniczahlen und ich vermute, da wird er uns wohl irgendwann noch mal was nachliefern", war Mike überzeugt. "Das vermute ich auch", sagte Bernd, "es aber war mal wieder was anderes. Nun ist ja bald das Osterfest und da sollten wir uns mal diesem schönen Ei zuwenden."

"Das sieht ja richtig gut aus. Wie hast du das konstruiert?", fragte Lisa. "Wie das konstruiert wird, das kann deine Gruppe selber herausfinden. (6 blaue Punkte für eine Konstruktionsbeschreibung.) Natürlich hat das Ei eigentlich keine weißen Streifen im Inneren, die sind nur zur Hilfe gedacht. Das grüne Dreieck ist rechtwinklig und gleichschenklig, wobei die längste Seite mit 4 cm gut hinkommt. Alles, was rund aussieht, ist mit dem Zirkel zu zeichnen. Die blauen Teile sind direkt miteinander "verwandt" , das heißt, die Maße für das Dreieck werden  von den oberen beiden blauen Teilen übernommen, so als hätte man die Eispitze glatt abgeschnitten. Welchen Flächeninhalt dieses Ei hat, ist für 8 Punkte herauszubekommen." Für Leser des Newsletter gibt es noch ein extra Ei dazu.

Lösung

Konstruktionsbeschreibung von Doreen, danke
-die vorgegebene 4cm Seite zeichnen
-die beiden Winkel an den Schenkeln des Dreiecks betragen jeweils 45°, diesen abmessen und so die 2. und 3. Dreiecksseite zeichnen, am dem Punkt, wo sich die beiden Linien schneiden, ist der 90°-Winkel ->das 1. Dreieck ist fertig
-mit dem Zirkel die Länge der kürzeren Seite abmessen und auf der verlängerten wagerechten Linie der kürzeren Seite übertragen->Linie von dort zur senkrechten Linie des 1. Dreiecks, 2. Dreieck ist fertig
-Verlägerung der beiden 4cm-Seiten nach oben
-am äußersten linken Punkt der unteren kurzen Dreieckseite mit dem Zirkel bis zum rechten Punkt abmessen und Bogen von dort nach oben zeichnen bis zur verlängerten 4cm-Linie->auf der anderen Seite genauso machen->nun haben wir die „Flügel“
-für die Eispitze mit dem Zirkel abmessen von der oberen Spitze der beiden gelben und grünen Dreiecke zum oberen Rand der „Flügel“und einen Bogen zur anderen Seite zeichnen (das ist ein Viertelkreis mit 90°Winkel, weil die umliegenden Winkel 270°ergeben)
-die senkreche Linie zwischen dem gelben und grünen Dreieck nach unten in den Halbkreis verlängern
-für das blaue Dreieck im Halbkreis unten von der oberen Spitze der beiden gelben und grünen Dreiecke zum oberen Rand der „Flügel“mit dem Zirkel abmessen und dann auf der senkrechten Linie im unteren Halbkreis schräg nach links und rechts dieses Maß auf die unteren kurzen Seiten der Dreiecke übertragen
->fertig ist unser Osterei, ehrlich gesagt ist es schwieriger zu beschreiben als zu zeichnen
Hier mal noch das Bild von Andree, danke

Bei den eingesandten Lösungen gab es verschiedene Ergebnisse, aber die konnten ja nicht alle richtig sein. :-)
Gegeben war die längste Seite der Dreiecke mit e= 4 cm.
Mit dem Satz des Pythagoras erhält man die kürzere Strecke a mit 0,5 Wurzel(2) * 4 cm bzw. 0,5 Wurzel(2) * e.
a ist zu gleich Radius des Halbreises der den unteren (rot und blau) des Eies bildet. A₁=0,5Πa²
Die beiden großen Dreiecke bilden mit den gelben bzw. grünen Teil Kreisauschnitte (-sektoren), die einen Öffnungswinkel von 45° und den Radius 2a haben. Der Flächeninhalt für einen Sektor ist somit Π(2a)²*45°/360° = Πa²/2.
Addiert man bei Sektoren, so ist zu beachten, dass die beiden Dreiecke zweimal dabei sind, also einmal abgezogen werden müssen:
A₂= Πa²/2 + Πa²/2 - a² = (Π -1)a²
So nun noch das blaue Teil aus der Spitze. Auch das ist ein Kreisauschnitt (-sektor), allerdings mit Öffnungswinkel von 90° und dem Radius 2a-e.
A₃= Π(2a-e)²*90°/360°= Π(2a-e)²/4
A= A₁ + A₂ + A₃= 0,5Πa² + (Π -1)a² + Π(2a-e)²
Mit e =Wurzel(2)*a lässt sich die Formel zu A = (3Π - Wurzel(2) *Π - 1)a²vereinfachen.
Mit a = 0,5 Wurzel(2) * e lässt die Formel in Abhängigkeit von der gegebenen Größe e darstellen.
A =(1,5Π - Wurzel(2)*Π/2 - 0,5)e²
Es gibt natärlich auch andere Formen der Zusammenfassung. Mit e = 4 cm ergibt sich dann ein Wert für A von 31,86...cm²
Hier noch die sehr umfassende und übersichtliche Darstellung von Felix Karu, danke
als pdf
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