Serie-16

Aufgabe 5

185. Wertungsaufgabe
Die Kinder in unserer Gruppe haben den Trick mit den Jungen- und Mädchenzahlen schnell durchschaut, fanden es aber cool, sagte Maria ihrem Bruder Bernd. Da fällt mir gleich noch so eine blaue Punkteaufgabe ein (2 Punkte).
Ich gebe dir 5 Euro. Du gehst in einen laden und siehst deine Lieblingssorten Erdbeerbonbons, die kosten 2 Euro, Bromberbonbons für 1,50 Euro und Lakritze für 5 Euro. Wie viele Möglichkeiten gibt es die 5 Euro vollständig auszugeben? (Varianten aufschreiben reicht)
Plötzlich kam noch Mike angestürzt. Ich muss mal schnell noch was mit euch besprechen. Wir hatten in der Schule eine eigentlich einfache Aufgabe zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. In einer Urne sind drei rote und 6 blaue Kugeln drin. Es wird eine Kugel gezogen und draußen gelasssen und dann noch eine zweite. Etwas überraschend für uns war, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei verschiedenfarbige Kugeln genau 0,5 war. Ein Schüler aus der Klasse meinte daraufhin, das Verhältnis von rot zu blau, sei ja auch 0,5, also ist zu vermuten, dass wenn es doppelt so viele blau wie rote Kugeln gibt, dass dann immer für eine solche Ziehung die Wahrscheinlichkeit bei 0,5 liegt. Unser Lehrer meint nun, wir sollten das mal untersuchen.
Anzahl rote Kugeln r, Anzahl blaue Kugeln b, Anzahl alle Kugeln n = a + b
Teil 1: Für welche(s) n gilt b=2a und Wahrscheinlichkeit für den obigen Versuch ist 0,5? (4 Punkte)
Teil 2: Finde eine Beziehung n(a), so dass die Wahrscheinlichkeit für den obigen Versuch ist 0,5? (8 Punkte)
Das klingt kompliziert meinte Maria, na mal sehen. Wo 0,5 ist eine schöne Wahrscheinlichkeit ist, da ja dann das Gegenereignis auch eine Wahrscheinlichkeit von 0,5 hat. Das stimmt, sagte Bernd, bloß schade, dass das wohl keine Aufgabe für deine Gruppe ist.

Lösung

Ich habe die Lösungsvariante von Stefan verwendet, danke.
Bei r roten Kugeln, b blauen Kugeln und somit insgesamt n = r + b Kugeln ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweifachen Ziehen ohne Zurücklegen zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden als Summe der Ziehungen erst rot dann blau und erst blau dann rot zu p = 2(rb)/(n(n-1)). 1. Ist zudem bekannt, dass das Verhältnis r:b = 1:2 folgt unmittelbar b = 2r und n = 3r. Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit p = 4r/(3(3r-1)), da für p = 0,5 gelten soll, ergibt sich nach umstellen r = 3 und demzufolge als einzige Lösung n = 9. 2. Wiederum ist bekannt, dass p = 0,5 gilt. Damit ergibt sich aber auch das Gegenereignis zu gleicher Wahrscheinlichkeit p' = 0,5. p' bezeichnet dabei die Ziehung zweier gleichfarbiger Kugeln, errechnet sich also mittels p' = (b(b-1)+r(r-1))/(n(n-1)). Nun lässt sich p mit p' gleichsetzen. Zusammen mit n = r + b ergibt dies ein unterbestimmtes Gleichungssystem, das unendliche viele Lösungen also eine Lösungsfunktion vermuten lässt. Der Nenner in den Wahrscheinlichkeitstermen ist gleich und lässt sich somit streichen. Der Fall, dass der Nenner Null wird, ist ausgeschlossen, da n nur natürliche Zahlen ab 2 annehmen kann. Durch ausmultiplizieren ergibt sich rr-r + bb - b - 2br = 0. Da ein Zusammenhang zwischen n und r gesucht wird, wird b als Variable betrachtet und r als Parameter. Die Normalform der bezüglich b quadratischen Gleichung führt mittels L&oouml;sungsformel auf b[1] = 0,5+r+0,5sqrt(8r+1) und b[2] = 0,5+r-0,5sqrt(8r+1). Mit n = b+r folgt n = n(r) = 2r+0,5+0,5sqrt(8r+1) und n(r) = 2r+0,5-0,5sqrt(8r+1)
Empfehlung von mir, diese Beziehung mal in einem Tabellenkalkulationsprogramm einzusetzen.
Die blaue Variante wahr nicht schwierig durchzuprobieren:
Die Formel noch mal als Bild von Mike, danke
Formel 16 5
1. 1xLakritze
2. 1*Erdbeer (2 Euro) + 2x Brombere (2x1,50 Euro)
mehr Erdbeer geht nicht, nur Brombere, aber auch nicht.
Mit der Variante, es darf auch Geld übrig bleiben, gibt es noch weitere Lösungen.