Stirling Formel

Die Stirling-Formel wurde 1720 von dem schottischen Mathematiker James Stirling (1692 -1770) entdeckt. (Nicht zu verwechseln mit Robert Stirling, der den Stirlingmotor entwickelt hat)

$n! \appro \sqrt{(2 \cdot \Pi \cdot n)} \cdot n^n \cdot e^{-n}$

Die Formel liefert eine gute Näherung für die Berechnung von n! (sprich n-Fakultät).
Dabei gilt, dass die Formel immer einen Wert liefert, der immer etwas kleiner ist als n!, aber mit größer werdendem n wird die Abweichung immer kleiner - wie man auch an der Tabelle sehen kann.
n! wird u. a. in der Kombinatorik häufig gebraucht, aber auch in der Physik ist diese Angabe von Bedeutung.

n	n!	$n! \appro \sqrt{(2 \cdot \Pi \cdot n)} \cdot n^n \cdot e^{-n}$	Prozent
1	1	0,9221370089	92,2137008916
2	2	1,9190043516	95,9502175786
3	6	5,8362095917	97,2701598621
4	24	23,5061751349	97,9423963956
5	120	118,0191679704	98,349306642
6	720	710,0781847347	98,621970102
7	5040	4980,3958323697	98,8173776264
8	40320	39902,3954595906	98,9642744533
9	362880	359536,872912236	99,0787237964
10	3628800	3598695,61952273	99,1704039771
11	39916800	39615625,0600431	99,2454932761
12	479001600	475687486,596768	99,3081205985
13	6227020800	6187239476,93987	99,3611499891
14	87178291200	86661001766,9526	99,4066304513
15	1307674368000	1300430722623,18	99,4460665779
16	20922789888000	20814114422457	99,4805880759
17	355687428096000	353948328796802	99,5110596659
18	6402373705728000	6372804628686000	99,5381544658
19	121645100408832000	121112786642278000	99,5624042688
20	2432902008176640000	2422786847813670000	99,584234781
21	51090942171709400000	50888617348722700000	99,6039908164
22	1124000727777610000000	1119751495163340000000	99,6219546385
23	25852016738885000000000	25758525383398200000000	99,6383595275
24	620448401733240000000000	618297927345124000000000	99,6533999633
25	15511210043331000000000000	15459594843086300000000000	99,6672393701
26	403291461126606000000000000	402000993287988000000000000	99,680016077
27	10888869450418400000000000000	10855315176686000000000000000	99,6918479564
28	304888344611714000000000000000	303982326428225000000000000000	99,7028360711
29	8841761993739700000000000000000	8816392110931140000000000000000	99,713067567
30	265252859812191000000000000000000	264517096095336000000000000000000	99,722617989
31	8222838654177920000000000000000000	8200764702763260000000000000000000	99,7315531492
32	263130836933694000000000000000000000	262446514264357000000000000000000000	99,7399306454
33	8683317618811890000000000000000000000	8661418387626550000000000000000000000	99,7478011038
34	295232799039604000000000000000000000000	294510096317329000000000000000000000000	99,7552092028
35	10333147966386100000000000000000000000000	10308575174421200000000000000000000000000	99,7621945215
36	371993326789901000000000000000000000000000	371133249377633000000000000000000000000000	99,768792247
37	13763753091226300000000000000000000000000000	13732789294394600000000000000000000000000000	99,7750337671
38	523022617466601000000000000000000000000000000	521876921620823000000000000000000000000000000	99,7809471699
39	20397882081197400000000000000000000000000000000	20354344365543700000000000000000000000000000000	99,7865576657
40	815915283247898000000000000000000000000000000000	814217265202066000000000000000000000000000000000	99,7918879471