Sinussatz

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Sinussatz
Der Sinussatz wird für --> Berechnungen im Dreieck <-- benutzt.
Das Verhältnis zweier Seiten ist gleich dem Verhältnis der Sinuswerte der den Seiten gegenüberliegenden Winkeln.
Herleitung eines solchen Verhältnisses für das spitzwinklige Dreieck ABC mit der Höhe hc.
sinus-kosinus-satz
sin\alpha = \frac{h_c}{b} \longrightarrow h_c = b \cdot sin \alpha \\ sin\beta = \frac{h_c}{a} \longrightarrow h_c = a \cdot sin \beta \\ b \cdot sin \alpha =a \cdot sin \beta \\ \frac{sin \alpha}{sin \beta} = \frac {a}{b}
Anwendungen:
Kennt man zwei Winkel (damit eigentlich auch den dritten) und eine Seite des Dreiecks, dann lassen sich die anderen Seiten mit dem Sinussastz ermitteln. Entspricht dem Kongruenzsatz wsw.
Kennt man zwei Seiten und einen Winkel, der einer dieser Seiten gegenüberliegt, so ist die Lösung nur dann eindeutig, wenn der Kongruenzsatz Ssw angewendet werden kann - der gegebene Winkel müsste der größeren der beiden Seiten gegenüber liegen.
Achtung: Liegt der gegebene Winkel der kleineren Seite gegenüber, dann gibt drei Möglichkeiten.
1. Die Aufgabe hat keine Lösung - daran erkennbar, dass der Sinuswert des zweiten Winkel größer 1 wird, was ja nicht geht.
2. Die Aufgabe hat genau eine Lösung - daran erkennbar, dass der Sinuswert des Winkels genau 1 ist, der zu berechnende Winkel sich zu 90° ergibt.
3. Die Aufgabe hat zwei Lösungen, der sich mit dem Taschenrechner ergebende Winkelwert ist nur eine der Lösung, der zweite Winkelwert ergibt sich, wenn man den "Taschenrechnerwert" von 180° subtrahiert. (wegen sin α = sin (180° - α))