Tangentenkonstruktionen am Kreis

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Tangentenkonstruktionen am Kreis

Hier werden die klasssischen Tangentenkonstruktionen vorgestellt.
Grundlage 1 für die Konstruktionen ist zum einen die Tatsache, dass die Tangente eines Kreises senkrecht zum Berührungsradius verläuft. Grundlage 2 ist der Satz des Thales.

1. Konstruktion einer Tangente an einen Kreis, wenn der Kreis und ein Punkt P auf dem Kreis gegeben sind.
tangentenkonstruktion-1

Konstruktionsmöglichkeit: Der Mittelpunkt M wird mit dem Punkt P durch einen Strahl (von M aus) verbunden. Anschließend wird eine Senkrechte zu diesem Strahl im Punkt P konstruiert. Die so erhaltene Senkrechte ist die gesuchte Tangente.
2. Konstruktuktion von Tangenten an einen Kreis, die durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkte verlaufen sollen.
tangentenkonstruktion-2

Konstruktionsmöglichkeit: Der Mittelpunkt M des gegebenen Kreises und der außerhalb liegende Punkt P werden miteinander verbunden. Die Strecke MP wird halbiert (Grundkonstruktion) und dieser Punkt mit M_MP bezeichnet. Nun wird der Kreis (Mittelpunkt M_MP , Radius MP/2) gezeichnet - im Bild rot. Es entstehen die Schnittpunkte T₁ und T₂. Die Winkel MT₁P und MT₂P sind nach dem Satz des Thales rechte Winkel (im roten Hilfskreis). Die Geraden t₁ und t₂ - siehe Bild - sind die gesuchten Tangenten.
3. Konstruktion von Tangenten an zwei Kreise. - das nicht in jedem Fall möglich - siehe Lagebeziehungen von Kreisen.
3.1 Konstruktion äußerer Tangenten
tangentenkonstruktion-3 k

Bild in groß

Die Konstruktionsbeschreibung bezieht sich auf das Bild r₁ größer r₂ Abstand a der Mittelpunkte ist größer als r₁ + r₂.
Um M₁ wird ein Kreis gezeicnet, der den Radius $r_3 = r_1 -r_2$ hat. (kleiner roter Hilfskreis). Die Strecke M₁M₂ wird halbiert und ein zweiter Hilfskreis (Bild großer roter Kreis) gezeichnet. Dieser zweite Hilfskreis schneidet den kleinen roten Kreis in den Punkten A bzw. B. Diese Punkte werden mit M₂ verbunden - rote Hilfsgeraden. Die Punkte A und B werden auch mit M₁ verbunden. Diese "Verbindungen" schneiden den ersten Kreise in den Punkten T₁ und T₂. Es werden nun die roten Hilfsgeraden parallel durch die Punkte T₁ und T₂ verschoben. Die verschobenen Geraden sind die gesuchten Tangenten. Die Tangenten schneiden sich in einem Punkt T, der auf der Geraden durch M₁M₂ liegt.
Kurzer Einschub: Wie weit ist T von M₂ entfernt? M₁M₂ sei a und gesucht sei x. Hier hilft der Strahlensatz.
$\frac{x}{r_2} = \frac{x+a}{r_1} \\ x = \frac{r_2 \cdot a}{(r_1 - r_2)}$

Sind die Kreise gleich groß, so werden in M₁ und M₂ Senkrechten bezogen auf M₁M₂ errichtet. Diese Senkrechten schneiden die Kreise in den Punkten, die dann durch die gesuchten Tangenten zu verbinden sind. Einen Schnittpunkt T gibt es nicht.
3.2. Konstruktion innerer Tangenten.
Die Konstruktionsbeschreibung bezieht sich auf das Bild r₁ größer r₂ Abstand a der Mittelpunkte ist größer als r₁ + r₂.
tangentenkonstruktion-4 k

Bild in groß

Um den Mittelpunkt M2 wird ein Kreis mit $r_3 = r_1 + r_2$ (linker roter Kreis.) Die Strecke M₁M₂ wird halbiert und ein zweiter Hilfskreis (rechter roter Kreis) gezeichnet. Dieser zweite Hilfskreis schneidet den ersten roten Kreis in zwei Punkten A und B. Diese Punkte werden mit M₂ verbunden - rote Hilfsgeraden. Die Punkte A und B werden auch mit M1 verbunden und schneiden den ersten Kreis in T₁ und T₂. Die roten Hilfsgeraden werden parallel durch die Punkte T₁ und T₂ verschoben. Die so erhaltenen Geraden sind die gesuchten Tangenten.
Kurze Ergänzung: Wie weit ist P von M₂ entfernt? M₁M₂ sei a und gesucht sei x. Auch hier hilft der Strahlensatz.
$\frac{x}{r_2} = \frac{a-x}{r_1} \\ x = \frac{r_2 \cdot a}{(r_1 + r_2)}$

Diese Aufgabenstelungen lassen sich noch abändern, in dem die Tangenten vorgegeben werden und dann die passenden Kreise zu finden sind.

Kommentare

-1 #18 Cassandra 2020-02-20 10:29

fantastic submit, very informative. I'm wondering why the other experts of this sector don't realize
this. You must proceed your writing. I'm sure, you
have a great readers' base already!

+2 #17 Heinzelmännchen 2018-01-09 13:43

Nirgendwo findet man was über Tangenten. ich werde gleich wahnsinnig!!!!! :-|

+5 #16 Thomas Jahre 2017-04-04 12:21

zitiere ~Luka12~:

hallo ich habe folgende Matheaufgabe zu lösen und hoffe es kann jemand helfen:

geg. Kreis mit r 3cm dazu die Tangentenlängen 4cm die sich in einem Punkt außerhalb des Kreisen schneiden sollen, wie kann ich das konstruieren??

Ich nehme mal an, das mit den 4 cm der Abstand vom Berührungspunkt (Tangente/Kreis ) bis zum Schnittpunkt gemeint ist. (Tangenten sind ja eigentlich Geraden ...)
Ich nenne den Berührungspunkt mal B. Radius und Tangenten bilden einen rechten Winkel. Also rechten Winkel zeichnen und die 3 bzw. 4 cm abtragen. Den Punkt der 3 cm entfernt ist, nenne ich M, denn das ist der Mittelpunkt des Kreises an den die Tangenten dran sollen. Der 4 cm entfernte Punkt heißt beispielsweise T, wie Treffpunkt. Das Dreieck an MTB an MT spiegeln, dann hat man den anderen Berührungspunkt . Alles klar?
T. J.

+7 #15 ~Luka12~ 2017-04-04 10:13

hallo ich habe folgende Matheaufgabe zu lösen und hoffe es kann jemand helfen:

geg. Kreis mit r 3cm dazu die Tangentenlängen 4cm die sich in einem Punkt außerhalb des Kreisen schneiden sollen, wie kann ich das konstruieren??

+2 #14 Thomas Jahre 2017-01-08 17:10

zitiere Charlotte:

Ich muss für eine Matheschulaufgabe lernen. Und da ich nicht so gut in Mathe bin, wollte ich hier nochmal schauen wie man eine Tangente konstruiert, aber irgendwie hat mir der Text nicht geholfen... ich verstehe genau so viel wie davor. Das heißt: nichts...
Kann mir das jemand vielleicht nochmal erklären dass ich das auch verstehe

Die genaue Frage bitte im Forum stellen:
www.schulmodell.eu/fuer-die-freizeit/forum10.html

+3 #13 Charlotte 2017-01-08 14:50

Ich muss für eine Matheschulaufga be lernen. Und da ich nicht so gut in Mathe bin, wollte ich hier nochmal schauen wie man eine Tangente konstruiert, aber irgendwie hat mir der Text nicht geholfen... ich verstehe genau so viel wie davor. Das heißt: nichts...
Kann mir das jemand vielleicht nochmal erklären dass ich das auch verstehe :-?

+1 #12 Thomas Jahre 2016-12-20 20:06

zitiere Marie Cocoa:

Ich muss in Mathe eine Hausaufgabe machen, konstruiere zwei innere Tangenten... ich hab schon überall wo es möglich ist, geguckt habe jedoch nichts gefunden.
Was sind innere Tangenten und wie konstruiert man sie am leichtesten?????
Danke M.

Hallo Marie,
unter dem Punkt 3.2 ist die Konstruktion gezeigt.
Leicht? Nun, das kannst nur du entscheiden,
Thomas

+5 #11 Marie Cocoa 2016-12-20 16:01

Ich muss in Mathe eine Hausaufgabe machen, konstruiere zwei innere Tangenten... ich hab schon überall wo es möglich ist, geguckt habe jedoch nichts gefunden.
:-?