komplexe Zahlen

komplexe Zahlen

Eine der Motivationen komplexe Zahlen einzuführen ist die Aufgabe Lösungen für x² + 1= 0 zu finden. Im Bereich der rellen Zahlen ist diese Aufgabe nicht lösbar.
Nun x²= -1 als i² = 1 festgelegt i ist dann Wurzel aus -1.
i wird als imaginäre Einheit bezeichnet.
Eine komplexe Zahl a hat dann diese Struktur x = a + b \cdot i
a ist der reelle Anteil der Zahl und b der imaginäre Anteil. ( a und b sind reelle Zahlen.
Die graphische Darstellung einer solchen Zahl erfolgt dann nicht mehr auf einer Zahlengeraden, sondern auf einer Zahlenebene. (Vergleichbar mit Punkten einer Funktion in einem Koordinatensystem.)
Addition: (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
Subtraktion: (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2) + (b1 - b2)i
Multiplikation: (a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_ 2 i) = a_1 \cdot a_2 + a_1 \cdot b_2 i + b_1 i \cdot a_2 + b_1 i \cdot b_2 i
unter Berücksichtigung i² = -1 lässt sich das Ergebnis so zusammenfassen:
(a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_ 2 i) = (a_1 \cdot a_2 - b_1 \cdot b_2) + ( a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1) i
Division: Auch gilt, dass eine Divison durch Null ausgeschlossen wird:
\frac {(a_1 + b_1 i)}{(a_2 + b_ 2 i)} = \frac {(a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 - b_ 2 i)}{(a_2 + b_ 2 i) \cdot (a_2 - b_ 2 i)} = \frac {a_1 a_2 + b_1 b_2}{{a_1}^2 + {b_2}^2}+\frac {b_1 a_2 - a_1 b_2}{{a_1}^2 + {b_2}^2} \cdot i
Es ist mit der konjugiert komplexen Zahl erweitert worden.
Der Betrag einer komplexen Zahl x = a + b i ist dann |x| = \sqrt {a^2 + b^2} Dies ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras.