Mathelexikon

Altersquotient

Altersquotient

Altersquotient ist ein Begriff aus der Bevölkerungsstatistik.
Es ist der Quotient aus dem Anteil der nicht mehr berufstätigen Bevölkerung und dem Anteil der im Berufsleben stehenden Menschen.
An dieser Definition sieht man, dass es ein etwas schwammiger und sich verändernder Wert ist.
--> siehe Bundesinstitut für Bevölkerungsforschung <--

Der reziproke Wert des Altersquotienten ist dann der Jugendquotient.

Wanderungsgewinn

Wanderungsgewinn

Wanderungsgewinn ist ein Begriff aus der Bevölkerungsstatistik.
Man versteht darunter die Differenz von Menschen, die innerhalb eines Jahres(meistens, auch andere Zeiträume üblich) aus einem Land einwandern und denen, die in diesem Zeitraum auswandern.
je nach Wichtigkeit und Bedarf wird zwischen Wanderungsgewinnen zwischen Kreisen, Stadt-Land, Bundesländern und Nationalstaaten unterschieden.
Der Wanderungsgewinn und z. B. die Geburtenrate sind wichtige Daten zur Prognose über den Ausbau des öffentlichen Dienstes, der Planung von Steueraufkommen und und und.
Daten für Sachsen

Matt Parker Zahl

Matt Parker Zahl

Matt Parker ist der Autor von "Auch Zahlen haben Gefühle" - eine merkwürdige Übersetzung des Originaltitels "Things to make and Do in the Fourth Dimension".
(ISBN 978-3-498-05241 6) - Ich kann es sehr empfehlen.
Die Matt Parker Zahl steht auf Seite 69 der deutschen Aufgabe. (Er hat sie entdeckt, würde sie auch vielleicht so nennen, aber traut sich nicht, also mach ich es für ihn).

Es ist die Zahl: 90 525 801 730

Es ist eine besondere figurierte Zahl und zugleich eine Pyramidenzahl.
Da man solche Zahlen auch gut mit Apfelsinen darstellen kann, findet man Informationen dazu beispielsweise in Aufgabe 347 (Serie 29) und Aufgabe 453 (Serie 38).

Eine solche Zahl ist die 10. Eine Dreieckszahl
x
xx
xxx
xxxx
Aus 10 "Apfelsinen" lässt sich aber auch eine dreiseitige Pyramide stapeln.
Matt suchte nun Zahlen, die man einerseits braucht um eine n-seitige Fläche zu legen, aber auch eine n-seitige Pyramiden zu stapeln.
So ist 4900 die einzige Zahl, aus der sich ein 70x70 Quadrat, aber auch eine 4 seitige Pyramide stapeln kann (besteht aus 24 Schichten).

90 525 801 730 Apfelsinen werden gebraucht um eine 31 265-Ecksfigur mit der Kantenlänge von 2407 zu legen. Man aber daraus auch eine 259-stufige Pyramide stapeln, deren Grundfläche 31 265 Ecken hat.

Matt Parker hat als erster diese Eigenschaft der Zahl 90 525 801 730 herausgefunden, Glückwunsch.

Münchhausenzahl

Münchhausenzahl

Die Bezeichnung einer solchen Zahl geht auf den legendären Baron Münchhausen zurück.
Auf dem Bild (Notgeld der Stadt Rinteln) sieht man, dass der Baron sich selber aus dem Sumpf zieht. (Für ihn gilt also das Wechselwirkungsgesetz von I. Newton nicht).

baron

So ist dann auch eine Münchhausenzahl gedacht.
Man nimmt die Ziffern einer natürlichen Zahl n und potenziert diese mit sich selbst. Anschließend werden die Potenzen addiert. Ist die Summe der Potenzen gleich der Zahl an, so wird n eine Münchhausenzahl genannt.
Die langweilige Münchhausenzahl ist die 1, denn 11=1.

Die einzige bekannte (interessante) Münchhausenzahl ist die 3435. Es gilt 33 + 44 + 33 + 55 = 27 + 256 + 27 + 3025 = 3435.
(Anmerkungen: 3435 - einzig bekannte Münchhausenzahl (außer 1) im dekadischen Zahlsystem, wenn nicht geschummelt wird und 00=0, statt 00=1 verwendet wird. Einen Beweis für die Einzigartigkeit habe ich nicht gefunden.)
Ist die Basis der Zahl n die 12, so ist 3A67A54832 auch eine Münchhausenzahl. (Im dekadischen System ist das die Zahl 20017650854.)

 

Goniometrie

Goniometrie

Die Goniometrie (griech: gonia - Winkel, metrein - messen) ist ursprünglich die Lehre vom Winkelmessen.
Es ist aber nicht das Zeichnen oder Messen von Winkeln gemeint, sondern das Rechnen mit Winkelfunktionen bzw. das Lösen von Gleichungen, die auf Winkelfunktionen basieren - trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan).
Die trigonometrischen Funktionen sind also eher ein Teilgebiet der Goniometrie.
Um goniometrische Gleichungen zu lösen, werden meist numerische oder grafische Näherungsverfahren (Nullstellen) verwendet, da es für die meisten gon. Gleichungen keine Lösungsformel gibt.
tan x - 2x = 0 Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
sin (4x) - 2x = 0 hat genau 3 Lösungen +-0,47387356.. und 0

zyklische Primzahlen

zyklische Primzahlen

Unter zyklischen Primzahlen versteht man Primzahlen, die nach jedem zyklischen Tauschen der Ziffern wieder auf Primzahlen führen.
Ziffern mit a, b, c , ... bezeichnet.

ab --> ba --> ab --> Beispiel 13 --> 31 --> 13

abc --> bca --> cab --> Beispiel 197 --> 971 --> 719 --> 197

abcd --> bcda --> cdab --> dabc --> abcd --> Beispiel 1931 --> 9311 --> 3119 --> 1193 --> 1931

zum Weiterlesen: http://primes.utm.edu/glossary/xpage/CircularPrime.html

Primzahlformel

Primzahlformel

Eine Primzahlformel gibt es leider (bisher?) nicht. Gemeint ist hier eine Formel, die entweder alle Primzahlen liefert oder doch zumindest als Lösung immmer Primzahlen liefert.
Eine der bekanntesten Formeln dieser Art ist y=n²+n+41. Diese Formel liefert für viele n (n- natürliche Zahl) Primzahlen, nicht immer, aber erstaunlich oft.

--> Primzahltest im Lexikon <--

n y=n²+41n+41 y prim?
0 41 ja
1 43 ja
2 47 ja
3 53 ja
4 61 ja
5 71 ja
6 83 ja
7 97 ja
8 113 ja
9 131 ja
10 151 ja
11 173 ja
12 197 ja
13 223 ja
14 251 ja
15 281 ja
16 313 ja
17 347 ja
18 383 ja
19 421 ja
20 461 ja
21 503 ja
22 547 ja
23 593 ja
24 641 ja
25 691 ja
26 743 ja
27 797 ja
28 853 ja
29 911 ja
30 971 ja
31 1033 ja
32 1097 ja
33 1163 ja
34 1231 ja
35 1301 ja
36 1373 ja
37 1447 ja
38 1523 ja
39 1601 ja
40 1681 nein
41 1763 ja
42 1847 ja
43 1933 ja
44 2021 nein
45 2111 ja
46 2203 ja
47 2297 ja
48 2393 ja
49 2491 nein
50 2591 ja
51 2693 ja
52 2797 ja
53 2903 ja
54 3011 ja
55 3121 ja
56 3233 nein
57 3347 ja
58 3463 ja
59 3581 ja

Newton-Gerade

Newton-Gerade

newtongerade

In einem konvexen Viereck ABCD - mit maximal einem Paar zueinander paralleler Seiten - seien die Punkte E und F die Mittelpunkte der Diagonalen. Die Gerade durch E und F heißt Newton-Gerade. Isaac Newton bewies, wenn ein solches Viereck einen Innenkreis besitzt, liegt dessen Mittelpunkt auf der Gerade durch E und F - der Newton-Geraden g.
Verbindet man die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten eines solches Vierecks miteinander., so liegt der Schnittpunkt der Schnittpunkte der Verbindungsgeraden ebenfalls auf der Geraden g.
(Anmerkung: Sind zwei Paare paralleler Seiten in einem konvexen Viereck vorhanden, so halbieren sich die Diagonalen wechselseitig. Damit wäre die Lage einer solchen Geraden g nicht eindeutig.)

Stirling Formel

Stirling Formel

Die Stirling-Formel wurde 1720 von dem schottischen Mathematiker James Stirling (1692 -1770) entdeckt. (Nicht zu verwechseln mit Robert Stirling, der den Stirlingmotor entwickelt hat)

n! \appro \sqrt{(2 \cdot \Pi \cdot n)} \cdot n^n \cdot e^{-n}

Die Formel liefert eine gute Näherung für die Berechnung von n! (sprich n-Fakultät).
Dabei gilt, dass die Formel immer einen Wert liefert, der immer etwas kleiner ist als n!, aber mit größer werdendem n wird die Abweichung immer kleiner - wie man auch an der Tabelle sehen kann.
n! wird u. a. in der Kombinatorik häufig gebraucht, aber auch in der Physik ist diese Angabe von Bedeutung.

n n! n! \appro \sqrt{(2 \cdot \Pi \cdot n)} \cdot n^n \cdot e^{-n} Prozent
1 1 0,9221370089 92,2137008916
2 2 1,9190043516 95,9502175786
3 6 5,8362095917 97,2701598621
4 24 23,5061751349 97,9423963956
5 120 118,0191679704 98,349306642
6 720 710,0781847347 98,621970102
7 5040 4980,3958323697 98,8173776264
8 40320 39902,3954595906 98,9642744533
9 362880 359536,872912236 99,0787237964
10 3628800 3598695,61952273 99,1704039771
11 39916800 39615625,0600431 99,2454932761
12 479001600 475687486,596768 99,3081205985
13 6227020800 6187239476,93987 99,3611499891
14 87178291200 86661001766,9526 99,4066304513
15 1307674368000 1300430722623,18 99,4460665779
16 20922789888000 20814114422457 99,4805880759
17 355687428096000 353948328796802 99,5110596659
18 6402373705728000 6372804628686000 99,5381544658
19 121645100408832000 121112786642278000 99,5624042688
20 2432902008176640000 2422786847813670000 99,584234781
21 51090942171709400000 50888617348722700000 99,6039908164
22 1124000727777610000000 1119751495163340000000 99,6219546385
23 25852016738885000000000 25758525383398200000000 99,6383595275
24 620448401733240000000000 618297927345124000000000 99,6533999633
25 15511210043331000000000000 15459594843086300000000000 99,6672393701
26 403291461126606000000000000 402000993287988000000000000 99,680016077
27 10888869450418400000000000000 10855315176686000000000000000 99,6918479564
28 304888344611714000000000000000 303982326428225000000000000000 99,7028360711
29 8841761993739700000000000000000 8816392110931140000000000000000 99,713067567
30 265252859812191000000000000000000 264517096095336000000000000000000 99,722617989
31 8222838654177920000000000000000000 8200764702763260000000000000000000 99,7315531492
32 263130836933694000000000000000000000 262446514264357000000000000000000000 99,7399306454
33 8683317618811890000000000000000000000 8661418387626550000000000000000000000 99,7478011038
34 295232799039604000000000000000000000000 294510096317329000000000000000000000000 99,7552092028
35 10333147966386100000000000000000000000000 10308575174421200000000000000000000000000 99,7621945215
36 371993326789901000000000000000000000000000 371133249377633000000000000000000000000000 99,768792247
37 13763753091226300000000000000000000000000000 13732789294394600000000000000000000000000000 99,7750337671
38 523022617466601000000000000000000000000000000 521876921620823000000000000000000000000000000 99,7809471699
39 20397882081197400000000000000000000000000000000 20354344365543700000000000000000000000000000000 99,7865576657
40 815915283247898000000000000000000000000000000000 814217265202066000000000000000000000000000000000 99,7918879471

Ursprung

Ursprung

Ursprung (in der Mathematik) ist die Bezeichnung für den Ausgangspunktes eines Koordinatensystems.
Im cartesischen System schneiden sich an der Stelle die x-Achse und y-Achse.
Gibt es zwei Koordinaten sind hat der Ursprung die Koordinaten (0; 0). Bei drei Koordinaten (0; 0; 0) ...

Nagelpunkt

Nagelpunkt eines (ebenen) Dreiecks

Bei Nagelpunkt handelt es sich nicht um den berühmten Nagel, an den man was (zum Beispiel Boxhandschuhe oder so) hängt, wenn was vorbei ist. Also kein Nagel zum Hinhängen von Dreiecken.
Benannt ist der Punkt nach Christian Heinrich von Nagel, der die Existenz dieses besonderen Punktes eines Dreiecks nachweisen konnte.

nagelpunkt k --> Bild groß <--| --> geogebra <--

Es gibt ein Dreieck ABC. An dieses werden die Ankreise konstruiert. Die Ankreise berühren jeweils eine Seite des Dreiecks (X auf a, Y auf b und Z auf c). Die Berührungspunkte X, Y und Z werden mit den gegenüberliegenden Eckpunkten verbunden. Die drei Strecken treffen sich (immer) in einem Punkt N, dem Nagelpunkt.
Auf dem Bild sieht man noch die Punkte I (Mittelpunkt des Inkreises) und S (Schwerpunkt des Kreises). Wenn die Punkte nicht zusammenfallen, wie z. B. beim gleichseitigen Dreieck, dann liegen die drei Punkte auf einer Geraden, der Nagelgeraden. Dabei gilt außerdem, dass die Strecke SN doppelt so groß ist wie die Strecke SI.

Satz von Ceva

Satz von Ceva

Dieser Satz des italienischen Mathematikers Ceva (1647 bis 1734) ist einer der unzähligen, aber schönen Sätze, die in einem (ebenen) Dreieck gelten.
ceva k--> großes Bild <-- --> geogebra-Datei <--

Auf den Seiten a, b, c eines Dreiecks ABC (oder auch deren Verlängerungen) werden Punkte X (auf Seite a ), Y (auf Seite b) und Z (auf Seite c) verwendet. A wird mit X, B mit Y und C mit Z verbunden. Wenn sich die drei Verbindungslinien in einem Punkt schneiden, dann gilt für die Streckenabschnitte:
\frac{AZ}{ZB} \cdot \frac{BX}{XC} \cdot \frac{CY}{YA} = 1

Eine entsprechende Abbildung zu dem Satz befindet sich auf einem Briefmarkenblock, der anlässlich der Mathematikolympiade 2016 kreiert wurde.

Kettenbrüche

Kettenbrüche

Ein spezielle Form von Brüchen sind Kettenbrüche.
in dem Artikel geht es hier um reguläre Kettenbrüche, das sind solche, die in den Zählern nur 1 aufweisen.

Jeder gemeine Bruch (also Form  \frac{a}{b} mit a und b natürliche Zahlen verschieden von Null lässt sich in einen Kettenbruch umwandeln.
\frac{4}{7} = \frac{1}{\frac{7}{4}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{3}{4}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{4}{3}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}

Es gibt dafür auch eine Kurzschreibweise. [0;1,1,3] Die Null steht hier, weil es ein echter Bruch ist.  \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} sehe dann so aus: [3;1,1,3]
Hat man einen Kettenbruch gegeben, so kann man von unten nach oben rechnend den Kettenbruch in einen gemeinen Bruch verwandeln.
(Gegenstand der Wochenaufgabe 485 - Lösungstermin: 04.02.2016)
Es gibt auch periodische Kettenbrüche Kurzformbeispiel: [3; 1,1,1,1,6] das ist das Ergebnis von Wurzel(13) in einen Kettenbruch. Bricht man den periodischen Kettenbruch irgendwo ab, so erhält eine Näherungsbruch  \frac{a}{b} für Wurzel(13).
Ein historisches Beispiel der Anwendung:
Hyugens wollte ein Planetariumsmodell schaffen. Seine Berechnungen führten dazu, dass er für den Umlauf Erde - Merkur Zahnräder mit 21038 bzw. 8067 Zähnen gebraucht hätte. Also ein Verhältnis  \frac{21038}{8067}. Solche Zahnräder konne er aber nicht konstruieren, also suchte er nach ein[4;6,1,1]= \frac{54}{13}er Übersetzung, die möglichst genau sein sollte, aber immer noch konstruierbar.
 \frac{21038}{8067} führt auf den Kettenbruch [4;6,1,1,2,1,1,1,1,7,1,2].
Näherungen
[4] = 4
[4;6] =  \frac{25}{6}
[4;6,1] =  \frac{29}{7}
[4;6,1,1]= \frac{54}{13}
[4;6,1,1,2]= \frac{137}{33}
Das letzte Verhältnis hätte Huygens nehmen können, denn zwei solche Zahnräder konnte er noch herstellen.
[4;6,1,1,2,1]= \frac{191}{46}
[4;6,1,1,2,1,1]= \frac{328}{79}
[4;6,1,1,2,1,1,1]= \frac{519}{125}
[4;6,1,1,2,1,1,1]= \frac{847}{204}
...
Der Bruch  \frac{847}{204} also eine sehr gute Näherung war für das Getriebe noch besser geeignet, weil er es mit 4 Zahnrädern realisieren konnte: 847=7*121 und 204 = 12*17

Zebrazahlen

Zebrazahlen
(dekadisches Zahlensystem)

Bekanntlich haben Zebras Streifen, schwarz-weiß- schwarz-weiß ..

Nach  diesem Muster lassen sich auch "Zebrazahlen" bilden, wobei keine führende Nullen dabei sein dürfen. Kleinstes Muster hat die Form aba. Dann käme abab, ababa, ...
Gruppe 1: Es werden zwei verschiedene einstellige Zahlen a und b genommen, die dann in der Zebrazahl abwechselnd auftreten. Die kleinste Zebrazahl der Gruppe 1 wäre 121, die größte dreistellige Zebrazahl 989. (Anmerkung Es gibt Menschen, die meinen es gäbe nur Zebrazahlen der Gruppe 1, aber...)

Gruppe 2: Es werden zwei verschiedene zweistellige Zahlen a und b genommen, die dann in der Zebrazahl abwechselnd auftreten. Dabei darf die letzte Ziffer von a nicht der ersten Ziffer von b entsprechen und umgekehrt. Edle Zebrazahlen sind dann die, welche nur zwei verschiedene Ziffern aufweisen:
Beispiele: 11221122112211 - edel, 123412341234 unedel

...

Gruppe n: Es werden zwei verschiedene n-stellige Zahlen a und b genommen, die dann in der Zebrazahl abwechselnd auftreten. Dabei darf die letzte Ziffer von a nicht der ersten Ziffer von b entsprechen und umgekehrt. Edle Zebrazahlen sind dann die, welche nur zwei verschiedene Ziffern aufweisen.
Beispiel n=6: 333333666666333333666666 - edel, 1233345200002123334520000212333452000021233345 - unedel

Wie man leicht sieht, gibt es Zebrazahlen, die auch palindrom sind - auch Radarzahlen genannt. Z. B. 23232 (Gruppe 1) oder 2255225522 (Gruppe 2).

Palindrome

Palindrome

Palindrome kennt man vielleicht eher aus dem Bereich der Sprache. Es sind Worte, Satzgruppen oder auch ganze Sätze, die von vorn nach hinten gelesen den gleichen Wortsinn ergeben wie von hinten nach vorn.
Beispiele: RADAR,  AnnA, OttO, RentneR, Reliefpfeiler, Hanne sah Hasen nah.Sei mein, nie fies – sei fein, nie mies.
Palindromzahlen sind also Zahlen, die von vorn nach hinten lesen, dieselbe Zahl ergeben wie von hinten nach vorn.
12321, 225522, ...

Untersuchung zur Anzahl - ohne dass an erster Stelle eine Null stehen darf.
In dem Sinne sind alle einstelligen Zahlen Palindrome. Fängt man mit 1 an sind es 9.
Bei den zweistelligen müssen  die beiden Ziffern gleich sein. 11; 22; ...; 99 Es sind 9 Palindrome.
Bei den dreistelligen Zahlen geht es los mit 101, 111, 121, ... 979, 989, 999. Es sind 90 Palindrome.
Vierstellig: 90 Palindrome, 5- und 6-stellig je 900 Palindrome. 7- und 8-stellig je 9000 Palindrome. ...
Es gibt aber Varianten, wo die führende Null mit dabei ist - siehe den Geldschein weiter unten. Dann muss die Anzahl der Palindrome angepasst werden.
z.B. zweistellig 00, 11, 22, 99 - also 10 Palindrome oder
dreistellig dann kommen zu den obigen 90 noch die 000, 010, 020, ... , 090 hinzu, also sind es dann 100 Palindrome.
Bei mehr Stellen muss man dann entsprechnd anpassen.

Wie lassen sich aus nicht-palindromen Zahlen palindrome Zahlen "konstruieren"?
Eine Variante ist die (fortlaufende) Spiegelzahladdition. Eine Spiegelzahl ist die zur gegebenen Zahl umgekehrt aufgeschriebene Zahl. (Palindrome sind ihre eigenen Spiegelzahlen)
17
17 + 71 = 88
39
39 + 93 = 132
132 + 231 = 363
119
119 + 9111 = 1030
1030 + 0301 = 1331
79
79+97=176
176+671=847
847+748=1595
1595+5951=7546
7546+6457=14003
14003+30041=44044
Nicht immer geht es so schnell wie in den Beispielen, wer etwas Zeit hat, möge es mit der 89 versuchen.
UND es scheint Zahlen zu geben, da führt dieses Verfahren nicht zum Ziel. Die kleinste Zahl, die sich widersetzt, ist die 196. Auch nach mehreren Hundert Millionen Schritten hat sich noch kein Palindrom ergeben, ob das nie sein wird, konnte bisher weder bestätigt noch widerlegt werden. Die 196 wird auch als Lychrel-Zahl bezeichnet.


Dank an J. Gerber, der mir diesen wunderschönen palindromen Schein überlassen hat.
0010100
Da es nur Nullen und Einsen sind, ist der Schein in jedem Stellenwertsystem ein Palindrom. Der abgebildete C. F. Gauß hätte sicher auch Freude an dieser Zahl.
Ein Klick auf das Bild zum Vergrößern.
gauss-radar k