Mathelexikon

Simsonsche Gerade

Simsonsche Gerade

Die Namensgebung ist "etwas" kurios. Benannt ist die Gerade nach dem schottischen Mathematiker Robert Simson, in dessen Werken taucht diese Gerade aber gar nicht auf. Der Erstentdecker ist dann wohl eher der Schotte Simon Wallace (1768 - 1843). Der Name wallacesche Gerade wäre also angebracht, aber ja.
simsonschegerade
1. Gegeben ist ein Dreieck ABC. Umkreis konstruieren und auf dem ein Punkt P festlegen.
2. Von P aus werden Geraden (grün) konstruiert, die senkrecht auf den Seiten bzw. deren Verlängerungen stehen (Lot fällen).
3. Diese (grünen) Geraden schneiden die Dreiecksseiten bzw. der Verlängerungen in den (grünen) Punkten D, E bzw. F.
4. Diese drei Punkte D, E und F liegen auf einer Geraden - der simsonschen Geraden.

Es gibt noch einige Eigenschaften der simsonschen Geraden, eine davon ist die Existenz spezieller parallaleler Geraden:
Die (grünen) Geraden schneiden den Umkreis in einem (weiterern von P verschiedenen) Punkt:
Im Bild ist als Beispiel die grüne Gerade durch P und F (Schnittpunkt auf c, hier der Verlängerung von c) gewählt, der Schnittpunkt ist dann H.
Die Gerade durch C (liegt c gegenüber) und H ist parallel zur simsonschen Gerade.
Dass lässt sich passend auch mit D bzw. E zeigen.

Satz von Miquel

Der Satz von Miquel (für Dreiecke)

Der Name des Satzes geht auf den französischen Mathematiker Auguste Miquel (1816 - 1851) zurück.

miquel

In einem beliebigen Dreieck ABC wird auf jeder der Dreiecksseiten je ein beliebiger Punkt festgelegt - hier heißen die D, E und F.
Konstruiert man die Kreise, die durch einen Eckpunkt und zwei festgelegte Punkte auf den anliegenden Seiten verlaufen (Kreise AEF, BDF und CDE) so schneiden sich diese Kreise in einem Punkt M - dem Miquelpunkt.

Außerdem gilt: Verbindet man den Punkt M mit denD, E bzw. F - im Bild sind es die grünen Strecken, so sind die Winkel zwischen den (grünen) Strecken und den Dreiecksseiten immer gleich groß. (Die 53,2° sind nur ein Beispiel.)

silberner Schnitt

silberner Schnitt

Den goldenen Schnitt kennen viele. In der Kunst, bei Herrn Fibonacci, in der Natur, .... --> ein Beispiel <--
Beschrieben wird hier die "innere" Teilung.
silberschnitt
Die Strecke a (AB) wird im inneren durch den Punkt S1 in die Teilstrecken a1 und a2 geteilt. (*a1 wird hier als größere Teilstrecke verwendet.)
Beim goldenen Schnitt gilt bekanntlich
 \frac{a_1}{a_2}= \frac{a}{a_1}= \frac{a_1+a_2}{a_1}
In Worten: Das längere Teilstück verhält sich zum kurzen Teilstück wie die gesamte Strecke zum längeren Teilstück.
Der silberne Schnitt hat nun diese Formel
 \frac{a_1}{a_2}=  \frac{2a_1+a_2}{a_1}
Wird diese Gleichung mit a1a2 multipliziert ergibt das:

a1²=2a1a2 + a2²
Die Lösung dieser Gleichung nach a1 ist dann
a_1= a_2 \cdot (1 \pm sqrt(2))
Wegen * würde man nur das + nehmen.
Wie man das konstruiert wird, wird mal noch ergänzt.
Und ja man könnte noch mehr "metallene" Schnitte kreieren: Mit  beliebigem n (natürliche Zahl größer 2)
 \frac{a_1}{a_2}=  \frac{n \cdot a_1+a_2}{a_1}

Altersquotient

Altersquotient

Altersquotient ist ein Begriff aus der Bevölkerungsstatistik.
Es ist der Quotient aus dem Anteil der nicht mehr berufstätigen Bevölkerung und dem Anteil der im Berufsleben stehenden Menschen.
An dieser Definition sieht man, dass es ein etwas schwammiger und sich verändernder Wert ist.
--> siehe Bundesinstitut für Bevölkerungsforschung <--

Der reziproke Wert des Altersquotienten ist dann der Jugendquotient.

Wanderungsgewinn

Wanderungsgewinn

Wanderungsgewinn ist ein Begriff aus der Bevölkerungsstatistik.
Man versteht darunter die Differenz von Menschen, die innerhalb eines Jahres(meistens, auch andere Zeiträume üblich) aus einem Land einwandern und denen, die in diesem Zeitraum auswandern.
je nach Wichtigkeit und Bedarf wird zwischen Wanderungsgewinnen zwischen Kreisen, Stadt-Land, Bundesländern und Nationalstaaten unterschieden.
Der Wanderungsgewinn und z. B. die Geburtenrate sind wichtige Daten zur Prognose über den Ausbau des öffentlichen Dienstes, der Planung von Steueraufkommen und und und.
Daten für Sachsen

Matt Parker Zahl

Matt Parker Zahl

Matt Parker ist der Autor von "Auch Zahlen haben Gefühle" - eine merkwürdige Übersetzung des Originaltitels "Things to make and Do in the Fourth Dimension".
(ISBN 978-3-498-05241 6) - Ich kann es sehr empfehlen.
Die Matt Parker Zahl steht auf Seite 69 der deutschen Aufgabe. (Er hat sie entdeckt, würde sie auch vielleicht so nennen, aber traut sich nicht, also mach ich es für ihn).

Es ist die Zahl: 90 525 801 730

Es ist eine besondere figurierte Zahl und zugleich eine Pyramidenzahl.
Da man solche Zahlen auch gut mit Apfelsinen darstellen kann, findet man Informationen dazu beispielsweise in Aufgabe 347 (Serie 29) und Aufgabe 453 (Serie 38).

Eine solche Zahl ist die 10. Eine Dreieckszahl
x
xx
xxx
xxxx
Aus 10 "Apfelsinen" lässt sich aber auch eine dreiseitige Pyramide stapeln.
Matt suchte nun Zahlen, die man einerseits braucht um eine n-seitige Fläche zu legen, aber auch eine n-seitige Pyramiden zu stapeln.
So ist 4900 die einzige Zahl, aus der sich ein 70x70 Quadrat, aber auch eine 4 seitige Pyramide stapeln kann (besteht aus 24 Schichten).

90 525 801 730 Apfelsinen werden gebraucht um eine 31 265-Ecksfigur mit der Kantenlänge von 2407 zu legen. Man aber daraus auch eine 259-stufige Pyramide stapeln, deren Grundfläche 31 265 Ecken hat.

Matt Parker hat als erster diese Eigenschaft der Zahl 90 525 801 730 herausgefunden, Glückwunsch.

Münchhausenzahl

Münchhausenzahl

Die Bezeichnung einer solchen Zahl geht auf den legendären Baron Münchhausen zurück.
Auf dem Bild (Notgeld der Stadt Rinteln) sieht man, dass der Baron sich selber aus dem Sumpf zieht. (Für ihn gilt also das Wechselwirkungsgesetz von I. Newton nicht).

baron

So ist dann auch eine Münchhausenzahl gedacht.
Man nimmt die Ziffern einer natürlichen Zahl n und potenziert diese mit sich selbst. Anschließend werden die Potenzen addiert. Ist die Summe der Potenzen gleich der Zahl an, so wird n eine Münchhausenzahl genannt.
Die langweilige Münchhausenzahl ist die 1, denn 11=1.

Die einzige bekannte (interessante) Münchhausenzahl ist die 3435. Es gilt 33 + 44 + 33 + 55 = 27 + 256 + 27 + 3025 = 3435.
(Anmerkungen: 3435 - einzig bekannte Münchhausenzahl (außer 1) im dekadischen Zahlsystem, wenn nicht geschummelt wird und 00=0, statt 00=1 verwendet wird. Einen Beweis für die Einzigartigkeit habe ich nicht gefunden.)
Ist die Basis der Zahl n die 12, so ist 3A67A54832 auch eine Münchhausenzahl. (Im dekadischen System ist das die Zahl 20017650854.)

 

Goniometrie

Goniometrie

Die Goniometrie (griech: gonia - Winkel, metrein - messen) ist ursprünglich die Lehre vom Winkelmessen.
Es ist aber nicht das Zeichnen oder Messen von Winkeln gemeint, sondern das Rechnen mit Winkelfunktionen bzw. das Lösen von Gleichungen, die auf Winkelfunktionen basieren - trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan).
Die trigonometrischen Funktionen sind also eher ein Teilgebiet der Goniometrie.
Um goniometrische Gleichungen zu lösen, werden meist numerische oder grafische Näherungsverfahren (Nullstellen) verwendet, da es für die meisten gon. Gleichungen keine Lösungsformel gibt.
tan x - 2x = 0 Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
sin (4x) - 2x = 0 hat genau 3 Lösungen +-0,47387356.. und 0

zyklische Primzahlen

zyklische Primzahlen

Unter zyklischen Primzahlen versteht man Primzahlen, die nach jedem zyklischen Tauschen der Ziffern wieder auf Primzahlen führen.
Ziffern mit a, b, c , ... bezeichnet.

ab --> ba --> ab --> Beispiel 13 --> 31 --> 13

abc --> bca --> cab --> Beispiel 197 --> 971 --> 719 --> 197

abcd --> bcda --> cdab --> dabc --> abcd --> Beispiel 1931 --> 9311 --> 3119 --> 1193 --> 1931

zum Weiterlesen: http://primes.utm.edu/glossary/xpage/CircularPrime.html

Primzahlformel

Primzahlformel

Eine Primzahlformel gibt es leider (bisher?) nicht. Gemeint ist hier eine Formel, die entweder alle Primzahlen liefert oder doch zumindest als Lösung immmer Primzahlen liefert.
Eine der bekanntesten Formeln dieser Art ist y=n²+n+41. Diese Formel liefert für viele n (n- natürliche Zahl) Primzahlen, nicht immer, aber erstaunlich oft.

--> Primzahltest im Lexikon <--

n y=n²+41n+41 y prim?
0 41 ja
1 43 ja
2 47 ja
3 53 ja
4 61 ja
5 71 ja
6 83 ja
7 97 ja
8 113 ja
9 131 ja
10 151 ja
11 173 ja
12 197 ja
13 223 ja
14 251 ja
15 281 ja
16 313 ja
17 347 ja
18 383 ja
19 421 ja
20 461 ja
21 503 ja
22 547 ja
23 593 ja
24 641 ja
25 691 ja
26 743 ja
27 797 ja
28 853 ja
29 911 ja
30 971 ja
31 1033 ja
32 1097 ja
33 1163 ja
34 1231 ja
35 1301 ja
36 1373 ja
37 1447 ja
38 1523 ja
39 1601 ja
40 1681 nein
41 1763 ja
42 1847 ja
43 1933 ja
44 2021 nein
45 2111 ja
46 2203 ja
47 2297 ja
48 2393 ja
49 2491 nein
50 2591 ja
51 2693 ja
52 2797 ja
53 2903 ja
54 3011 ja
55 3121 ja
56 3233 nein
57 3347 ja
58 3463 ja
59 3581 ja

Newton-Gerade

Newton-Gerade

newtongerade

In einem konvexen Viereck ABCD - mit maximal einem Paar zueinander paralleler Seiten - seien die Punkte E und F die Mittelpunkte der Diagonalen. Die Gerade durch E und F heißt Newton-Gerade. Isaac Newton bewies, wenn ein solches Viereck einen Innenkreis besitzt, liegt dessen Mittelpunkt auf der Gerade durch E und F - der Newton-Geraden g.
Verbindet man die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten eines solches Vierecks miteinander., so liegt der Schnittpunkt der Schnittpunkte der Verbindungsgeraden ebenfalls auf der Geraden g.
(Anmerkung: Sind zwei Paare paralleler Seiten in einem konvexen Viereck vorhanden, so halbieren sich die Diagonalen wechselseitig. Damit wäre die Lage einer solchen Geraden g nicht eindeutig.)

Stirling Formel

Stirling Formel

Die Stirling-Formel wurde 1720 von dem schottischen Mathematiker James Stirling (1692 -1770) entdeckt. (Nicht zu verwechseln mit Robert Stirling, der den Stirlingmotor entwickelt hat)

n! \appro \sqrt{(2 \cdot \Pi \cdot n)} \cdot n^n \cdot e^{-n}

Die Formel liefert eine gute Näherung für die Berechnung von n! (sprich n-Fakultät).
Dabei gilt, dass die Formel immer einen Wert liefert, der immer etwas kleiner ist als n!, aber mit größer werdendem n wird die Abweichung immer kleiner - wie man auch an der Tabelle sehen kann.
n! wird u. a. in der Kombinatorik häufig gebraucht, aber auch in der Physik ist diese Angabe von Bedeutung.

n n! n! \appro \sqrt{(2 \cdot \Pi \cdot n)} \cdot n^n \cdot e^{-n} Prozent
1 1 0,9221370089 92,2137008916
2 2 1,9190043516 95,9502175786
3 6 5,8362095917 97,2701598621
4 24 23,5061751349 97,9423963956
5 120 118,0191679704 98,349306642
6 720 710,0781847347 98,621970102
7 5040 4980,3958323697 98,8173776264
8 40320 39902,3954595906 98,9642744533
9 362880 359536,872912236 99,0787237964
10 3628800 3598695,61952273 99,1704039771
11 39916800 39615625,0600431 99,2454932761
12 479001600 475687486,596768 99,3081205985
13 6227020800 6187239476,93987 99,3611499891
14 87178291200 86661001766,9526 99,4066304513
15 1307674368000 1300430722623,18 99,4460665779
16 20922789888000 20814114422457 99,4805880759
17 355687428096000 353948328796802 99,5110596659
18 6402373705728000 6372804628686000 99,5381544658
19 121645100408832000 121112786642278000 99,5624042688
20 2432902008176640000 2422786847813670000 99,584234781
21 51090942171709400000 50888617348722700000 99,6039908164
22 1124000727777610000000 1119751495163340000000 99,6219546385
23 25852016738885000000000 25758525383398200000000 99,6383595275
24 620448401733240000000000 618297927345124000000000 99,6533999633
25 15511210043331000000000000 15459594843086300000000000 99,6672393701
26 403291461126606000000000000 402000993287988000000000000 99,680016077
27 10888869450418400000000000000 10855315176686000000000000000 99,6918479564
28 304888344611714000000000000000 303982326428225000000000000000 99,7028360711
29 8841761993739700000000000000000 8816392110931140000000000000000 99,713067567
30 265252859812191000000000000000000 264517096095336000000000000000000 99,722617989
31 8222838654177920000000000000000000 8200764702763260000000000000000000 99,7315531492
32 263130836933694000000000000000000000 262446514264357000000000000000000000 99,7399306454
33 8683317618811890000000000000000000000 8661418387626550000000000000000000000 99,7478011038
34 295232799039604000000000000000000000000 294510096317329000000000000000000000000 99,7552092028
35 10333147966386100000000000000000000000000 10308575174421200000000000000000000000000 99,7621945215
36 371993326789901000000000000000000000000000 371133249377633000000000000000000000000000 99,768792247
37 13763753091226300000000000000000000000000000 13732789294394600000000000000000000000000000 99,7750337671
38 523022617466601000000000000000000000000000000 521876921620823000000000000000000000000000000 99,7809471699
39 20397882081197400000000000000000000000000000000 20354344365543700000000000000000000000000000000 99,7865576657
40 815915283247898000000000000000000000000000000000 814217265202066000000000000000000000000000000000 99,7918879471

Ursprung

Ursprung

Ursprung (in der Mathematik) ist die Bezeichnung für den Ausgangspunktes eines Koordinatensystems.
Im cartesischen System schneiden sich an der Stelle die x-Achse und y-Achse.
Gibt es zwei Koordinaten sind hat der Ursprung die Koordinaten (0; 0). Bei drei Koordinaten (0; 0; 0) ...

Nagelpunkt

Nagelpunkt eines (ebenen) Dreiecks

Bei Nagelpunkt handelt es sich nicht um den berühmten Nagel, an den man was (zum Beispiel Boxhandschuhe oder so) hängt, wenn was vorbei ist. Also kein Nagel zum Hinhängen von Dreiecken.
Benannt ist der Punkt nach Christian Heinrich von Nagel, der die Existenz dieses besonderen Punktes eines Dreiecks nachweisen konnte.

nagelpunkt k --> Bild groß <--| --> geogebra <--

Es gibt ein Dreieck ABC. An dieses werden die Ankreise konstruiert. Die Ankreise berühren jeweils eine Seite des Dreiecks (X auf a, Y auf b und Z auf c). Die Berührungspunkte X, Y und Z werden mit den gegenüberliegenden Eckpunkten verbunden. Die drei Strecken treffen sich (immer) in einem Punkt N, dem Nagelpunkt.
Auf dem Bild sieht man noch die Punkte I (Mittelpunkt des Inkreises) und S (Schwerpunkt des Kreises). Wenn die Punkte nicht zusammenfallen, wie z. B. beim gleichseitigen Dreieck, dann liegen die drei Punkte auf einer Geraden, der Nagelgeraden. Dabei gilt außerdem, dass die Strecke SN doppelt so groß ist wie die Strecke SI.

Satz von Ceva

Satz von Ceva

Dieser Satz des italienischen Mathematikers Ceva (1647 bis 1734) ist einer der unzähligen, aber schönen Sätze, die in einem (ebenen) Dreieck gelten.
ceva k--> großes Bild <-- --> geogebra-Datei <--

Auf den Seiten a, b, c eines Dreiecks ABC (oder auch deren Verlängerungen) werden Punkte X (auf Seite a ), Y (auf Seite b) und Z (auf Seite c) verwendet. A wird mit X, B mit Y und C mit Z verbunden. Wenn sich die drei Verbindungslinien in einem Punkt schneiden, dann gilt für die Streckenabschnitte:
\frac{AZ}{ZB} \cdot \frac{BX}{XC} \cdot \frac{CY}{YA} = 1

Eine entsprechende Abbildung zu dem Satz befindet sich auf einem Briefmarkenblock, der anlässlich der Mathematikolympiade 2016 kreiert wurde.