Strobogrammatische Zahl

Strobogrammatische Zahlen

Eine strobogrammatische Zahl ist eine natürliche Zahl, die beim Drehen um 180° gleichbleibt. Wenn die 1 als I schreibt, dann gibt es sehr viele solche Zahlen.
Die ersten sind dann 0, 1, 8, 11, 88, 96, 101, 111, 181, 609, 619, 689, 808, 818, 888, 906, 916, 986.

Eine schöne Spielerei.
Weiterlesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Strobogrammatische_Zahl

Vampirzahlen

Vampirzahlen

Keine Angst, die Vampirzahlen sind weder blutrünstig, noch sonst irgendwie gefährlich. Der Name geht auf den Film "Interview mit einem Vampir" zurück, der gerade in den Kinos anlief, als diese Zahlen entdeckt wurden. --> Quelle <--
Vampirzahlen sind natürliche Zahlen mit gerader Stellenzahl. (abcd, abcdef, ..., wobei nicht alle Ziffern verschieden sein müssen.) Aus den Ziffern der Zahl werden zwei gleichlange neue Zahlen gebildet, deren Produkt die Ausgangszahl ergibt.

Beispiel: 1827. Die Ziffern 1 8 2 und 7 werden neu "gewürfelt" 21 und 87 und siehe da 21 * 87 = 1827
21 und 87 sind die Reißzähne der Vampirzahl.
Viel Spaß bei der Suche nach weiteren Vampirzahlen. (Achtung enthält die Ausgangszahl die Ziffer 0 (oder auch mehrere davon), so dürfen die Reißzähne nicht mit 0 beginnen bzw. nur ein Reißzahn darf auf 0 enden)

Palindromprimzahlzwillinge

Palindromprimzahlzwillinge

Palindromprimzahlzwillinge bilden eine neue Gruppe von Zahlenbeziehungen.
Zum Namen: Palindrome sind Zahlen, die von vorn und hinten gelesen gleich sind, z.B. 12621 (einstellige Zahlen sind eher nicht gemeint)
Primzalzwillinge sind zwei Primzahlen, zwischen denen nur eine andere Zahl steht: 11 und 13 oder auch 107 und 109.
Eine Palindromprimzahl ist eine Primzahl, die zu gleich eine Palindrom ist: 131 oder 15451. (Anmerkung alle Palindrome mit gerader Stellenanzahl sind durch 11 teilbar.)

Palindromprimzahlzwillinge sind nun aufeinander folgende Palindromprimzahlen, zwischen denen keine weiteren Primzahlen vorkommen.
Wenn man davon ausgeht, dass Palindrome mindestens 2 Stellen haben sollen, so sind bisher nur drei Paare von Palindromprimzahlzwillingen entdeckt worden:
(181; 191), (787;797) und (919; 929)
Eine systematische Durchsuchung der Zahlen bis zur 10¹² ( 1000 000 000 000) hat keine weiteren Treffer ergeben. Aber, das heißt ja nicht, dass keine weiteren gibt.
(Für das Auffinden eines weiteren Paares aus dem Bereich größer als 10¹², gibt es eine Belohnung.)

Hier die Liste mit den größten Primzahlpalindromen: https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=53

McNugget-Zahl

McNugget-Zahl

Die Frage nach der McNugget-Zahl ist Teil einer größeren Aufgabenstellung. Siehe bei https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius unter Frobeniusproblem.

Häufig werden McNuggets in Verpackungsgrößen von je 6, 9 bzw. 20 Stück angeboten. Man also keine 7 oder auch 22 McNuggets kaufen. Die McNugget-Zahl gibt an, welches die größte Anzahl von McNuggets ist, die man nicht kaufen kann.

Es sind 43.

44 = 1*20 + 6*4
45 = 5*9
46 = 2*20 + 1*6
47 = 1*20 + 3*9
48 = 8*6
49 = 2*20 + 1*9
Jede noch so große Zahl x (x>49) ist dann aus diesen 6 Werten durch x + n*6 erreichbar.
Werden nur die Packungsgrößen 9 und 20 zugelassen, so kommt man auf die Zahl 151. Der Unterschied ist schon echt groß, oder?
Gibt es immer eine solche größte Zahl? So gefragt, muss die Antwort nein lauten. Nimmt man die Packungsgrößen 6 und 20, so kann man keine ungerade Anzahl erreichen, sprich jede noch so große ungerade Anzahl von McNuggets ist nicht erreichbar.

Prosthaphairese

Prosthaphairese

Das Wort Prosthaphairese klingt schon recht kompliziert. Es leitet sich ab von Addition und Subtraktion - in griechischer Sprache. Entwickelt hat das Verfahren Johannes Werner (1468 - 1522). Er war Pfarrer in Nürnberg und zugleich ein richtig guter Instrumentenbauer für astronomische Geräte. (Und klar, Dürer und er kannten sich natürlich.)
Aufwändige Multiplikationen sollen durch einfache Addition und Subtraktion ersetzt werden.
Erste Voraussetzung - Vorhandensein von guten "Tafeln" mit Sinus - und Kosinuswerten. Tabelle zum Beispiel -->hier<--.
Zweite Voraussetzung ist das Wissen um diesen Satz aus der sphärischen Trigonometrie:
sin α * sin β = 1/2 *(cos (α - β) - cos (α + β))
Sind die zu multiplizierenden Zahlen größer als 1, dann eine "Kommaverschiebung gemacht. Z. B. 22, 456 = 100* 0,22456. Diese Komaaverschiebung muss dann beim "Ergebnis" rückgangig gemacht werden. Bei negativen Zahlen wird das Vorzeichen nicht beachtet, erst beim Ergebnis wird ein evtl. Minuszeichen ergänzt. Die Multiplikation so aufschreiben, dass der erste Faktor größer ist wie der zweite - kann sein, muss aber nicht.
Beispiel:
0,740804596 * 0,532876276 Blick in Sinustafel
= sin 47,8° * sin 32,2°
=1/2(cos (47,8° - 32,2°) - cos (47,8° + 32,2°))
= 1/2(cos(15,6°) - cos (80°))
=1/2(0,963162566 - 0,173748177)   Blick in die Kosinustafel und die Subtraktion dieser zwei Zahlen gehen schnell.
=1/2*0,789514389 Nun noch die Halbierung
=0,394757194 Das ist ziemlich genau
(In echt hätte das Ergebnis natürlich mehr Stellen nach dem Komma, aber auf 9 Stellen genau, ist doch was- auch ein Taschenrechner macht es nicht genauer.)
Diese Rechenmethode hat Tycho Brahe sehr geschätzt und wurde auch von Johannes Kepler lange Zeit verwendet. Erst die Verwendung der Addition von Logarithmenwerten war letztlich noch einfacher.

Länge eines Parabelbogens

Länge eines Parabelbogens

Dieser Beitrag dient u. a. der Vor- bzw. Nachbereitung der Wochenaufgabe 663 (vom 29.01.2021).
Die folgende Formel ermöglicht die Ermittlung der Länge eines Parabelbogens einer Funktion y=f(x)=ax² vom Scheitelpunkt (0; 0) bis zum Punkt (x₁; a x₁²) der Funktion.  Wenn man diese Formel hat, lässt sich natürlich auch für jede beliebige quadratische Funktion die gewünschten Länge ausrechnen. Das x₁ ist dann eben der "Abstand" zum Scheitelpunkt. Eine zweimalige Verwendung der Formel ermöglicht die Länge beliebiger Parabelabschnitte zu ermitteln.

Das ln in der Formel ist der Logarithmus zur Basis e und ist eine feste Taste auf den meisten Taschenrechnern.
Die Formel herzuleiten ist mit den Mitteln des Stoffes der Klasse 12 nicht so schwer.
Eine von mehreren Quellen: https://www.edu.tum.de/fileadmin/tuedz01/www/Sch%C3%BClerkonferenz/Facharbeiten_2009/dueren_philipp_cc.pdf

Fadengrafik - Neujahrsformel

Fadengrafik - Neujahrsformel

Was hat eine Fadengrafik mit Neujahr zu tun, nun eigentlich nichts. Aber wie das eben so ist. In Vorbereitung auf neue Wochenaufgaben , habe ich mich mit Fadengrafiken beschäftigt - immer mal wieder. Die dabei entstehenden Vielecke hatten - laut Geogebra - immer mal einfache - glatte - Ergebnisse. Und so ergab sich die Frage, lassen sich die auch berechnen. Und ja, am Neujahrstag 2020 habe ich die Formel entdeckt. Wie man darauf kommt wird demnächst eine Wochenaufgabe und steht deshalb (noch) nicht auf dieser Seite. Ob diese Formel schon vor dem Neujahrstag 2020 entdeckt wurde, ist mir nicht bekannt. Und wenn doch, so kann ich sagen, dann habe ich die eben auch gefunden.

A = 2/3 * n * (n+2)

n - ist die Anzahl  "positiver" bzw. "negativer" Punkte auf jeder der Achsen des Koordinatensystems. A ist der Flächeninhalt des n-ten Ecks. Wie das entsteht, was gemeint ist, zeigen die Bilder.
n=1 --> A = 2 FE (Flächeneinheiten)

n= 2  A = 16/3 FE

n = 3  A = 10 FE

n= 4   A = 16 FE

n = 5   A = 70/3 FE

n = 6   A = 32 FE

und immer so weiter.
Viel Spaß beim Zeichnen.

Fröhliche Zahl

Fröhliche Zahl

Als fröhliche Zahl wird eine natürliche Zahl in dekadischer Darstellung bezeichnet, wenn sie folgende Eigenschaft hat.

Die Ziffern der Zahl werden quadriert, die Quadrate addiert. Mit der so erhaltene Summe macht man das gleiche, ... Wenn am Ende eine 1 herauskommt, dann ist die Zahl fröhlich.
Beispiele:

31 --> 3² + 1² = 9 + 1= 10 --> 1² + 0² = 1 + 0 =1
32 --> 3² + 2² = 9 +4 = 13 --> 1² + 3² = 1 + 9 = 10 --> 1² + 0² = 1 + 0 =1, das Verfahren fortgesetzt, ändert an der 1 nichts mehr.

aber:
33² --> 3² + 3² = 9 + 9 = 18 --> 1² + 8² = 1 + 64 = 65 --> 6² + 5² = 36 + 25 = 61 --> 6² + 1² --> 36 + 1 = 37 --> 3² + 7² = 9 + 49 = 58 --> 5² + 8² = 25 + 64 = 89 --> 8² + 9²= 64 + 81= 145 --> 1²+4²+5²=1+16+25=42 -->4²+2²= 20 --> 2² + 0² = 4 + 0 = 4 --> 4² = 16 --> 1² + 6² = 1 + 36 = 37 , das hatten wir schon, die kleineste Zahl in dem Zyklus ist die 4 - wie traurig

Zum Weiterlesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%B6hliche_Zahl

Kartesisches Blatt

Kartesisches Blatt

Kartesisches Blatt oder auch cartesisches Blatt ist eine mathematische Kurve, deren Name von --> Descartes <-- abgeleitet ist.

Eine mögliche Formel ist x³ + y³ - 3axy =0 (a beliebige relle Zahl) Im Bild ist a = 2.
Es ist eine Kurve dritter Ordnung.
Rot gestrichelt dargestellt die Asymptote der Kurve: Gleichung: x+y + a = 0 <--> y=f(x)=- x - a.
Der Flächeninhalt des geschlossenen Blattes ist A = 1,5a². Auch die Fläche zwischen Asymptote und Blatt ist 1,5a² groß.

--> Geogebradatei <--

Sheldon-Primzahl

Sheldon-Primzahl

In der 73. Folge von Big Bang Theory stellt Sheldon die Frage nach der "bekanntesten" Zahl.

https://www.youtube.com/watch?v=33pH6ELDEeI

Wie man sehen kann, gibt es dafür einen Vorschlag, aber Sheldon beantwortet seine Frage selber noch mal anders.
Es sei die 73, weil
73 sei die 21. Primzahl, "spiegelt" man die 73, so kommt man auf 37, welches die 12. Primzahl ist. Und außerdem ergibt die Multiplikation der Ziffern von 73 --> 7*3 die Stelle in der Reihenfolge aller Primzahlen --> 21.
Dass die Spiegelung einer Primzahl wieder eine Primzahl ist, kommt oft vor, zum Beispiel 13 <--> 31, die werden auch als Mirpzahlen bezeichnet.
Die Anforderungen von Sheldon sind aber komplexer, daraus kann man die Frage ableiten (muss man aber nicht ?), wie viele solche Zahlen es gibt, die alle genannten Bedingungen erfüllen. So hat man alle Mirpzahlen bis 10.000.000 getestet, aber keine weitere Sheldonprimzahl gefunden. Da es unendliche viele Primzahlen gibt, was schon bei Euklid zu finden ist, ist der Test bis 10.000.000 kein Nachweis für die Nichtexistenz einer weiteren Sheldonprimzahl.
Es gelang aber zuerst nachzuweisen, das eine solche Zahl kleiner sein müsse als 10⁴⁵, damit wurde die Anzahl der zu überprüfenden Primzahlen endlich, mit viel Rechenzeit und notwendiger mathematischer "Tricks" konnte im Frühjahr 2019 gezeigt werden, dass es keine weitere solche Sheldonprimzahl gibt. Als die Folge im Jahr 2010 ausgestrahlt wurde (10 Quersumme von 73) war diese als Gag gedachte Bemerkung nicht erkennbar, dass der Schauspieler, welcher Sheldon (Jim Parsons, geb. 73) darstellt, damals 37 war, schon eher.

42

42

42 ist die Antwort auf "Alles", zu mindest, wenn man den langwierigen Berechnungen des Supercomputers in "Per Anhalter durch die Galaxis" von Douglas Adams, vertraut.
42 hat schon schöne Eigenschaften:
42 = 2*3*7
Beim Lügenmex gibt es 21 verschiedene Ergebnisse und mit der 21 gewinnt man --> 21 + 21 = 42.
Beginnt man die Fibonacci-Reihe nicht mit 1; 1 , sondern mit 2; 2, dann ist die 42 mit dabei. ...
Aber eine Frage bleibt.
a³ + b³ + c³ = z?
a, b und c sollen ganze Zahlen sein und z eine natürlich Zahl.
Es lässt sich zeigen - wie auch immer - , dass es für alle Zahlen z solche Zahlen a, b und c geben muss. Alle Zahlen z - nein, wenn z bei der Division mit 9 den Rest 4 oder 5 ergibt, dann nicht, aber sonst schon.
{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; ...}
Beispiele: 2³ + 1³ + 1³ = 10, (-1972)³ + (-4126)³ + 4271³ = 84
und seit März 2019:  8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³  = 33 (https://www.derstandard.de/story/2000099917380/das-raetsel-um-die-zahl-33-wurde-geknackt)
Die Frage ist, welche Zahlen braucht man für a³ + b³ + c³ = 42?

Stand vom 19.4.2019
Die 42 ist kleinste natürliche Zahl, für die man noch keine Lösung weiß, die nächste ohne Antwort ist die 114.
Wer mir eine selbst gefundene Lösung für die 42 schickt, dem zahle ich 42 €, versprochen.

ABER nun die Information vom 9.9.2019

42 = (-80 538 738 812 075 974)³ + 80 435 758 145 817 515³ + 12 602 123 297 335 631³.

Damit muss ich die 42 € nicht bezahlen, auch schön.
Quelle: https://www.spektrum.de/news/altes-raetsel-um-die-42-geloest/1671940

Regel der Mittelzahlen

Die Regel von den Mittelzahlen

Die Regel von den Mittelzahlen, regle des nombres moyens, wurde von dem französischen Mathematiker Nicolas Chuquet entdeckt.
Für zwei Brüche gelte: , wobei die Nenner immer als positiv angesehen werden. Für negative Brüche behilft man sich in der Weise .
Werden die Zähler (für sich) und die Nenner (für sich) der Ausgangsbrüche addiert, so liegt der entstehende Bruch immer zwischen den Ausgangsbrüchen.

Stellen von Pi

Stellen von Pi

Schon seit längerem weiß "man", dass π unendlich viele Stellen hat, nicht periodisch ist und auch noch transzendent.
Andererseits ist π nicht nur für die Berechnung von Kreisen, Kugeln und Kegeln wichtig und notwendig, sondern es gibt auch etliche Formeln in der Physik, in den π vorkommt. So bei der Berechnung der Periodendauer eines Fadenpendels.
Immer wieder wird die Zahl auch für Gedächtnisleistungen genutzt. Ja und wer das möchte/will oder soll, der findet hier die ersten Stellen von π. Nicht nur für den π-day, 14. März interessant (14. März, englisch/amerikanisch 3-14)
--> pdf mit Stellen von π in zwei Variantenπ in zwei Varianten <--

Wer den Rekord von 100 000 Stellen im Merken brechen möchte, der findet hier Millionen Stellen: http://pibel.de/
Wer die ersten hundert Stellen gesprochen sucht: --> http://www.aip.de/~wasi/PI/AUDIO/pi100.ram

3,

1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 0 6 6 4 7 0 9 3 8 4 4 6 0 9 5 5 0 5 8 2 2 3 1 7 2 5 3 5 9 4 0 8 1 2 8 4 8 1 1 1 7 4 5 0 2 8 4 1 0 2 7 0 1 9 3 8 5 2 1 1 0 5 5 5 9 6 4 4 6 2 2 9 4 8 9 5 4 9 3 0 3 8 1 9 6 4 4 2 8 8 1 0 9 7 5 6 6 5 9 3 3 4 4 6 1 2 8 4 7 5 6 4 8 2 3 3 7 8 6 7 8 3 1 6 5 2 7 1 2 0 1 9 0 9 1 4 5 6 4 8 5 6 6 9 2 3 4 6 0 3 4 8 6 1 0 4 5 4 3 2 6 6 4 8 2 1 3 3 9 3 6 0 7 2 6 0 2 4 9 1 4 1 2 7 3 7 2 4 5 8 7 0 0 6 6 0 6 3 1 5 5 8 8 1 7 4 8 8 1 5 2 0 9 2 0 9 6 2 8 2 9 2 5 4 0 9 1 7 1 5 3 6 4 3 6 7 8 9 2 5 9 0 3 6 0 0 1 1 3 3 0 5 3 0 5 4 8 8 2 0 4 6 6 5 2 1 3 8 4 1 4 6 9 5 1 9 4 1 5 1 1 6 0 9 4 3 3 0 5 7 2 7 0 3 6 5 7 5 9 5 9 1 9 5 3 0 9 2 1 8 6 1 1 7 3 8 1 9 3 2 6 1 1 7 9 3 1 0 5 1 1 8 5 4 8 0 7 4 4 6 2 3 7 9 9 6 2 7 4 9 5 6 7 3 5 1 8 8 5 7 5 2 7 2 4 8 9 1 2 2 7 9 3 8 1 8 3 0 1 1 9 4 9 1 2 9 8 3 3 6 7 3 3 6 2 4 4 0 6 5 6 6 4 3 0 8 6 0 2 1 3 9 4 9 4 6 3 9 5 2 2 4 7 3 7 1 9 0 7 0 2 1 7 9 8 6 0 9 4 3 7 0 2 7 7 0 5 3 9 2 1 7 1 7 6 2 9 3 1 7 6 7 5 2 3 8 4 6 7 4 8 1 8 4 6 7 6 6 9 4 0 5 1 3 2 0 0 0 5 6 8 1 2 7 1 4 5 2 6 3 5 6 0 8 2 7 7 8 5 7 7 1 3 4 2 7 5 7 7 8 9 6 0 9 1 7 3 6 3 7 1 7 8 7 2 1 4 6 8 4 4 0 9 0 1 2 2 4 9 5 3 4 3 0 1 4 6 5 4 9 ...

Steffi(s) problem

Steffi Problem

Da die Problematik des Artikels, die von einer amerikanischen Webseite --> http://mathworld.wolfram.com/SteffiProblem.html <--stammt, ist mit der Vokabel problem eine mathematische Aufgabe gemeint.
Das ist wie bei der Wochenaufgabe --> maths problem of the week, weekly problem.
Die Aufgabe lässt sich für alle Positionssysteme formulieren (s. Link oben).
Für unser Dezimalsystem heißt das, wähle aus Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 aus. Jede höchstens einmal, dabei heißt Auswahl von drei Ziffern, die ersten drei (1; 2; 3), bei 5 Ziffern auswählen, auch nur die ersten 5, also 1; 2; 3 ;4; 5.
Bilde aus den Ziffern eine Zahl a, anschließend wird aus den ausgewählten Ziffern noch eine zweite - von a verschiedene - Zahl b gebildet. Die Zahl a soll die kleinere sein. Dann wird aus den Zahlen a und b der Bruch a/b gebildet.
Die Aufgabenstellung ist nun, a und b so zu finden, dass der Bruch a/b so gekürzt werden kann, so dass ein Stammbruch "übrig" bleibt. (Stammbruch: 1/n, also Zähler 1).
Untersuchen haben ergeben, dass man mindestens 8 Ziffern braucht, um solche Zahlen a und b zu finden. Bei 8 Ziffern gibt es 2338 Möglichkeiten. Bei 9 Ziffern sind es 24603 Möglichkeiten, hört sich viel an, aber.

Simsonsche Gerade

Simsonsche Gerade

Die Namensgebung ist "etwas" kurios. Benannt ist die Gerade nach dem schottischen Mathematiker Robert Simson, in dessen Werken taucht diese Gerade aber gar nicht auf. Der Erstentdecker ist dann wohl eher der Schotte Simon Wallace (1768 - 1843). Der Name wallacesche Gerade wäre also angebracht, aber ja.

1. Gegeben ist ein Dreieck ABC. Umkreis konstruieren und auf dem ein Punkt P festlegen.
2. Von P aus werden Geraden (grün) konstruiert, die senkrecht auf den Seiten bzw. deren Verlängerungen stehen (Lot fällen).
3. Diese (grünen) Geraden schneiden die Dreiecksseiten bzw. der Verlängerungen in den (grünen) Punkten D, E bzw. F.
4. Diese drei Punkte D, E und F liegen auf einer Geraden - der simsonschen Geraden.

Es gibt noch einige Eigenschaften der simsonschen Geraden, eine davon ist die Existenz spezieller parallaleler Geraden:
Die (grünen) Geraden schneiden den Umkreis in einem (weiterern von P verschiedenen) Punkt:
Im Bild ist als Beispiel die grüne Gerade durch P und F (Schnittpunkt auf c, hier der Verlängerung von c) gewählt, der Schnittpunkt ist dann H.
Die Gerade durch C (liegt c gegenüber) und H ist parallel zur simsonschen Gerade.
Dass lässt sich passend auch mit D bzw. E zeigen.